七年级下册10.3 解二元一次方程组习题

这是一份七年级下册10.3 解二元一次方程组习题，共28页。

10.3 解二元一次方程组
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解二元一次方程组

代入消元法解二元一次方程组

题型1
加减消元法解二元一次方程组

题型2
二元一次方程组的特殊解法
题型3
二元一次方程组的错解复原问题
题型4
二元一次方程组中含参数问题

题型5

题型变式

【题型1代入消元法解二元一次方程组】（2021·全国·七年级专题练习）解下列方程组
（1）； （2）；


【变式1-1】（2022·全国·七年级课前预习）求方程组的解
把方程组①代入②，得：____________，
得出x＝2，将x＝2代入②得出：y＝____________，
所以方程组的解为：____________

【变式1-2】（2021·全国·七年级专题练习）解下列二元一次方程组：



【题型2加减消元法解二元一次方程组】（2021·贵州六盘水·八年级期末）已知二元一次方程组，则x＋y＝______．

【变式2-1】（2021·北京·七年级期末）解方程组．


【题型3二元一次方程组的特殊解法】（2021·山西·太原师范学院附属中学八年级阶段练习）阅读材料：
在解方程组时，萌萌采用了一种“整体代换”的解法．
解：将方程②变形：，即③
把方程①代入③得，
∴，
把代入①，得，
∴原方程组的解为．
请模仿萌萌的“整体代换”法解方程组

【变式3-1】（2021·山东芝罘·七年级期中）阅读下列材料：
小明同学遇到下列问题：解方程组小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为，解的，把代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，得解得所以，原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
（1）； （2）．


【题型4二元一次方程组的错解复原问题】（2022·全国·八年级）在解方程组时，甲由于粗心看错了方程组中的a，求出方程组的解为，乙看错了方程组中的b，求得方程组的解为，甲把a看成了什么？乙把b看成了什么？求出原方程组的正确解．


【变式4-1】（2021·全国·八年级专题练习）甲、乙二人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的m值，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的n的值，得到方程组的解为，试求代数式的值．


【题型5二元一次方程组中含参数问题】（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值是_______．

【变式5-1】（2021·湖南·邵阳县教育科学研究室七年级期末）关于、的方程组的解也是方程的解，则的值为______．



专项训练

一．选择题
1． （2021·天津市滨海新区大港太平村中学七年级期中）把方程写成用含x的式子表示y的形式，以下各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·贵州六盘水·八年级期末）用代入消元法解二元一次方程组，将①代入②消去x，可得方程（ ）
A．（y＋2）＋2y＝0 B．（y＋2）﹣2y＝0 C．x＝x＋2 D．x﹣2（x﹣2）＝0
3．（2021·安徽阜阳·七年级阶段练习）若xa﹣b﹣2ya+b﹣2＝0是二元一次方程，则a，b的值分别是（ ）
A．1，0 B．0，﹣1 C．2，1 D．2，﹣3
4．（2022·全国·八年级）如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解,那么的值是( )
A．9 B．7 C．5 D．3
5．（2022·全国·八年级）关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3
二、填空题
6．（2022·安徽蚌埠·七年级期末）已知，则的值是 __．
7．（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）若关于x，y的方程是二元一次方程，则的值是__________．
8．（2022·重庆巴蜀中学八年级期末）关于x、y二元一次方程组的解满足，则k的值为______．
9．（2021·天津·南开翔宇学校七年级阶段练习）已知关于x的方程＝1+中，a、b、k为常数，若无论k为何值，方程的解总是x＝1，则a+b的值为 ___．
10．（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值是_______．
三、解答题
11．（2021·江苏·丹阳市第八中学七年级期中）解方程组：
(1) (2)


12．（2022·广东大埔·八年级期末）解方程组：
(1) (2)


13．（2022·重庆南开中学八年级期末）解下列方程组：
(1) (2)


14．（2022·四川巴中·八年级期末）解方程组时，两位同学的解法如下：
解法一：由①﹣②，得3x＝﹣3
解法二：由②得3x+（x﹣2y）＝5③
①代入③得3x+2＝5
(1)反思：上述两种解题过程中你发现解法　 　的解题过程有错误（填“一”或“二”）；解二元一次方程组的基本思想　 　．
(2)请选择一种你喜欢的方法解此方程组．
15．（2021·全国·七年级期中）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：．
解：①，得③，第一步，
②③，得，第二步，
．第三步，
将代入①，得．第四步，
所以，原方程组的解为．第五步．
填空：
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做______．
、代入消元法
、加减消元法
(2)第______步开始出现错误，具体错误是______；
(3)直接写出该方程组的正确解：______．

