2022届中考数学专题练 专题03 因式分解、二次根式、分式

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专题03 因式分解、二次根式、分式
一、选择题
1．（2021·山东中考真题）已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ ）
A．0.77×10﹣5倍 B．77×10﹣4倍 C．7.7×10﹣6倍 D．7.7×10﹣5倍
【答案】C
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
由题意得：(3.85×10﹣9)÷(5×10﹣4)= 7.7×10﹣6倍，
故选C．
【点睛】
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．（2021·山东中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【详解】
解：
=
=
=
故选A．
【点睛】
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
3．（2021·山东中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据分式的混合运算法则进行计算，先算小括号里面的加减，后算乘除，即可求得结果．
【详解】
解：



．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算的运算顺序和计算法则是解题的关键．
4.（2020 济宁）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】解：A、是最简二次根式，故选项正确；
B、=，不是最简二次根式，故选项错误；
C、，不是最简二次根式，故选项错误；
D、，不是最简二次根式，故选项错误；
故选A.
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
5.（2020 菏泽）.函数的自变量的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】
由分式与二次根式有意义的条件得函数自变量的取值范围．
【详解】解：由题意得：

解得：且
故选D．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式与二次根式有意义的条件是解题的关键．
6.（2020 聊城）计算的结果正确的是（ ）．
A. 1 B. C. 5 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．
【详解】解：


，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．（2019•临沂）将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（　　）
A．a（a2b﹣b） B．ab（a﹣1）2
C．ab（a+1）（a﹣1） D．ab（a2﹣1）
【解答】解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），
故选：C．
8．（2019年山东省济宁市）下列计算正确的是（　　）
A．＝﹣3 B．＝ C．＝±6 D．﹣＝﹣0.6
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分析得出答案．
【解答】解：A、＝3，故此选项错误；
B、＝﹣，故此选项错误；
C、＝6，故此选项错误；
D、﹣＝﹣0.6，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
9．（2019年 聊城市）如果分式的值为0，那么x的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：根据题意，得
|x|﹣1＝0且x+1≠0，
解得，x＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
10．（2019年 聊城市）下列各式不成立的是（　　）
A．﹣＝ B．＝2
C．＝+＝5 D．＝﹣
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．
【解答】解：﹣＝3﹣＝，A选项成立，不符合题意；
＝＝2，B选项成立，不符合题意；
＝＝，C选项不成立，符合题意；
＝＝﹣，D选项成立，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键．
11．（2019 威海）计算（﹣3）0+﹣（﹣）﹣1的结果是（　　）
A．1+ B．1+2 C． D．1+4
【解答】解：原式＝1+＝1+．
故选：D．
二、填空题
12．（山东省淄博市2021年中考数学试题）分解因式：________．
【答案】
【分析】
根据因式分解的方法可直接进行求解．
【详解】
解：；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13．（2021·山东中考真题）分解因式：________________．
【答案】
【分析】
先提公因式，再利用平方差公式即可分解．
【详解】
解：．
故答案为：
【点睛】
本题考查了整式的因式分解，因式分解的一般步骤是“一提二看三检查”，熟知提公因式法和乘法公式是解题关键．
14．（2021·山东中考真题）因式分解：________．
【答案】
【分析】
先提取公因式b，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可．
【详解】
解：
故答案为：
【点睛】
本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解．正确应用公式分解因式是解题的关键．
15．（2021·山东中考真题）因式分解：______．
【答案】
【分析】
先提取公因式，后采用公式法分解即可
【详解】
∵
=-a
=
故答案为: ．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟记先提取公因式，后套用公式法分解因式是解题的关键．
16．（2021·山东中考真题）分解因式：2a3﹣8a=________．
【答案】2a（a+2）（a﹣2）
【详解】
要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
．
17．（2021·山东中考真题）若在实数范围内有意义，则的取值范围为__________．
【答案】x≤2
【分析】
二次根式的被开方数大于等于零，据此解答．
【详解】
解：依题意得 2-x≥0
解得 x≤2．
故答案为：x≤2．
【点睛】
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
18．（2021·山东中考真题）计算的结果是____________________．
【答案】
【分析】
根据二次根式的四则运算法则进行运算即可求解．
【详解】
解：原式

