2022届中考数学专题练 专题15 圆选择填空题

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专题15 圆选择填空题
一、 选择题
1．（2021·山东中考真题）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（ ）

A．95° B．100° C．105° D．110°
【答案】C
【分析】
连接OB，OC，根据勾股定理逆定理可得∠AOB＝90°，∠ABO＝∠BAO＝45°，根据圆周角定理可得∠COB＝2∠CAB＝60°，∠OBC＝∠OCB＝60°，由此可求得答案．
【详解】
解：如图，连接OB，OC，

∵OA＝OB＝1，AB＝，
∴OA2＋OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
又∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝105°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．
2．（2021·山东中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为（ ）

A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】
如图，延长AD，BC，二线交于点E，可求得∠E=30°，在Rt△CDE中，利用tan30°计算DE，在Rt△ABE中，利用sin30°计算AE，根据AD=AE-DE求解即可；
【详解】
如图，延长AD，BC，二线交于点E，

∵∠B=90°，∠BCD=120°，
∴∠A=60°，∠E=30°，∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠EDC= 90°，
在Rt△CDE中，
tan30°=，
∴DE==，
在Rt△ABE中，
sin30°=，
∴AB==4，
∴AD=AE-DE=,
故选C
【点睛】
本题考查了圆的内接四边形对角互补，特殊角的三角函数值，延长构造直角三角形，灵活运用直角三角形特殊角的三角函数值计算是解题的关键．
3．（2019·天津市津英中学九年级期末）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“CD为的直径，弦，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”，依题意得CD的长为（ ）

A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
【答案】D
【分析】
连接AO，设直径CD的长为寸，则半径OA=OC=寸，然后利用垂径定理得出AE，最后根据勾股定理进一步求解即可.
【详解】

如图，连接AO，
设直径CD的长为寸，则半径OA=OC=寸，
∵CD为的直径，弦，垂足为E，AB=10寸，
∴AE=BE=AB=5寸，
根据勾股定理可知，
在Rt△AOE中，，
∴，
解得：，
∴，
即CD长为26寸.
【点睛】
本题主要考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
4．（2021·山东中考真题）如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=110°，再利用圆周角定理可求∠ADB=55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．
【详解】
解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°，
∴∠ADB=55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°．
故选：C．

【点睛】
本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA、OB，求出∠AOB．
5．（2021·山东中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ）

A．50° B．48° C．45° D．36°
【答案】B
【分析】
连接AD，由切线性质可得∠ADB=∠ADC=90°，根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，则∠GAC=96°，根据圆周角定理即可求得∠GFE的度数．
【详解】
解：连接AD，则AD=AG=3，
∵BC与圆A相切于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，AB=6，则cos∠BAD==，
∴∠BAD=60°，
∵∠CDE=18°，
∴∠ADE=90°﹣18°=72°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，
∴∠GAC=36°+60°=96°，
∴∠GFE=∠GAC=48°，
故选：B．

【点睛】
本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得∠BAD=60°是解答的关键．
6．（2021·山东中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π
【答案】B
【分析】
根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆（扇形）的面积减去以1为半径的半圆（扇形）的面积再减去2个以边长为1的正方形的面积减去以1半径的四分之一个圆（扇形）的面积，本题得以解决．
【详解】
解：由题意可得，
阴影部分的面积是：•π×22﹣﹣2（1×1﹣•π×12）＝π﹣2，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查运用正方形的性质，圆的面积公式（或扇形的面积公式），正方形的面积公式计算不规则几何图形的面积，解题的关键是理解题意，观察图形，合理分割，转化为规则图形的面积和差进行计算．
7．（2021·山东中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（ ）

A．214° B．215° C．216° D．217°
【答案】C
【分析】
由已知求得圆锥母线长及圆锥侧面展开图所对的弧长，再由弧长公式求解圆心角的度数．
【详解】
解：由圆锥的高为4，底面直径为6，
可得母线长，
圆锥的底面周长为：，
设圆心角的度数为n，
则，
解得：，
故圆心角度数为：，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题．
8、（泰安市2020年）如图，是的切线，点A为切点，交于点B，，点C在上，．则等于（）

