中考必会专题《菱形的性质与判定》解答题专练（含解析）

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专题《菱形的性质与判定》解答题专练
1．（2020春•句容市期中）如图，已知，分别以、为圆心，以长度10为半径作弧，两条弧分别相交于点和．依次连接、、、，连接交于点．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）求的长．

2．（2020•新都区模拟）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作平行四边形，如图1所示．

（1）证明平行四边形是菱形；
（2）若，连接、、，如图2所示，
①求证：；
②求的度数．
（3）若，，，是的中点，如图3所示，求的长．
3．（2021春•亭湖区校级期中）如图，在菱形中，为对角线上一点，且，连接．
（1）求证：；
（2）当，时，求菱形的边长．

4．（2019春•秦淮区期末）已知：如图，在中，、分别是、的中点，、、分别是对角线上的四等分点，顺次连接、、、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当满足　　条件时，四边形是菱形；
（3）若，
①探究四边形的形状，并说明理由；
②当，时，直接写出四边形的面积．

5．（2019春•姜堰区期中）已知：如图，在四边形中，，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．

6．（2020春•泰兴市校级期末）如图，菱形中，对角线，相交于点，，，，在对角线上．
（1）若．
①判断四边形的形状并说明理由；
②若，求线段的长；
（2）将（1）中的线段从当前位置沿射线的方向平移，若平移过程中，求此时的长．

7．（2020秋•渝中区校级期中）如图，在菱形中，对角线和交于点，为上一动点，过点作交于点，连接、．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．

8．（2020•兴庆区校级一模）如图，四边形是菱形，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求菱形的面积．

9．（2020春•海淀区校级月考）如图，菱形中，，分别为，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，若，，求的长．

10．（2020春•兴宁区校级期末）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分．过点作交的延长线于点连接．
（1）求证；四边形是菱形；
（2）若，，求的长．

11．（2020春•通州区期末）如图，菱形的边长是10厘米，对角线，相交于点，且厘米，点，分别在，上，点从点出发，以每秒2厘米的速度向终点运动，点从点出发，以每秒1厘米的速度向点运动，点移动到点后，点，停止运动．
（1）当运动多少秒时，的面积是8平方厘米；
（2）如果的面积为，请你写出关于时间的函数表达式．

12．（2020春•赣州期末）如图所示，在菱形中，，，为正三角形，点、分别在菱形的边、上滑动，且、不与、、重合．
（1）证明不论、在、上如何滑动，总有；
（2）当点、在、上滑动时，分别探讨四边形的面积和的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．

13．（2020春•盱眙县期末）如图，已知菱形的对角线，相交于点，延长至点，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求菱形的面积．

14．（2020春•百色期末）如图，在菱形中，点、分别在边、上，，连接、．
（1）求证：；
（2）点、分别是、上的点，若，，试判断四边形是什么图形，并证明你的结论．

15．（2020春•姜堰区期中）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点．
（1）求证：；
（2）若菱形的边长为2，，求的长．

16．（2020•平房区一模）已知：在菱形中，，点和点分别在边和边上，连接、、，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当点是边中点时，连接对角线分别交、、于点、、，连接交对角线于点，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中面积等于面积3倍的三角形或四边形．

17．（2020春•如东县校级月考）菱形中，，点在边上，点在边上．
（1）如图1，若是的中点，，求证：是的中点．
（2）如图2，若，，求的度数．
18．（2020•香坊区模拟）已知，四边形是菱形，，的两边分别与射线，相交于点，，且．
（1）如图1，当点是线段上任意一点时（点不与，重合），求证：；
（2）如图2，当点在线段的延长线上，连接，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中三对相等的线段（菱形相等的边除外）．

19．（2020•衢州模拟）【猜想】如图1，在平行四边形中，点是对角线的中点，过点的直线分别交．于点．．若平行四边形的面积是8，则四边形的面积是　　．

【探究】如图2，在菱形中，对角线相交于点，过点的直线分别交，于点，，若，，求四边形的面积．
【应用】如图3，在中，，延长到点，使，连接，若，，则的面积是　　．
20．（2020秋•成都期末）如图，是的角平分线，过点作交于点，交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，，求的度数．

