2022年北京海淀区九年级数学一模试卷

这是一份2022年北京海淀区九年级数学一模试卷，共20页。试卷主要包含了04，如图，，，分解因式等内容，欢迎下载使用。
2022．04
学校__________ 姓名__________准考证号__________
第一部分选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
右图是一个拱形积木玩具，其主视图是
（A） （B） （C）（D）
2．2022年北京打造了一届绿色环保的冬奥会。张家口赛区按照“渗、滞、蓄、净、用、排”的原则，在古杨树场馆群修建了250000立方米雨水收集池，用于收集雨水和融雪水，最大限度减少水资源浪费。将250000用科学记数法表示应为
（A）（B）（C）（D）
3．如图，，．若平分，则
（A）20°（B）70°
（C）80°（D）140°
4．若一个多边形的每个外角都是30°，则这个多边形的边数为
（A）6（B）8
（C）10（D）12
5．不透明的袋子中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外无其他差别。从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是
（A） （B）（C）（D）
6．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是
（A）（B）（C）（D）
7．北京2022年冬奥会的开幕式上，各个国家和地区代人场所持的引导牌是中国结和雪花融合的造型，如图1是中国体育代表团的引导牌，观察发现，图2中的图案可以由图3中的图案经过对称、旋转等变换得到。下列关于图2和图3的说法中，不正确的是
（A）图2中的图案是轴对称图形
（B）图2中的图案是中心对称图形
（C）图2中的图案绕某个固定点旋转60°，可以与自身重合
（D）将图3中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转120°，可以设计出图2中的图案
8．某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为．是舞台边缘上两个固定位置，由线段及优弧围成的区域是表演区。若在处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示。若在处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示
若将灯光装置改放在如图3所示的点或处，能使表演区完全照亮的方案可能是
①在处放置2台该型号的灯光装置
②在处各放置1台该型号的灯光装置
③在处放置2台该型号的灯光装置
（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③
第二部分非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9．若代数式，有意义，则实数的取值范围是__________．
10．已知，且是整数，请写出一个符合要求的的值__________．
11．分解因式：__________．
12．如图，是的切线，为切点。若，则的大小为__________．
13．已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是__________．
14．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点和点，则点的坐标为__________．
15．如图，在4×4的正方形网格中，是网格线交点，请画出一个，使得与全等。
16．甲、乙在下图所示的表格中从左至右依次填数。如图，已知表中第一个数字是1，甲、乙轮流从2,3,4,5,6,7,8,9中选出一个数字填入表中（表中已出现的数字不再重复使用）。每次填数时，甲会选择填入后使表中数据方差最大的数字，乙会选择填入后使表中数据方差最小的数字。甲先填，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果。
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：．
18．解不等式组：
19．已知，求代数式的值．
20．《元史·天文志》中记载了元朝著名天文学家郭守敬主持的一次大规模观测，称为“四海测验”．这次观测主要使用了“立杆测影”的方法，在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”与现在人们所说的“北纬”完全吻合。利用类似的原理，我们也可以测量出所在地纬度。如图1所示．
①春分时，太阳光直射赤道。此时在地直立一根杆子，在太阳光照射下，杆子在地面上形成影子。通过测量杆子与它的影子的长度，可以计算出太阳光与杆子MN所成的夹角；
②由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的，所以根据太阳光与杆子所成的夹角可以推算得到地的纬度，即的大小．
（1）图2是①中在地测算太阳光与杆子所成夹角的示意图。过点作的垂线与直线交于点，则线段可以看成是杆子在地面上形成的影子。使用直尺和圆规，在图2中作出影子MQ（保留作图痕迹）；
（2）依据图1完成如下证明。
证明：，
∴．________ （_______________） （填推理的依据）．
∴（地的纬度为．）
21．如图，在中，，是的中点，点在射线上，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积。
22．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数，的图象平移得到，且经过点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接且经过点写出的取值范围．
23．数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案。他们想探究容器表面积与底面半径的关系．
具体研究过程如下，请补充完整：
（1）建立模型：设该容器的表面积为？，底面半径为，高为，则
，①
，②
由①试得，，代人②式得
③
可知，是的函数，自变量的取值范围是．
（2）探究函数：
根据函数解析式③，按照下表中自变量的值计算（精确到个位），得到了与的几组对应值：
在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）解决问题：根据图表回答，
①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积________（填“大”或“小”）；
②若容器的表面积为300cm²，容器底面半径约为________cm（精确到0．1）。
24．如图，是的外接圆，是的直径。点为的中点．的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接交于点，若．．
求和的长．
25．为增进学生对营养与健康知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、指述和分析。下图是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图。