16．（2021·河南嵩县·七年级期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5，③
把方程①代入③，得2×3+y＝5，∴y＝﹣1，把y＝﹣1代入①，得x＝4，
∴方程组的解为．
请你根据以上方法解决下列问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；
（2）已知x，y满足方程组，求xy的值．



【题型1代入消元法解二元一次方程组】（2021·全国·七年级专题练习）解下列方程组
（1）； （2）；
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用代入消元法解方程即可；
（2）利用代入消元法解方程即可．
【详解】
（1），
将①代入②，得3x-2（x-3）=5，
解得x=-1，
将x=-1代入①，得y=-1-3=-4，
∴方程组的解是；
（2），
由②得：y=2x-7③，
将③代入①得，3x+2（2x-7）=21，
解得x=5，
将x=5代入③得，y=3，
∴这个方程组的解是．
【点睛】
此题考查解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的解法：代入法或加减法，根据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键．
【变式1-1】（2022·全国·七年级课前预习）求方程组的解
把方程组①代入②，得：____________，
得出x＝2，将x＝2代入②得出：y＝____________，
所以方程组的解为：____________
【答案】 x+x-2=2 0
【解析】略
【变式1-2】（2021·全国·七年级专题练习）解下列二元一次方程组：

【答案】
【解析】
【分析】
先把方程组进行整理，然后利用代入消元法解方程组，即可得到答案．
【详解】
解：，
整理得：，
由①得：③，
把③代入②，得：，
解得：，
把代入③，得，
∴方程组的解为．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法进行解题．

【题型2加减消元法解二元一次方程组】（2021·贵州六盘水·八年级期末）已知二元一次方程组，则x＋y＝______．
【答案】3
【解析】
【分析】
用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】
解：∵，
①+②，得4x+4y＝12，
∴x+y＝3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
【变式2-1】（2021·北京·七年级期末）解方程组．
【答案】．
【解析】
【分析】
应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
【详解】
解：，
①+②，可得4x=8，
解得x=2，
把x=2代入①，解得y=，
∴原方程组的解是．
【点睛】
本题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．

【题型3二元一次方程组的特殊解法】（2021·山西·太原师范学院附属中学八年级阶段练习）阅读材料：
在解方程组时，萌萌采用了一种“整体代换”的解法．
解：将方程②变形：，即③
把方程①代入③得，
∴，
把代入①，得，
∴原方程组的解为．
请模仿萌萌的“整体代换”法解方程组
【答案】．
【解析】
【分析】
将方程②变形为2（4x-3y）-y=18，再将4x-3y=6整体代入即可求方程组．
【详解】
解：中，
将②变形，得：8x-6y-y=18即2（4x-3y）-y=18③，
将①代入③得，2×6-y=18，
∴y=-6，
将y=-6代入①得，x=-3，
∴方程组的解为．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，体会整体思想解方程组的便捷是解题的关键．
【变式3-1】（2021·山东芝罘·七年级期中）阅读下列材料：
小明同学遇到下列问题：解方程组小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为，解的，把代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，得解得所以，原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
认真理解题目中给定的整体代换思路，按照所给的方法求出方程组的解即可．
【详解】
解：（1）令，，
原方程组化为，
解得：，
，
解得：．
原方程组的解为．
（2）令，，
原方程组可化为：，
解得：，
，
经检验，是原方程的解．
原方程组的解为．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，整体代换是解题的关键．

【题型4二元一次方程组的错解复原问题】（2022·全国·八年级）在解方程组时，甲由于粗心看错了方程组中的a，求出方程组的解为，乙看错了方程组中的b，求得方程组的解为，甲把a看成了什么？乙把b看成了什么？求出原方程组的正确解．
【答案】甲把a看4，乙把b看成了，原方程组的正确解是
【解析】
【分析】
把代入①可解得看错的a，代入②可解得正确的b，把代入①可解得正确的a，代入②可解得看错的b，进一步即可求出结果；
【详解】
解：由题意把代入①得a+6=10，得看错的a=4，把代入②得1+6b=7，解得正确的b=1；
把代入①得-a+12=10，得正确的a=2，把代入②得-1+12b=7，解得看错的b=，
则原方程组为，解得；
所以甲把a看4，乙把b看成了，原方程组的正确解是．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键．
【变式4-1】（2021·全国·八年级专题练习）甲、乙二人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的m值，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的n的值，得到方程组的解为，试求代数式的值．
【答案】9.25
【解析】
【分析】
将代入②计算求出n的值，将代入①中计算求出m的值，由此即可求得答案．
【详解】
解：将代入②得：
﹣6+2n＝﹣3，
解得：n＝1.5，
将代入①得：
﹣5m+4＝﹣6，
解得：m＝2，
当m＝2，n＝1.5时，
m2+n2+mn＝4+2.25+3＝9.25．
【点睛】
本题考查的是二元一次方程组的解，解答此题关键是将每一个解代入没有看错的方程中，分别求m、n的值．