21．（2020•阿荣旗一模）如图，是的角平分线，过点作交于点，交于点．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）如果，，求的度数．

22．（2019•路北区二模）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）证明四边形是菱形；
（3）若，，求菱形的面积．

23．（2021春•饶平县校级期末）如图，已知菱形的对角线、相交于点，延长至点，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求菱形的面积．

24．（2021•牡丹区一模）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：．
（2）求证：四边形是菱形．


一．解答题（共24小题）
1．（2020春•句容市期中）如图，已知，分别以、为圆心，以长度10为半径作弧，两条弧分别相交于点和．依次连接、、、，连接交于点．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）求的长．

【分析】（1）根据菱形的判定定理解答；
（2）根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理求出，得到答案．
【解析】（1）四边形是菱形，
理由如下：由题意得，，
四边形是菱形；
（2）四边形是菱形，
，，，
在中，，
．
2．（2020•新都区模拟）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作平行四边形，如图1所示．

（1）证明平行四边形是菱形；
（2）若，连接、、，如图2所示，
①求证：；
②求的度数．
（3）若，，，是的中点，如图3所示，求的长．
【分析】（1）平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再有条件四边形是平行四边形，可得四边形为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出，再判断出，进而得出，即可判断出，再判断出，进而得出是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形为正方形，再证明可得，，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）证明：
平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
又四边形是平行四边形，
四边形为菱形；

（2）①四边形是平行四边形，
，，，
，
，
由（1）知，四边形是菱形，
，，
，，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
；
②，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
；

（3）方法一：如图3中，连接，，

，四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
又由（1）可知四边形为菱形，
，
四边形为正方形．
，
，
为中点，
，
，
在和中，
，
，
，
．
，
是等腰直角三角形．
，，
，
．
方法二：过作于，
，四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
又由（1）可知四边形为菱形，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．

3．（2021春•亭湖区校级期中）如图，在菱形中，为对角线上一点，且，连接．
（1）求证：；
（2）当，时，求菱形的边长．

【分析】（1）由“”可证，即可得出结论；
（2）连接交于，先由菱形的性质可得，，，求出、的长，由勾股定理求出的长，再由勾股定理求出的长，即可得出结果．
【解析】（1）证明：四边形是菱形，
，，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接交于，

四边形是菱形，
，，，
，
，
，，
，
，
菱形的边长为．
4．（2019春•秦淮区期末）已知：如图，在中，、分别是、的中点，、、分别是对角线上的四等分点，顺次连接、、、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当满足　　条件时，四边形是菱形；
（3）若，
①探究四边形的形状，并说明理由；
②当，时，直接写出四边形的面积．

【分析】（1）连接，由平行四边形的性质和已知条件得出、分别为、的中点，证出为的中位线，由三角形中位线定理得出，，同理：，，得出，，即可得出结论；
（2）连接，证出四边形是平行四边形，再证明，即可得出四边形是菱形；
（3）①由（2）得：四边形是平行四边形，得出，证出，即可得出四边形是矩形；
②作于，于，则，证出是的中位线，得出，证出，由直角三角形的性质得出，，得出，求出的面积，即可得出结果．
【解析】（1）证明：连接，如图1所示：
四边形是平行四边形，
，，
的中点在上，
、、分别是对角线上的四等分点，
、分别为、的中点，
是的中点，
为的中位线，
，，
同理：，，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：当满足条件时，四边形是菱形；理由如下：
连接，如图2所示：
则，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是菱形；
故答案为：；
（3）解：①四边形是矩形；理由如下：
由（2）得：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是矩形；
②作于，于，如图3所示：
则，
是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，，
，
，
，
的面积，
四边形的面积的面积．



5．（2019春•姜堰区期中）已知：如图，在四边形中，，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．

