二次函数与平行四边形、菱形和矩形正方形压轴题--2022年初中数学中考备考考前必刷

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二次函数与平行四边形、菱形和矩形正方形压轴题
1．如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH．

(1)抛物线的解析式为 　 ；
(2)当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
2．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)连接BC，求直线BC的解析式；
(3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP＋PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP＋PC的最小值；
(4)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE．

（1）求原抛物线对应的函数表达式；
（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；
（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标．
4．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k.抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点.

（1）求抛物线H的表达式；       
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E.作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；       
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.
5．已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为、点C的坐标为．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若该抛物线的顶点为P，求的面积；
（3）如图2，有两动点在的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线按方向向终点B运动，点E沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：
①当t为何值时，的面积等于；
②在点运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接得到的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．
6．如图，抛物线y＝x2＋2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．

(1)求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．
(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．
①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线DC交于另一点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．

（1）求的值；
（2）点为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线于点Q．
①当时，求当P点到直线的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．
9．如图，一次函数图象与坐标轴交于点A、B，二次函数图象过A、B两点．

（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）连接，直线与该抛物线交于点E，与交于点D，连接．当时，求线段的长；
（3）点M在y轴上，点N在直线上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
11．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为，点D为此抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C，D两点之间的距离是__________；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图2，直线l：y＝kx+3经过点A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个动点，当PQ∥y轴时，作QM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，QM为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；
(3)如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F，使得∠CBF＝∠DQM？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q；M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m＋，以PQ，QM为边作矩形PQMN．
（1）求b的值．
（2）当点Q与点M重合时，求m的值．
（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．
（4）抛物线在矩形PQMN内的部分称为被扫描部分．请问该抛物线是否全部被扫描？若是，请说明理由，若否，直接写出抛物线被扫描部分自变量的取值范围．

14．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，直线与抛物线交于A,D两点，与直线于点E．若是线段上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线于点G，交直线于点H．

①当点F在直线上方的抛物线上，且时，求m的值；
②在平面内是否在点P，使四边形为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，二次函数的图象过点，交y轴于点C（0，－4）．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F．
（1）求二次函数的表达式；
（2）判断△ABD的形状，并说明理由；
（3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD的数量关系，并求出点E的坐标；
（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


1．(1)y＝﹣x2﹣2x+3
(2)E（﹣，）
(3)存在，点Q坐标为（﹣，）或（，﹣）或（，﹣）
(1)
解：∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B（1，0），与y轴交于点C（0，3），则：
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3．
(2)
解：如图1中，连接OE．设E（m，﹣m2﹣2m+3）．

令得，
∴C（0，3），
∵A（﹣3，0），
∴OA＝OC＝3，AC＝3，
∵直线m，
∴△ACH的面积是定值，
∵S四边形AECH＝S△AEC+S△ACH，
∴当△AEC的面积最大时，四边形AECH的面积最大，
∵S△AEC＝S△AEO+S△ECO﹣S△AOC＝×3×（﹣m2﹣2m+3）+×3×（﹣m）﹣×3×3＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝﹣时，△AEC的面积最大，
∴E（﹣，）．
(3)
解：存在．如图2中，因为点P是x轴上，点Q在抛物线上
①EF是平行四边形的边，根据平行四边形的对称性，满足条件的点Q的纵坐标为±，


对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，当y＝时，﹣x2﹣2x+3＝，解得x＝﹣（舍弃）或﹣，
∴Q1（﹣，）．
当y＝﹣时，﹣x2﹣2x+3＝﹣，解得x＝，
∴Q2（，﹣），Q3（，﹣）．
②当EF为对角线时,

﹣x2﹣2x+3＝，解得x＝﹣（舍弃）或﹣，
∴Q1（﹣，）．
综上所述，满足条件的点Q坐标为（﹣，）或（，﹣）或（，﹣）．
2．(1)y＝﹣x2+3x+4
(2)y＝﹣x+4
(3)P（，）；4
(4)存在，（3，4）或（，﹣4）或（，﹣4）
(1)
解：把，代入，得到 ，
解得，
；
(2)
解：在中，令，则，
，
设的解析式为，
，，
，
，
直线的解析式为；
(3)
解：如图1中，