A. 20° B. 25° C. 30° D. 50°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OA，求出∠POA= 80°，根据等腰三角形性质求出∠OAB=∠OBA=50°，进而求出∠AOC=130°，得到∠C=25°，根据平行线性质即可求解．
【详解】解：如图，连接OA，
∵是的切线，
∴∠PAO=90°，
∵，
∴∠POA=90°-∠P=80°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=50°，
∵，
∴∠BOC=∠ABO=50°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=130°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=25°，
∵，
∴∠BAC=∠C=25°．

故选：B
【点睛】本题考查了切线的性质，圆的半径都相等，平行线的性质等知识，熟知各知识点是解题关键．一般情况下，在解决与圆有关的问题时，根据圆的的半径都相等，可以得到等腰三角形，进而可以进行线段或角的转化．
9、（2020 德州）.如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．
【详解】解：正六边形的面积为：，
六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：，
所以阴影部分的面积为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
10.（泰安市2020年）如图，是的内接三角形，，是直径，，则的长为（）

A 4 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
连接BO，根据圆周角定理可得，再由圆内接三角形的性质可得OB垂直平分AC，再根据正弦的定义求解即可．
【详解】如图，连接OB，

∵是的内接三角形，
∴OB垂直平分AC，
∴，，
又∵，
∴，
∴,
又∵AD=8，
∴AO=4，
∴，
解得：，
∴．
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理的应用，根据圆周角定理求角度是解题的关键．
11.（2020 济宁）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面积等于（ ）

A. 12πcm2 B. 15πcm2 C. 24πcm2 D. 30πcm2
【答案】B
【解析】
由三视图可知这个几何体是圆锥，高是4cm，底面半径是3cm，所以母线长是（cm），∴侧面积＝π×3×5＝15π（cm2），故选B．
12.（2020 聊城）如图，是的直径，弦，垂足为点．连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（ ）．

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据是的直径，弦，由垂径定理得，再根据证得，即可证明，即可得出．
【详解】解：是的直径，弦，
，．



又


在和中，

，


故选：B
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定，扇形的面积，等积变换，解此题的关键是证出，从而将阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积，题目比较典型，难度适中．
13.（2020 聊城）如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先利用扇形的弧长公式求得圆锥的底面周长，求得底面半径的长，然后利用勾股定理求得圆锥的高．
【详解】解：设圆锥的底面周长是l，则l=m，
则圆锥的底面半径是：m，
则圆锥的高是：m．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
14．（2020 滨州）在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
【分析】直接根据题意画出图形，再利用垂径定理以及勾股定理得出答案．
解：如图所示：∵直径AB＝15，
∴BO＝7.5，
∵OC：OB＝3：5，
∴CO＝4.5，
∴DC＝＝6，
∴DE＝2DC＝12．
故选：C．

15．（青岛市2020年）如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据圆周角定理得到∠，再根据等弧所对的弦相等，得到，∠，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠CAD=，∠BAG=，即可求解．
【详解】
解：∵是的直径
∴∠
∵
∴
∴∠
∵
∴∠
∴∠
∴∠
故选：B．
【点睛】
此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键．
16．（潍坊市2020年）如图，在中，，以点O为圆心，2为半径的圆与交于点C，过点C作交于点D，点P是边上的动点．当最小时，的长为（ ）

A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
延长CO交于点E，连接EP，交AO于点P，则PC+PD的值最小，利用平行线份线段成比例分别求出CD，PO的长即可．
【详解】
延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，如图，

∵CD⊥OB，
∴∠DCB=90°,
又，
∴∠DCB=∠AOB，
∴CD//AO
∴
∵OC=2，OB=4，
∴BC=2,
∴，解得，CD=；
∵CD//AO，
∴，即，解得，PO=
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了轴对称---最短距离问题，同时考查了平行线分线段成比例，掌握轴对称性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
17．（2019 滨州）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（　　）