【分析】（1）由于知道了垂直平分，因此只要证出四边形是平行四边形即可得出是菱形的结论．
（2）根据勾股定理得出，进而利用勾股定理解答即可．
【解析】证明：（1）是对角线的垂直平分线，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2），，，
，
四边形是菱形，
，
在中，设，则
，
，
，
，
．
6．（2020春•泰兴市校级期末）如图，菱形中，对角线，相交于点，，，，在对角线上．
（1）若．
①判断四边形的形状并说明理由；
②若，求线段的长；
（2）将（1）中的线段从当前位置沿射线的方向平移，若平移过程中，求此时的长．

【分析】（1）①证明与互相垂直平分便可根据菱形的判定定理得出结论；
②设，在中，由勾股定理列出的方程，便可求得结果；
（2）分两种情况：点在点左边；在点右边．分别通过相似三角形的性质列出的方程，进行解答便可．
【解析】（1）①四边形是菱形．理由如下：
四边形是菱形，
，，，
，
，
四边形是菱形；
②菱形中，，，
，，，
，
不妨设，则，
在中，由勾股定理得，，
解得，，
，
；
（2）当点在点的右边时，如图，

，，
，
，
，，
，
解得，（小于4，不合题意，舍去），或，
当点在点右边时，如图，

，，
，
，即，
解得，（舍，或，
综上，或．
7．（2020秋•渝中区校级期中）如图，在菱形中，对角线和交于点，为上一动点，过点作交于点，连接、．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．

【分析】（1）由菱形的性质得，，，则，即可得出；
（2）先证，得，再证，即可得出结论．
【解析】（1）解：四边形是菱形，
，，，
，
，
；
（2）证明：四边形是菱形，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
8．（2020•兴庆区校级一模）如图，四边形是菱形，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求菱形的面积．

【分析】（1）由菱形的性质即可得到是的平分线，再根据角平分线的性质可得．
（2）由勾股定理即可得到菱形的边长，再根据菱形的面积计算公式，即可得出结论．
【解析】（1）四边形是菱形，
是的平分线，
又，，
．
（2）设，则，
，，
中，，
即，
解得，
，
菱形的面积．

9．（2020春•海淀区校级月考）如图，菱形中，，分别为，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，若，，求的长．

【分析】（1）连接，再根据菱形的性质得出，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．
（2）过点作，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
【解析】（1）证明：连接，如图
四边形是菱形，
平分，且，
，
，
．
又菱形中，，
四边形是平行四边形．
（2）解：过点作于．
，
，
，
，
，
在中，，
，．
，
在中，
根据勾股定理得，．


10．（2020春•兴宁区校级期末）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分．过点作交的延长线于点连接．
（1）求证；四边形是菱形；
（2）若，，求的长．

【分析】（1）先证出，进而判断出，得出，即可得出结论；
（2）先证出，再求出，利用勾股定理求出，得出，由直角三角形的性质即可得出结论．
【解析】（1）证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
．
11．（2020春•通州区期末）如图，菱形的边长是10厘米，对角线，相交于点，且厘米，点，分别在，上，点从点出发，以每秒2厘米的速度向终点运动，点从点出发，以每秒1厘米的速度向点运动，点移动到点后，点，停止运动．
（1）当运动多少秒时，的面积是8平方厘米；
（2）如果的面积为，请你写出关于时间的函数表达式．

【分析】（1）根据菱形的边长是10厘米，厘米，可得厘米，厘米，设运动秒时，根据的面积是8平方厘米，列出方程即可得结论；
（2）分三种情况讨论：根据点和点运动的位置确定的取值范围进而可得关于时间的函数表达式．
【解析】（1）菱形的边长是10厘米，厘米，
厘米，厘米，
设运动秒时，的面积是8平方厘米，根据题意，得
，，
，，
，
，
解方程得，，，均符合题意，
答：当运动2秒或8秒时，的面积是8平方厘米；
（2）根据题意，得
①当时，；
②当时，；
③当时，．
12．（2020春•赣州期末）如图所示，在菱形中，，，为正三角形，点、分别在菱形的边、上滑动，且、不与、、重合．
（1）证明不论、在、上如何滑动，总有；
（2）当点、在、上滑动时，分别探讨四边形的面积和的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．

