数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课前预习课件ppt

这是一份数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课前预习课件ppt，共37页。PPT课件主要包含了线面垂直，线线平行，平行或在a内，∴EF∥BD1，点到平面的距离，直线到平面的距离，平面与平面的距离等内容，欢迎下载使用。

1、直线与平面垂直的定义
一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直．
2、直线与平面垂直的判定
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
关键：线不在多，相交则灵.
与地面垂直的旗杆，它们有什么关系？
问题：把地面抽象为平面，旗杆抽象为直线，这个问题能够转化为 ？
1.利用判定定理我们证明了一个重要的结论，也请一个同学叙述一下．
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．
2.请将上述命题用数学符号表示出来.
若a∥b，a⊥α，则b⊥α．
这个例题可以当作直线和平面垂直的又一个判定定理.现在请同学们交换这个定理的题设和结论,写出新的命题.
若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
下面就让我们看看这个命题是否正确？
请同学们写出已知、求证并结合题意画出图形.
已知：a⊥α， b⊥α 求证：a∥b．
分析：a、b是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题的条件比较简单，想说明a、b共面就很困难了，更何况还要证明平行．
我们能否从另一个角度来证明，比如，a、b不平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法．
否定结论→推出矛盾→肯定结论
分析：第一步，我们做一个反面的假设，假定b与a不平行，现在应该要推出矛盾，从已知条件中的垂直关系，让我们想起例题1，在这个例题的已知条件中，平面有一条垂线，垂线有一条平行线，因此需要添加一条辅助线．层层推进，得出证明过程如下:
证明：假定b与a不平行设b∩α＝O，b′是经过点O与直线a平行的直线，∵ a∥b′，a⊥α，∴b′⊥α．所以,经过同一点O的两条直线b，b′都垂直于平面α。显然这是不可能的．因此，a∥b．
注：教材证法不好，别管教材证法。
垂直于同一个平面的两条直线平行．
指出:判定两条直线平行的方法很多，直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行。
直线和平面垂直的性质定理:
证明空间直线和直线平行
揭示了“平行”与“垂直”的内在联系
同学们这个结论实在是太明显太显然了，比公理还显然，但注意它不是公理而是可以证明出来的性质，这在平时的证明中可以当定理使用。注意我们证明题目时的论据都是来自于教材，教材之外的不会考到，虽然教材之外补充了许多定理、性质。 同学们有没有发现西方人没事找事做，吃饱了撑着？正因为西方人的这种刨根究底的精神造就了西方发达的科学。在中国这些是经验，没有证明的迹象。
1、学习数学有什么用？
荷兰数学家弗赖登塔尔的，他说：“与其说是学习数学，还不如说是学习‘数学化’；与其说是学习公理系统，还不如说是学习‘公理化’；与其说是学习形式体系，还不如说是学习‘形式化’。”
数学教育家米山国藏指出：“学生进入社会后，几乎没有机会应用它们在初中或高中所学到的数学知识，因而这种作为知识的数学，通常在学生出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要作用。”
所以学习数学，数学忘记了，但数学化不会忘记，学习公理，公理忘记了，但公理化不会忘记，学习形式体系，形式体系忘记了，但形式化不会忘记。也就是数学化、公理化、形式化一辈子都对你产生影响。
中国人的思维缺陷
1、不证而论 比如不懂逻辑学上的“充足理由律”，给出论点来往往不证而论，只有论点，没有论据。
2、以“经典、经验、想当然”作为论据
参考文章：《中国人思维的五大缺陷》作者：芦笛
总结：中国数学是经验型的，结构松散毫无逻辑，中国人做事也不讲逻辑。
擅长逻辑，比如平面几何的公理系统，从几个公理出发当成起点推出定理、性质、推论。或由以定理、性质、推论为依据推出定理、性质、推论，每一步都有论据，这论据要么是公理要么是定理、性质、推论。最后形成严密的公理化系统，注意是严密，或严密的逻辑系统。逻辑学就是发达于西方. 学习数学有点就是学习西方人如何思维,高考大部分考西方的思维方式。只有算法是考中国人思维方式
同学们，书上只介绍了三个基本事实即公理，为什么？ 那是因为要建立立体几何公理系统，有这三个公理就足够了，其它都可以把它推导出来，可以当推论或当性质等。其实加上公理4就真的够了，其他任何事实都可以由着四个公理加平面几何的公理和定理推导出来。