A．60° B．50° C．40° D．20°
【分析】连接AD，先根据圆周角定理得出∠A及∠ADB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠BCD＝40°，
∴∠A＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．
18．（2019 聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（　　）

A．35° B．38° C．40° D．42°
【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，再由圆周角定理得出∠DOE＝2∠ACD＝40°即可，
【解答】解：连接CD，如图所示：
∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，
∴∠DOE＝2∠ACD＝40°，
故选：C．

【点评】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
19．（2019年山东临沂T11）如图，⊙O中，，∠ABC＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．

{答案}A
{解析}本题考查了圆心角与圆周角的性质、扇形的面积、等边三角形的判定与性质．连接OA，OB，OC，∵，∴AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，又∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OA＝OB＝BC＝2．延长AO交BC于点D，由对称性可知AD⊥BC，则BD＝BC＝1．于是S阴影＝ S扇形OBC+ S△OAB+S△OAC＝+×2×1+×2×1＝2+．
20．（2019 青岛）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（　　）

A．π B．2π C．2π D．4π
【分析】连接OC、OD，根据切线性质和∠A＝45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC＝OD＝4，∠COD＝90°，根据弧长公式求得即可．
【解答】解：连接OC、OD，
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．
∴OC⊥AC，OD⊥BD，
∵∠A＝45°，
∴∠AOC＝45°，
∴AC＝OC＝4，
∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，
∴OD＝BD，
∴∠BOD＝45°，
∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴的长度为：＝2π，
故选：B．

【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，证得∠COD＝90°是解题的关键．
21．（2019 威海）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（　　）

A．+ B．2+ C．4 D．2+2
【解答】解：连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，
∵∠ACB＝60°，
∴∠APB＝120°，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA＝30°，
∵A（﹣5，0），B（1，0），
∴AB＝6，
∴AD＝BD＝3，
∴PD＝，PA＝PB＝PC＝2，
∵PD⊥AB，PE⊥BC，∠AOC＝90°，
∴四边形PEOD是矩形，
∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，
∴CE＝＝＝2，
∴OC＝CE+OE＝2+，
∴点C的纵坐标为2+，
故选：B．

22．（2019年山东潍坊T11）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=，DF=5，则BC的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
O
A
B
C
D
E
F

{答案} C
{解析}本题考查了在圆周角定理及推论，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等知识，综合性较强．原题给出的线段AD=DC得出圆周角相等；连接BD后倒角得出AF=DF=5，再运用sin∠CAB=，计算出线段EF的长度，再用射影定理就可以得出结论．连接BD，因为AD=CD，∠DCA=∠DAC=∠DBA；因为AB是直径，所以∠ADB=90°，DE⊥AB，所以∠DBA=∠ADE；所以∠ADE=∠DAC，有DF=AF=5；在中sin∠CAB=，得出EF=3，所以DE=8，由∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，得△ADE∽△BDE，得DE2=EA·EB，8：BE＝4：8，BE=16，∴AB=20；在Rt△ABC中，sin∠CAB=，解得BC=20×=12．
O
A
B
C
D
E
F

23．（2019 烟台）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（　　）

A． B．π C．π D．π
【解答】解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴△ADC∽△CEB，
∴＝，即＝，
∵tan∠ABC＝＝，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，
∵直线DE与⊙O相切于点C，
∴∠ACD＝∠ABC＝30°，
∴AC＝2AD＝2，
∴AB＝4，
∴⊙O的半径为2，
∴的长为：＝π，
故选：D．
24．（2019 枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（　　）

A．8﹣π B．16﹣2π C．8﹣2π D．8﹣π
【分析】根据S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE计算即可．
【解答】解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，
故选：C．
【点评】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．
二、 填空题
25．（2021·山东中考真题）若为直角三角形，，以为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为________．

【答案】4
【分析】
设AB与半圆的交点为D,连接DC,根据题意,得到阴影部分的面积等于，计算即可
【详解】
解：如图，设AB与半圆的交点为D，连接DC，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，

∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴∠DBC=∠DCB=45°，AD=BD，
过点D作DE⊥BC，垂足为E，
则∠CDE=∠BDE=45°，
∴CE=EB=ED=2，
∴半圆关于直线DE对称，
∴阴影部分的面积等于，
∴===4
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，圆的对称性，
利用圆的对称性化阴影的面积为三角形的面积加以计算是解题的关键．
26．（2021·山东中考真题）如图，中，，，，点O为的中点，以O为圆心，以为半径作半圆，交于点D，则图中阴影部分的面积是____．

【答案】
【分析】
根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是的面积减去的面积和扇形的面积，从而可以解答本题．
【详解】
解：连接OD，过点D作于E，

在中，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积是：
，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查扇形面积的计算、勾股定理、特殊角锐角三角函数值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
27．（2021·山东中考真题）用一块弧长16πcm的扇形铁片，做一个高为6cm的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm2
【答案】
【分析】
先求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的母线长，最后利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】
解：∵弧长16πcm的扇形铁片，
∴做一个高为6cm的圆锥的底面周长为16πcm，
∴圆锥的底面半径为：16π÷2π=8cm，
∴圆锥的母线长为：，
∴扇形铁片的面积=cm2，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了圆锥与扇形，掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，是解题的关键．
28、（2020 德州）.若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 °．
【答案】120．
【解析】
试题分析：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm），设圆心角的度数是n度．则=4π，解得：n=120．故答案为120．
考点：圆锥的计算．
29.（泰安市2020年）如图，点O是半圆圆心，是半圆的直径，点A，D在半圆上，且，过点D作于点C，则阴影部分的面积是________．

【答案】
【解析】
【分析】
求出半圆半径、OC、CD长，根据AD∥BO，得到 ，根据即可求解 ．
【详解】解：连接OA，
∵，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=8，∠AOB=60°
∵AD∥BO，
∴∠DAO=∠AOB=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠DOE=60°，
∴在Rt△OCD中，，
∵AD∥BO，
∴ ，
∴ ．

故答案为：
【点睛】本题考查了不规则图形面积的求法，解题的关键是根据根据AD∥BO，得到 ，从而将阴影面积转化为扇形面积与三角形面积的差．
30．（2020 滨州）如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，ED与⊙O相交于点M，则sin∠MFG的值为　　．

【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．
解：∵⊙O是正方形ABCD的内切圆，
∴AE＝AB，EG＝BC；
根据圆周角的性质可得：∠MFG＝∠MEG．
∵sin∠MFG＝sin∠MEG＝＝，
∴sin∠MFG＝．
故答案为：．

31.（2020年枣庄市）如图，AB是的直径，PA切于点A，线段PO交于点C．连接BC，若，则________．

【答案】27°
【解析】
【分析】
连接AC，根据直径所对的圆周角是直角、切线的定义得到，根据三角形外角的性质可得，因此可得，求解即可．
详解】如图，连接AC，

是的直径，
∴，
∴，
∵PA切于点A，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查直径所对的圆周角是直角、切线的性质、三角形外角的性质等内容，解题的关键是作出辅助线，得到关于的方程．
32.（2020 菏泽）如图，在菱形中，是对角线，，⊙O与边相切于点，则图中阴影部分的面积为_______．

【答案】
【解析】
【分析】
连接OD，先求出等边三角形OAB的面积，再求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接OD，

∵AB是切线，则OD⊥AB，
在菱形中，
∴，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠A=60°，
∴OD=，
∴，
∴扇形的面积为：，
∴阴影部分面积为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了求不规则图形的面积，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确求出等边三角形的面积和扇形的面积．
33．（2020 潍坊）如图，四边形是正方形，曲线是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为；
的圆心为点B，半径为；
的圆心为点C，半径为；
的圆心为点D，半径为；…
的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形的边长为1，则的长是_________．

【答案】
【解析】
【分析】
曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，到，，再计算弧长．
【详解】
解：由图可知，曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，
，，……，
，，
故的半径为，
的弧长=．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．
34.（2020 济宁）如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D．AC与BD相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=2．则BO的长是_________．