【分析】（1）（1）先求证，进而求证、为等边三角形，得，进而求证，即可求得；
（2）根据可得，故根据即可解题；由“垂线段最短”可知：当正三角形的边与垂直时，边最短．的周长会随着的变化而变化，求出当最短时，的周长即可．
【解析】（1）如图，连接，

四边形为菱形，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
和为等边三角形，
，，
在和中，
，
．
；
（2）四边形的面积不变，的周长发生变化．理由如下：
由（1）得，
则，
故，是定值，
作于点，则，
．
的周长
由“垂线段最短”可知：当正三角形的边与垂直时，边最短．
故的周长会随着的变化而变化，且当最短时，的周长会最小．
13．（2020春•盱眙县期末）如图，已知菱形的对角线，相交于点，延长至点，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求菱形的面积．

【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得，，然后证明得到，，从而证明四边形是平行四边形；
（2）欲求菱形的面积，求得、的长度即可．
【解析】（1）证明：四边形是菱形
，，
又，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，，
四边形是菱形，
，，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，，
，，
菱形的面积．
14．（2020春•百色期末）如图，在菱形中，点、分别在边、上，，连接、．
（1）求证：；
（2）点、分别是、上的点，若，，试判断四边形是什么图形，并证明你的结论．

【分析】（1）根据菱形的性质得出，，根据全等三角形的判定推出，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，，求出，求出，，求出，根据平行四边形的判定和矩形的判定得出即可．
【解析】（1）证明：四边形是菱形，
，，
在和中

，
；

（2）四边形是矩形，
证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是矩形．
15．（2020春•姜堰区期中）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点．
（1）求证：；
（2）若菱形的边长为2，，求的长．

【分析】（1）先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，证明是矩形，可得即可；
（2）根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出的长度即可．
【解析】（1）证明：在菱形中，．
，
，
，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是矩形．
．
（2）解：在菱形中，，
．
在矩形中，
．
在中，
．
16．（2020•平房区一模）已知：在菱形中，，点和点分别在边和边上，连接、、，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当点是边中点时，连接对角线分别交、、于点、、，连接交对角线于点，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中面积等于面积3倍的三角形或四边形．

【分析】（1）证，即可得出；
（2）证出是的中位线，得出，由直角三角形的性质得出，设，则，，，求出的面积，的面积，得出的面积的面积，同理的面积的面积；证，得出的面积的面积，则四边形的面积的面积，同理四边形的面积的面积．
【解析】（1）证明：四边形是菱形，
，，，平分，
，
，
，是等边三角形，
，，
，，
，
在和中，，
，
；
（2）解：图2中面积等于面积3倍的三角形为和，四边形为四边形和四边形；理由如下：
由（1）得：，
，，
，
是等边三角形，
点是边中点，
，，
是的中点，
是的中位线，
，
是的中位线，
，
，，
，，
，
设，则，，，
的面积，的面积，
的面积的面积，
的面积的面积，
同理：的面积的面积；
，，
，
的面积的面积，
四边形的面积的面积，
同理：四边形的面积的面积．
17．（2020春•如东县校级月考）菱形中，，点在边上，点在边上．
（1）如图1，若是的中点，，求证：是的中点．
（2）如图2，若，，求的度数．
【分析】（1）连接，根据菱形的性质和含的直角三角形的性质解答即可；
（2）根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解析】证明：（1）如图1所示：连接．

在菱形中，，
，．
等边三角形．
是的中点，
．
，
．
．
．
．
，
，
是的中点；
（2）如图2所示：连接．
是等边三角形，
，．
．
，
，．
．
在和中，，
．
．
，
是等边三角形．
，
，
．
18．（2020•香坊区模拟）已知，四边形是菱形，，的两边分别与射线，相交于点，，且．
（1）如图1，当点是线段上任意一点时（点不与，重合），求证：；
（2）如图2，当点在线段的延长线上，连接，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中三对相等的线段（菱形相等的边除外）．