有的同学马上想知道这三个事实即三个公理还有推导到底用在哪里？
公理系统是什么？我们前面提过。 什么是公理？那就是不证自明非常显然的事实，公理是我们证明的原点或起点，从原点或起点出发到达我们要到的地方。证明先从公理开始。证明的起点是显而易见的事实，这事实就是公理。公理是去证别人而自己是不能证明的。 同学们很多立体几何定理结论实在是太明显太显然了，比公理还显然，但注意它不是公理而是可以证明出来的性质或定理，我们中国人觉得拿过来用就可以了，但西方不然,要证明出它。这在平时的证明中可以当定理使用。注意我们证明题目时的论据都是来自于教材，教材之外的不会考到，虽然教材之外补充了许多定理、性质。 同学们有没有发现西方人没事找事做，吃饱了撑着？正因为西方人的这种刨根究底的精神造就了西方发达的科学。在中国这些是经验，没有证明的迹象。 虽然结论很显然但证明却是不容易。 定理：两条平行线一条垂直一个平面另一条也垂直这个平面 这样的定理很多。 同学们注意，以上的定理其实我们都是不知不觉无意识的在使用它们了，在中国这是显然的经验，在使用这些定理时我们自己都没有意识到。西方人不这么干，他把这些不知不觉无意识使用的经验拿出来用公理化思想证明,形成一个极其严密不是松散的系统。这造就了西方发达的科技。 如果我们不学习其实同学们在证明命题时自己自动会使用它们，连自己都没有意识到。因为太显然了，比公理还显然，太常识了，以至于我们没有注意它们,是熟视无睹啊。 我们为什么要学习这几个定理就是让无意识的东西进入我们的意识。
如果同学们还想知道公理系统更多的有关知识，请百度：公理系统的相容性、独立性和完备性。 或百度百科：几何公理体系的基本问题，地址链接：%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%85%AC%E7%90%86%E4%BD%93%E7%B3%BB%E7%9A%84%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E9%97%AE%E9%A2%98/5557001?fr=aladdin。 如果还想了解更多，请百度百科：哥德尔不完备性定理。链接地址：%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86/4116640?frmtitle=%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%A4%87%E5%AE%9A%E7%90%86&frmid=11039894&fr=aladdin。
交换“平行”与“垂直”
线面垂直性质定理深化探究
结论：垂直于平面的直线，也垂直于和这个平面平行的直线.
(2):设l为直线，α，β为平面，若l⊥α，α//β，则l与β的位置关系如何？为什么？
结论：两个平行平面中的一个垂直于一条直线，则另一个平面也垂直于这条直线.
（3）:设l为直线，α、β为平面，若l⊥α，l⊥β，则平面α、β的位置关系如何？为什么？
结论：垂直于同一条直线的两个平面平行
同学们这3个结论实在是太明显太显然了，比公理还显然，但注意它不是公理而是可以证明出来的性质，这在平时的证明中可以当定理使用。注意我们证明题目时的论据都是来自于教材，教材之外的不会考到，虽然教材之外补充了许多定理、性质。 同学们有没有发现西方人没事找事做，吃饱了撑着？正因为西方人的这种刨根究底的精神造就了西方发达的科学。在中国这些是经验，没有证明的迹象。
因为时间关系，我们不证明这三个结论。
1.△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　)A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定
2. 已知直线 a, b 和平面 a, 且 a⊥b, a⊥a, 则 b 与 a 的位置关系是 .
分析:借助正方体模型.
例1：如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC, A1D都垂直相交.求证:EF∥BD1.
分析连接AB1与CB1,证明EF与BD1都与平面AB1C垂直.
证明:连接AB1,B1C,BD,如图.
∵DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴DD1⊥AC.又AC⊥BD,BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1B1.∴AC⊥BD1.
同理BD1⊥B1C,∵AC∩B1C=C,∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.又EF⊥AC,AC∩B1C=C,∴EF⊥平面AB1C.