（1）①学生甲第一次成绩是85分，则该生第二次成绩是______分，他两次活动的平均成绩是______分；
②学生乙第一次成绩低于80分，第二次成绩高于90分，请在图中用“○”圈出代表乙的点；
（2）为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，A，B，C三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成6组：，，，，，）：
已知这三人中只有一人正确作出了统计图，则作图正确的是__________；
（3）假设有400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为_______．
26．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点。
（1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；
（2）一次函数的图象经过点，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上．若，求的取值范围．
27．在中，，，为边上一动点，点在边上，．点关于点的对称点为点，连接，为的中点，连接．
（1）如图1，当点与点重合时，写出线段与之间的位置关系与数量关系；
（2）如图2，当点与点不重合时，判断（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例。
8．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点是点的等和点。
已知点
（1）在中，点的等和点有__________；
（2）点在直线上，若点的等和点也是点的等和点，求点的坐标；
（3）已知点和线段，对于所有满足的点，线段上总存在线段上每个点的等和点．若的最小值为5，直接写出的取值范围。
海淀区九年级第二学期期中练习
数学试卷答案
第一部分 选择题
一、选择题 （本题共16分，每小题2分）
第二部分 非选择题
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9． 10．不唯一，m的值为2或3 11． 12．60° 13． 14．（1，）
15．不唯一，符合题意即可 16．不唯一，填9-5-2-4或9-5-8-6均可
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（本题满分5分）
解：原式
．
18．（本题满分5分）
解：原不等式组为
解不等式①，得．
解不等式②，得．
∴ 原不等式组的解集为．
19．（本题满分5分）
解：原式 =
= ．
∵ ，
∴ ．
∴ 原式 = 3．
20．（本题满分5分）
（1）如图所示，线段MQ即为所求．
（2）∠OND，
两直线平行，内错角相等．
21．（本题满分6分）
（1）证明：
∵ D是BC的中点，
∴ BD=CD．
∵ DE=DF，
∴ 四边形BECF是平行四边形．
∵ AB=AC，D是BC中点，
∴ AD⊥BC．
∴ 平行四边形BECF是菱形．
（2）解：
∵ BC=6，D为BC中点，
∴ ．
设，
∵ AD=6，
∴ ．
∴ ．
∵ AD⊥BC，
∴ ∠BDE=90°．
∴ 在Rt△BDE中，．
∴ ．
解得：，即．
∴ ．
∴ ．
22．（本题满分5分）
（1）解：
∵ （）的图象由平移得到，
∴ ．
∵ 函数图象过（，0），
∴ ，即．
∴ ．
∴ 这个一次函数的解析式为．
（2）．
23．（本题满分6分）
（2）探究函数：
函数图象如图所示：
（3）解决问题：
① 大．
② 2.5或5.3．
24．（本题满分6分）
（1）解：连接OD，与AC交于H，如图．
∵ DE是⊙O的切线，
∴ OD⊥DE．
∴ ∠ODE=90°．
∵ D为的中点，
∴ ．
∴ ∠AOD=∠COD．
∵ AO=CO，
∴ OH⊥AC．
∴ ∠OHC=90°=∠ODE．
∴ DE∥AC．
（2）解：
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°．
∵ AC=8，，
∴ 在Rt△ABC中，．
∴ OA=OB=OD=5．
∵ OH⊥AC，
∴ ．
∴ ．
∵ DE∥AC，
∴ △OCH ∽ △OED．
∴ ．
∴ ．
∵ ∠BCH=∠DHC=90°，∠AFD=∠CFB，
∴ △BCF ∽ △DHF．
∴ ．
∵ ，DH=OD-OH=2，
∴ CF=3HF．
∵ CF+HF=CH=4，
∴ CF=3．
∴ ．
25．（本题满分5分）
（1）① 90， 87.5．
② 如图所示
（2）B．
（3）180．
26．（本题满分6分）
（1）解：
∵ 二次函数的图象过点A（，3），
∴ ，解得：．
∴ 二次函数的解析式为．
∵ ，
∴ 顶点坐标为（1，）．
（2）解：
∵ 一次函数的图象也经过点A（，3），
∴ ，解得：．
∴ 一次函数的解析式为．
如图，将函数的图象向右平移4个单位长度，
得到函数的图象.
∴点（3，3）在函数的图象上.
∵点（3，3）也在函数的图象上，
∴函数图象与图象的交点为（1，）和（3，3）.
∵ 点（m，）在函数的图象上，
∴ 点（，）在函数的图象上．
∵ 点（，）在函数的图象上，
∴ 要使，只需．
∴ ．
27．（本题满分7分）
（1）PE⊥PF，
．
（2）仍然成立．
证明：连接DE，延长EP到点G，使得EP=PG，连接FG，FD．
∵ ∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴ ∠C=90°-∠BAC=60°．
∵ CD=CE，
∴ △CDE为等边三角形．
∴ ∠CED=60°，DE=CE．
∵ P为AD中点，
∴ AP=DP．
∵ EP=PG，∠APE=∠DPG，
∴ △APE ≌ △DPG．
∴ ∠EAP=∠PDG，AE=DG．
∴ AE∥DG．
∴ ∠EDG=∠DEC=60°．
∴ ∠EDG=∠C．
设 ，，
∴ ．
∵ ∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴ ．
∴ ．
∵ D，F关于AB对称，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ △EDG ≌ △ECF．
∴ EG=EF，∠CEF=∠DEG．
∴ ∠FEG=∠CED=60°．
∴ △EFG为等边三角形．
∵ P为EG中点，
∴ PF⊥EG．
∴ 在Rt△PEF中，．
28．（本题满分7分）
（1），．
（2）解：
∵ A在直线上，
∴ 设点A的坐标为（ ）．
设点P的一个等和点为（m，n），
∴ m，n满足．
由于点（m，n）也是点A的等和点，
∴ m，n满足．
结合这两个式子，推出，即．
∴ A的坐标为（3，1）．
（3）或．
考
生
须
知
1．本试卷共8页，共五道大题，24道小题，满分100分。考试时间150分钟。
2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
x/cm
…
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
…
S/cm2
…
666
454
355
303
277
266
266
274
289
310
336
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
B
D
A
B
D
A