【分析】（1）得出，是等边三角形，证明即可得出结论；
（2）同（1）证明，可得出答案．
【解析】（1）证明：四边形是菱形，，
，，
，是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：，，．
由（1）知，是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，，
，
即．
19．（2020•衢州模拟）【猜想】如图1，在平行四边形中，点是对角线的中点，过点的直线分别交．于点．．若平行四边形的面积是8，则四边形的面积是　4　．

【探究】如图2，在菱形中，对角线相交于点，过点的直线分别交，于点，，若，，求四边形的面积．
【应用】如图3，在中，，延长到点，使，连接，若，，则的面积是　　．
【分析】猜想：首先根据平行四边形的性质可得，．根据平行线的性质可得，，进而可根据定理证明，再根据全等三角形的性质可得结论；
探究：根据菱形的性质得到，，，根据全等三角形的判定定理得到，由于，于是得到结果；
应用：延长到使，根据全等三角形的判定定理得到，由全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，即可得到结论．
【解析】猜想：四边形是平行四边形，
，．
，，
在与中，
，
，
四边形的面积的面积；
故答案为：4；
探究：四边形是菱形，
，．
，，
在与中，
，
，
由菱形的对称性，得，
．

应用：延长到使，
在与中，
，
，
，
，
．
故答案为：6

20．（2020秋•成都期末）如图，是的角平分线，过点作交于点，交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，，求的度数．

【分析】（1）由题意可证，四边形是平行四边形，即可证四边形为菱形；
（2）由三角形内角和定理求出，由菱形的性质即可得出答案．
【解析】（1）证明：，
四边形是平行四边形


平分


且四边形为平行四边形
四边形为菱形；
（2）解：，，
，
四边形为菱形，
，
．
21．（2020•阿荣旗一模）如图，是的角平分线，过点作交于点，交于点．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）如果，，求的度数．

【分析】（1）由题意可证，四边形是平行四边形，即可证四边形为菱形；
（2）由三角形内角和定理求出，由菱形的性质即可得出答案．
【解析】（1）证明：，
四边形是平行四边形


平分


且四边形为平行四边形
四边形为菱形；
（2）解：，，
，
四边形为菱形，
，．
22．（2019•路北区二模）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）证明四边形是菱形；
（3）若，，求菱形的面积．

【分析】（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用证得结论；
（2）由（1）可得，结合条件可求得，则可证明四边形为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得，可证得四边形为菱形；
（3）连接，可证得四边形为平行四边形，则可求得的长，利用菱形的面积公式可求得答案．
【解析】（1）证明：，
，
是的中点，
，
在和中，

；
（2）证明：由（1）知，，则．
为边上的中线
，
．
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，是的中点，
，
四边形是菱形；
（3）连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
．

23．（2021春•饶平县校级期末）如图，已知菱形的对角线、相交于点，延长至点，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求菱形的面积．

【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得，，然后证明得到，，从而证明四边形是平行四边形；
（2）欲求菱形的面积，已知，只需求得的长度即可（利用平行四边形以及菱形的性质可得，再利用勾股定理可求出的长度）．最后利用菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求解．
【解析】（1）证明：四边形是菱形
，，
又，
，，
四边形是平行四边形；
（2）四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
中，，
，
，
设，，
由题意得，
解得（负值舍去），
，
四边形是平行四边形，
，
菱形的面积．
24．（2021•牡丹区一模）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：．
（2）求证：四边形是菱形．

【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形是平行四边形，由直角三角形的性质可得，即可得四边形是菱形．
【解析】证明：（1），

是直角三角形，是边上的中线，是的中点，
，
在和中，
，


（2）由（1）知，，且，
，且，
四边形是平行四边形
，是的中点，

四边形是菱形