线面垂直性质定理的应用
本例应用线面垂直的性质达到证明线线平行的目的,即线面垂直的性质提供了线线平行的依据.
在空间证明线线平行的方法有: （1）定义法（2）基本事实4（3）线面平行的性质定理（4）面面平行的性质定理（5）线面垂直的性质定理.（6）初中所学(三角形中位线,平行四边形对边等)
直线与平面垂直的其他性质: (1)若一条直线垂直于一个平面,则它就垂直于这个平面内的任意一条直线; (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面; (3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平面; (4)垂直于同一条直线的两个平面平行.
例2 如右图所示，已知异面直线a、b与AB垂直相交于A、B，且a、b分别垂直于平面α、β，α∩β＝c，求证：AB∥c.
【分析】由题目可获取以下主要信息：①AB⊥a,AB⊥b,a、b异面；②a⊥α,b⊥β.解答本题可先利用线⊥面的性质得线⊥线，再证平行．
例2 如右图所示，已知异面直线a、b与AB垂直相交于A、B，且a、b分别垂直于平面α、β，α∩β＝c，求证：AB∥c.
【证明过点B引直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ，因为AB⊥a ，a′∥a，所以AB⊥a′，又AB⊥b, a′∩b＝B, 所以AB⊥γ.因为b⊥β，c⊂β，所以b⊥c①因为a⊥α，c⊂α，所以a⊥c，又a′∥a，所以a′⊥c②由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，所以AB∥c.
练习：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC. 求证：(1)MN∥AD1； (2)M是AB的中点．
【证明】 (1)∵四边形ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.
【分析】要证明线线平行，要先证线面垂直，即证AD1⊥平面A1DC.
如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上的动点，过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，E是VC的中点，D是VA上的点，若DE⊥平面VBC，试确定D点的位置．
解：∵VC⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴VC⊥AC，又∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，而BC∩VC＝C，∴AC⊥平面VBC，若DE⊥平面VBC，则由线面垂直的性质定理可知，DE∥AC，又∵点E是VC的中点，∴DE是△VAC的中位线，∴D是VA的中点．
[分析]　证明MN∥AD1，转化为证明AD1⊥平面A1DC，MN⊥平面A1DC．[证明]　因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D．又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
变式训练 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：MN∥AD1；
过平面外一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
同学们这个结论实在是太明显太显然了，比公理还显然，但注意它不是公理而是可以证明出来的性质，这在平时的证明中可以当定理使用。注意我们证明题目时的论据都是来自于教材，教材之外的不会考到，虽然教材之外补充了许多定理、性质。 同学们有没有发现西方人没事找事做，吃饱了撑着？正因为西方人的这种刨根究底的精神造就了西方发达的科学。在中国这些是经验，没有证明的迹象。
一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.
如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
思考：如果两个平面平行,在其中一个平面内任取几个点,这些点到另一个平面的距离相等吗?
棱柱和棱台的高就是上、下底面这两个平行平面之间的距离.
[解]连接PA，PB.易知△SAC，△ACB是直角三角形所以SA⊥AC，BC⊥AC.取AB、AC的中点E、F，连接PF，EF，PE则EF∥BC，PF∥SA.
所以EF⊥AC，PF⊥AC.因为PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF.
又PE⊂平面PEF，所以PE⊥AC.
易证△SAC≌△SBC.因为P是SC的中点，所以PA＝PB.而E是AB的中点，所以PE⊥AB.因为AB∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC.从而PE的长就是点P到平面ABC的距离．
方法提升：求点到面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线段．可通过外形进行转化，转化为易于求解的点，等体积法也是求点到平面的距离的常用方法．
反思感悟 距离的定义具有最短性和确定性,充分体现了化归思想.两个平行平面间的距离、直线到平面的距离,都是转化为求点到平面的距离来解决.
求点到平面的距离一般有两种方法:
(1)构造法:根据定义构造垂直于面的直线,确定垂足位置,将所求线段化归到三角形中求解. (2)等积变换法:将所求距离看作某个几何体(多为棱锥)的高,利用体积相等建立方程求解.
1、在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，BB1＝2.求直线B1C1与平面A1BC的距离．