【题型5二元一次方程组中含参数问题】（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值是_______．
【答案】2
【解析】
【分析】
先两式相加得，再整体代入方程5x+y=得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．
【详解】
解：，
①+②得，
把代入5x+y=得，
解得m=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，同时也考查了求一元一次方程的解．整体代入是解题的关键．
【变式5-1】（2021·湖南·邵阳县教育科学研究室七年级期末）关于、的方程组的解也是方程的解，则的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】
将m看做已知数，求出方程组的解得到x与y的值，将求出x与y的值代入方程中，得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
【详解】
解：解方程组，得，
把代入得：，
解得：，
故答案为：3．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

专项训练

一．选择题
2． （2021·天津市滨海新区大港太平村中学七年级期中）把方程写成用含x的式子表示y的形式，以下各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，将看作已知数求出即可
【详解】
解：



故选C
【点睛】
本题考查了代入消元法解二元一次方程组，将看作已知数求出是解题的关键．
2．（2021·贵州六盘水·八年级期末）用代入消元法解二元一次方程组，将①代入②消去x，可得方程（ ）
A．（y＋2）＋2y＝0 B．（y＋2）﹣2y＝0 C．x＝x＋2 D．x﹣2（x﹣2）＝0
【答案】B
【解析】
【分析】
把x﹣2y＝0中的x换成（y+2）即可．
【详解】
解：用代入消元法解二元一次方程组，将①代入②消去x，
可得方程（y+2）﹣2y＝0，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了解二元一次方程组，解方程组的基本思想是消元，基本方法是代入消元和加减消元．
3．（2021·安徽阜阳·七年级阶段练习）若xa﹣b﹣2ya+b﹣2＝0是二元一次方程，则a，b的值分别是（ ）
A．1，0 B．0，﹣1 C．2，1 D．2，﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二元一次方程的定义，可得到关于a，b的方程组，解出即可求解．
【详解】
解：∵xa﹣b﹣2ya+b﹣2＝0是二元一次方程，
∴ ，
解得：．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程的定义和解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
4．（2022·全国·八年级）如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解,那么的值是( )
A．9 B．7 C．5 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出的解，然后代入可求出a的值．
【详解】
解：，
由①+②，可得2x＝4a，
∴x＝2a，
将x＝2a代入①，得
2a-y=a，
∴y＝2a﹣a＝a，
∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，
∴将代入方程3x﹣5y﹣7＝0，可得6a﹣5a﹣7＝0，
∴a＝7，
故选B．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
5．（2022·全国·八年级）关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出方程组的解，由方程组的解为正整数分析得出a值．
【详解】
解：解方程组，得，
∵方程组的解为正整数，
∴a＝0时，；a＝2时，，
∴满足条件的所有整数a的和为0+2＝2．
故选：C．
【点睛】
此题考查了已知二元一次方程组的解求参数，解题的关键是求出方程组的解，由方程组解的情况分析得到a的值．
二、填空题
6．（2022·安徽蚌埠·七年级期末）已知，则的值是 __．
【答案】
【解析】
【分析】
根据乘方和绝对值的性质，得二元一次方程组并求解，即可得到x和y的值，结合代数式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
，
，，即，
将代入到，得：
去括号，得：
移项并合并同类项，得：
将代入到，得
∴
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了乘方、绝对值、二元一次方程组、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的性质，从而完成求解．
7．（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）若关于x，y的方程是二元一次方程，则的值是__________．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据二元一次方程的定义含有两个未知数并且含未知数的项的次数为1的方程是二元一次方程，建立方程组计算即可．
【详解】
解：∵关于，的方程是二元一次方程，
∴，
解得，
∴mn=0，
故答案为：0．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程组的解法，代数式的值，根据方程的定义构造方程组是解题的关键．
8．（2022·重庆巴蜀中学八年级期末）关于x、y二元一次方程组的解满足，则k的值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】
转化方程组，求得解后，代入求值即可．
【详解】
∵，
解得，
∴，
∴k=8，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，熟练构造新方程组是解题的关键．
9．（2021·天津·南开翔宇学校七年级阶段练习）已知关于x的方程＝1+中，a、b、k为常数，若无论k为何值，方程的解总是x＝1，则a+b的值为 ___．
【答案】
【解析】
【分析】
将代入方程，然后令的系数为0，得到关于的二元一次方程组，求解即可．
【详解】
解：将代入方程＝1+得