由题意，关于抛物线的对称轴直线对称，
连接交直线于点，连接，此时的值最小，最小值为线段的长，
此时；
(4)
解：如图2中，存在．

观察图象可知，满足条件的点的纵坐标为或，
对于抛物线，当时，，解得或，
，
当时，，解得，
，，
综上所述，满足条件的点N的坐标为或或．
3．（1）；（2）F（-4，3），（3）．
【详解】
解：（1）由抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），得：
，
解得：，
∴原抛物线对应的函数表达式为：；
（2）由（1）得：原抛物线为：，故顶点C坐标为
∵新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，
∴原抛物线向右移4个单位，向下移1个单位得到新抛物线，
∴新抛物线对应的函数表达式为：，即：
故新抛物线顶E点坐标为，与y轴交点G坐标为，
以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，点F不可能在CE下方，故如图所示：

当平行四边形为时，点F坐标为，即，根据平移性质可知：一定在原抛物线；
当平行四边形为时，点F坐标为，即，此时；故不在新抛物线上，
综上所述：以点C，E，F，G为顶点的四边形是时，F的坐标为；
（3）∵，MN＝CE，
∴M点到N点的平移方式和C点到E点平移方式相同，
设M在左侧，坐标为（a，b），则点N坐标为（a+4，b-1），由图可知，点M在新抛物线，点N在原抛物线，
，
解得： ，
即M点坐标为，
∴点N坐标为，
设直线MN解析式为，
∴，
解得：，
即：，
故直线MN与y轴交点K坐标为．
4．（1）y＝﹣（x+1）2+4；（2） ；（3）存在，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）
【详解】
（1）解：由题意得抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线H：，
将代入，得：，
解得：a＝-1，
∴抛物线H的表达式为；
（2）解：如图，由（1）知：，

令x＝0，得y＝3，
∴C(0，3)，
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∵A(-3，0)，C(0，3)，
∴ ，解得： ，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P(m，-m2-2m+3)，则E(m，m+3)，
∴ ，
∵＜0，
∴当m＝时，PE有最大值，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°，
∵PD⊥AB，
∴PD∥OC，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PF＝EF＝PE，
∴S△PEF＝PF•EF＝，
∴当m＝-时，S△PEF最大值＝×＝；
（3）解：①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如图，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，

则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中， ，
∴△PQG≌△ACO(AAS)，
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵ ，
∴抛物线对称轴为直线x＝-1，
设点P(x，y)，则PG =|x+1|=3，
解得：x＝2或x＝-4，
当x＝2时，代入，得：y＝-5，
当x＝-4时，代入，y＝-5，
∴点P坐标为(2，-5)或(-4，-5)；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图，设AC的中点为M，

∵A(-3，0)，C(0，3)，
∴M(-，-)，
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为-1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+(-1)=2×(-)=-3，
∴x=-2，此时y=3，
∴P(-2，3)；
综上所述，点P的坐标为(2，-5) 或(-4，-5) 或(-2，3)．
5．（1）；（2）的面积为；（3）①当或时，；②点F的坐标为或．
【详解】
（1）∵抛物线经过两点，