【答案】4
【解析】
【分析】
连结OC，设⊙O的半径为r，由DC2=CE•CA和∠ACD=∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，利用等腰三角形的判定得BC=DC，证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到，则，然后证明，利用相似比得到，再利用比例的性质可计算出r的值即可．
【详解】解：连结，如图，设的半径为，
，
，
而，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
，
即OB=4.
故答案为：4.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．也考查了圆周角定理．
35.（2020 聊城）如图，在中，四边形为菱形，点在上，则的度数是________．

【答案】
【解析】
【分析】
连接OB，证明△OAB，△OBC都是等边三角形，得到∠AOC=120°，进而求出．
【详解】解：连接OB，
∵四边形为菱形，OA=OB，
∴OA=OB=OC=AB=BC,
∴△OAB，△OBC都是等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∵，
∴ ．

故答案为：60°
【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的半径都相等，圆周角定理，等边三角形性质，综合性较强．解题关键是连接OB，得到△OAB，△OBC都是等边三角形．
36．（青岛市2020年）如图，在中，为边上的一点，以为圆心的半圆分别与，相切于点，．已知，，的长为，则图中阴影部分的面积为__________．

【答案】
【解析】
【分析】
连接OM、ON、OA，易证得∠MON=60º，即∠MOE+∠NOF=120º，，再由弧长公式求得半径OM，然后证得Rt△AMO≌Rt△ANO，即∠AOM=30º，进而解得AM，则可得，代入相关数值即可解得阴影面积·
【详解】
如图，连接OM、ON、OA，设半圆分别交BC于点E，F，
则OM⊥AB，ON⊥AC，
∴∠AMO=∠ANO=90º，
∵∠BAC=120º，
∴∠MON=60º，
∵的长为，
∴，
∴OM=3，
∵在Rt△AMO和Rt△ANO中，
，
∴Rt△AMO≌Rt△ANO(HL)，
∴∠AOM=∠AON=∠MON=30º，
∴AM=OM·tan30º=，
∴，
∵∠MON=60º，
∴∠MOE+∠NOF=120º，
∴，
∴图中阴影面积为
=
=，
故答案为：．

【点睛】
本题考查了切线的性质定理、弧长公式、HL定理、锐角的三角函数定义、扇形面积的计算等知识，解答的关键是熟练掌握基本图形的性质，会根据图形和公式进行推理、计算．
37．（2019 济宁）如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC＝，AC＝3．则图中阴影部分的面积是　　．

【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，再证明BD＝BC，进而由AD＝AB﹣BD可求出AD的长度；利用特殊角的锐角三角函数可求出∠A的度数，则圆心角∠DOA的度数可求出，在直角三角形ODA中求出OD的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC＝，AC＝3．
∴AB＝＝2，
∵BC⊥OC，
∴BC是圆的切线，
∵⊙O与斜边AB相切于点D，
∴BD＝BC，
∴AD＝AB﹣BD＝2﹣＝；
在Rt△ABC中，∵sinA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∵⊙O与斜边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∴∠AOD＝90°﹣∠A＝60°，
∵＝tanA＝tan30°，
∴＝，
∴OD＝1，
∴S阴影＝＝．
故答案是：．

【点评】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．
38．（2019 聊城）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为　120°　．

【分析】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为1，
∴圆锥的底面周长为2π，
∵圆锥的高是2，
∴圆锥的母线长为3，
设扇形的圆心角为n°，
∴＝2π，
解得n＝120．
即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
39．（2019 青岛）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是　54　°．

【分析】连接AD，根据圆周角定理得到∠ADF＝90°，根据五边形的内角和得到∠ABC＝∠C＝108°，求得∠ABD＝72°，由圆周角定理得到∠F＝∠ABD＝72°，求得∠FAD＝18°，于是得到结论．
【解答】解：连接AD，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ADF＝90°，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠ABC＝∠C＝108°，
∴∠ABD＝72°，
∴∠F＝∠ABD＝72°，
∴∠FAD＝18°，
∴∠CDF＝∠DAF＝18°，
∴∠BDF＝36°+18°＝54°，
故答案为：54．

【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．