由题意可得：，解得
则
故答案为：
【点睛】
此题考查了一元一次方程解的含义以及二元一次方程组的求解，解题的关键是理解题意，掌握二元一次方程组的求解．
10．（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值是_______．
【答案】2
【解析】
【分析】
先两式相加得，再整体代入方程5x+y=得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．
【详解】
解：，
①+②得，
把代入5x+y=得，
解得m=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，同时也考查了求一元一次方程的解．整体代入是解题的关键．
三、解答题
11．（2021·江苏·丹阳市第八中学七年级期中）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
用代入消元法或加减消元法解二元一次方程即可．
(1)
原方程可转化为，
由①，得③，
把③代入②，得，
把代入①，得，
故原方程组的解为．
(2)
原方程组可转化为，
由①×4+②×5得：，解得，
把代入②式得：，故原方程组的解为．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代人消元法，简称代入法．当二元一次方程组的两个方程中间一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
12．（2022·广东大埔·八年级期末）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
根据加减消元的方法求解即可．
(1)
解：，
由①-②得：，
∴，
把代入②，解得：，
∴方程组的解为；
(2)
解：方程组整理得：，
由①+②，得：，
∴，
把代入①，得：，
∴方程组的解为．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
13．（2022·重庆南开中学八年级期末）解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）用代入法即可完成解答；
（2）先把方程组中的两个方程分别化简，再用加减法即可完成解答．
(1)

把①代入②得：
解得：x=1
把x=1代入①中，得y=2
所以原方程组的解为；
(2)

原方程组化简为
③−④得：5x=20
解得：x=4
把x=4代入④得：y=5.5
原方程组的解为．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，根据方程组的特点灵活选取适当的方法解方程组；当方程组中的两个方程有括号或分母时，往往先把每个方程化简，再用代入法或加减法解．
14．（2022·四川巴中·八年级期末）解方程组时，两位同学的解法如下：
解法一：由①﹣②，得3x＝﹣3
解法二：由②得3x+（x﹣2y）＝5③
①代入③得3x+2＝5
(1)反思：上述两种解题过程中你发现解法　 　的解题过程有错误（填“一”或“二”）；解二元一次方程组的基本思想　 　．
(2)请选择一种你喜欢的方法解此方程组．
【答案】(1)一，消元；
(2)
【解析】
【分析】
（1）上述两种解题过程中解法一的解题过程有错误，解二元一次方程组的基本思想消元思想；
（2）用②①，消去，求出，再把的值代入①即可求出．
(1)
解：上述两种解题过程中解法一的解题过程有错误，解二元一次方程组的基本思想消元思想；
故答案为：一；消元；
(2)
解：②①得：，解得，
将代入①得：，解得，
所以方程组的解为：．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握消元的思想和消元的方法，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
15．（2021·全国·七年级期中）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：．
解：①，得③，第一步，
②③，得，第二步，
．第三步，
将代入①，得．第四步，
所以，原方程组的解为．第五步．
填空：
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做______．
、代入消元法
、加减消元法
(2)第______步开始出现错误，具体错误是______；
(3)直接写出该方程组的正确解：______．
【答案】(1)B
(2)二；应该等于
(3)
【解析】
【分析】
（1）②−③消去了x，得到了关于y的一元一次方程，所以这是加减消元法；
（2）第二步开始出现错误，具体错误是−3y−（−4y）应该等于y；
（3）解方程组即可．
(1)
解：②③消去了，得到了关于的一元一次方程，
故答案为：；
(2)
解：第二步开始出现错误，具体错误是应该等于，
故答案为：二；应该等于；
(3)
解：②③得，
将代入①，得：，
原方程组的解为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
16．（2021·河南嵩县·七年级期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5，③
把方程①代入③，得2×3+y＝5，∴y＝﹣1，把y＝﹣1代入①，得x＝4，
∴方程组的解为．
请你根据以上方法解决下列问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；
（2）已知x，y满足方程组，求xy的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）模仿小军的解法求出方程组的解即可；
（2）利用“整体代换”的思想求出xy的值即可．
【详解】
解：（1），
由②得：3(3x﹣2y)+2y＝19③，
把①代入③得：15+2y＝19，
解得：y＝2，
把y＝2代入①得：3x﹣4＝5，
解得：x＝3，
则方程组的解为；
（2），
由①得：2(2x2+xy)﹣4xy＝7③，
把②代入③得：12﹣4xy＝7，
解得：xy＝．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组．利用了整体思想及消元思想，消元方法有：代入消元法和加减消元法