解得
该地物线的函数表达式为
（2）∵抛物线，
∴抛物线的顶点P的坐标为．
，令，解得：，
点的坐标为．
如图4-1，连接，则






的面积为．
（3）①∵在中，．
当动点E运动到终点C时，另一个动点D也停止运动．
，
∴在中，．

当运动时间为t秒时，，
如图4-2，过点E作轴，垂足为N，则．

．
．
∴点E的坐标为．
下面分两种情形讨论：
i．当点D在线段上运动时，．
此时，点D的坐标为．




当时，．
解得（舍去），．
．
ii．如图4-3，当点D在线段上运动时，，．


．
当时，

解得．
又，
．
综上所述，当或时，
②如图4-4，当点D在线段上运动时，；
∵，
当四边形ADFE为平行四边形时，
AE可通过平移得到EF，
∵A到D横坐标加1，纵坐标加，
∴，
∴，
化简得：，
∴，
∴，
∴;
如图4-5，当点D在线段上运动时，
AE可通过平移得到EF，
∵，
∵A到D横坐标加，纵坐标不变，
∴，
∴
∴，
因为，
∴，
∴，
综上可得，F点的坐标为或．


6．(1)A（﹣6，0），B（2，0），C（0，﹣6），直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6，直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6
(2)①存在，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）；②3
(1)
解：当y＝0时，x2+2x﹣6＝0，
解得x1＝﹣6，x2＝2，
∴A（﹣6，0），B（2，0），
当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），
∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6，
∵B（2，0），C（0，﹣6），
∴直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6；
(2)
解：①存在：设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，
∵B（2，0），C（0，﹣6），
∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，
∵DE∥BC，
∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形，

∴BD2＝BC2，
∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40，
解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去），
∴点D的坐标为（﹣4，﹣2），
∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为（﹣6，﹣8）；
如图，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形，

∴CD2＝CB2，
∴2m2＝40，
解得：m1＝，m2＝2（舍去），
∴点D的坐标为（，），
∵点D向右移动2各单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为（，）；
综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（，）；
②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，

∵A（﹣6，0），B（2，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∵直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6，直线l∥BC，
∴设直线l的解析式为y＝3x+b，
∵点D的坐标（m，﹣m﹣6），
∴b＝﹣4m﹣6，
∴M（﹣2，﹣4m﹣12），
∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N．
∴N（﹣2，﹣4），
∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8，
∵S△DMN＝S△AOC，
∴（﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）＝×6×6，
整理得：m2+4m﹣5＝0，
解得：m1＝﹣5，m2＝1（舍去），
∴点D的坐标为（﹣5，﹣1），
∴点M的坐标为（﹣2，8），
∴DM＝，
答：DM的长为．
7．(1)
(2)存在，或或或
(3)存在最小值，最小值为，此时点M的坐标为
（1）由题意得，进而可得，，然后把点B、D坐标代入抛物线解析式求解即可；
（2）设点，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当时，②当时，然后根据两点距离公式进行分类求解即可；
（3）如图所示，连接，由题意得，四边形是平行四边形，进而可得，则有，若使的值为最小，则需为最小，即当点三点共线时，的值为最小，然后求最小值，设线段的解析式为，代坐标求解析式，然后求时的值即可．
(1)
解：∵四边形为正方形，点坐标为
∴，A点坐标为
∴，
∴点坐标为
把点的坐标代入抛物线得：
解得：
∴抛物线的解析式为．
(2)
解：由（1）中抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线
∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称
∴点坐标为
∴由两点距离公式可得
设点坐标为，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：
①当时，如图1所示：

∴由两点距离公式可得，即
解得：
∴点F的坐标为或；
②当时，如图2所示：

∴由两点距离公式可得，即
解得：
∴点F的坐标为或；
综上所述：存在以点为顶点，以为边的四边形是菱形，点的坐标为或或或．
(3)
解：如图3所示：

由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，点坐标为
∴
∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为
∴，
∴四边形是平行四边形
∴
∴
若使的值为最小，即为最小
∴当点三点共线时， 的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图4所示：


∵点坐标为
∴
∴的最小值为，即的最小值为
设线段OD的解析式为，代入点D的坐标得
解得
∴线段OD的解析式为
当时，
∴点坐标为．
8．（1）b=，c=；（2）①；②不存在，理由见解析
（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；
（2）①设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），再利用二次函数的性质即可求解；
②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴b=，c=；
（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2，
设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），
∵0