，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的四则运算，属于基础题，计算过程中细心即可求解．
19．（2021·山东中考真题）计算：＝_______．
【答案】4
【分析】
根据二次根式的运算法则，先算乘法，再算加减法，即可．
【详解】
解：原式=
=
=
=4．
故答案是：4．
【点睛】
本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法法则，是解题的关键．
20．（2019·浙江宁波市·七年级期末）若分式有意义，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】
本题考查了分式有意义的条件，若分式有意义，则分母3-x≠0，通过解关于x的不等式求得x的取值范围即可.
【详解】
根据分式有意义的条件可得：
3-x≠0，
解得：x≠3，
故填：x≠3.
故答案为x≠3.
【点睛】
此题考查分式有意义的条件，解题关键在于掌握分式有意义的条件
21.（2020 德州）计算：＝_____．
【答案】
【解析】
【详解】解：原式=．
故答案为．
22.（2020 菏泽）.计算的结果是_______．
【答案】﹣13
【解析】
【分析】
根据平方差公式计算即可.
【详解】.
故答案为﹣13.
【点睛】本题考查平方差公式和二次根式计算,关键在于牢记公式.
23.（2020 济宁）分解因式a3-4a的结果是 ______________．
【答案】a（a+2）（a-2）
【解析】
【分析】
首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【详解】解：a3-4a=a（a2-4）=a（a+2）（a-2），
故答案：a（a+2）（a-2）．
【点睛】此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
24.（2020 聊城）因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】
先把二、三两项分为一组，提取一个负号，再提取公因式即可．
【详解】解：原式

【点睛】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．
25．（2020 滨州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为　　．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣5≥0，求出即可．
解：要使二次根式在实数范围内有意义，必须x﹣5≥0，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5．
26.（2020 济宁）已如m+n=-3.则分式的值是____________．
【答案】，
【解析】
【分析】
先计算括号内的，再将除法转化为乘法，最后将m+n=-3代入即可.
【详解】解：原式=
=
=
=
=，
∵m+n=-3，代入，
原式=.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则.
27.（2020 聊城）计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】
分式的混合运算，根据分式的加减乘除混合运算法则可以解答本题，括号里先通分运算，再进行括号外的除法运算，即可解答本题.
【详解】解：
=
=
=
=−a
故答案是：-a
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，能正确运用运算法则是解题的关键.
28．（青岛市2020年）计算的结果是___．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据二次根式的混合运算计算即可.
【详解】
解：.
故答案为4.
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键.
29．（潍坊市2020年）因式分解：x2y﹣9y＝_____．
【答案】y（x+3）（x﹣3）
【解析】
【分析】
先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】
解：x2y﹣9y，
＝y（x2﹣9），
＝y（x+3）（x﹣3）．
【点睛】
本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
30.（2018年山东省烟台市）与最简二次根式5是同类二次根式，则a=　　．
【分析】先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．
【解答】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且，
∴a+1=3，解得：a=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
31．（2019年滨州市）计算：（﹣）﹣2﹣|﹣2|+÷＝　　．
【解答】解：原式＝，
故答案为：2+4．
【点评】此题考查二次根式的混合计算，关键是根据二次根式的混合计算解答．
32．（2019•济南）分解因式：m2﹣4m+4＝　　．
【解答】解：原式＝（m﹣2）2，
故答案为：（m﹣2）2
33．（2018•滨州）若分式的值为0，则x的值为　　．
【解答】解：因为分式的值为0，所以＝0，
化简得x2﹣9＝0，即x2＝9．
解得x＝±3
因为x﹣3≠0，即x≠3
所以x＝﹣3．
故答案为﹣3．
34．（2019 威海）分解因式：2x2﹣2x+＝　 　．
【解答】解：原式＝2（x2﹣x+）
＝2（x﹣）2．
故答案为：2（x﹣）2．
35.（2019年 淄博市）分解因式：x3+5x2+6x＝　 ．
【解答】解：x3+5x2+6x，
＝x（x2+5x+6），
＝x（x+2）（x+3）．
36．（2019年山东临沂）一般地，如果x4＝a(a≥0)，则称x为a的四次方根．一个正数a的四次方根有两个，它们互为相反数，记为．若＝10，则m＝ ．
{答案}±10
{解析}本题考查了方根的知识．根据题意，得()4＝104，即m4＝104，∴m＝±10
37．（2019年山东临沂）计算：×－tan45°＝ ．
{答案}
{解析}本题考查了二次根式的乘法运算与特殊角的三角形函数值．两个二次根式相乘，把被开方数相乘，再化简．×－tan45°＝－1＝．
38．（2019•枣庄）观察下列各式：
＝1+＝1+（1﹣），
＝1+＝1+（﹣），
＝1+＝1+（﹣），
…
请利用你发现的规律，计算：
+++…+，
其结果为　　．
【解答】解：+++…+
＝1+（1﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）
＝2018+1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝2018，
故答案为：2018．
三、解答题
39．（2021·山东中考真题）计算．
【答案】
【分析】
化简绝对值，同时利用平方差公式计算，最后合并．
【详解】
解：
=
=
=
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是合理运用平方差公式进行计算．
40．（2021·山东中考真题）计算：．
【答案】0
【分析】
根据零指数幂,绝对值的化简,负整数指数幂,特殊角的函数值计算即可
【详解】

=1+3
=0.
【点睛】
本题考查了零指数幂 ,负整数指数幂,特殊角的函数值,二次根式的化简,绝对值的化简,熟练掌握各种运算的基本法则是解题的关键．
41．（2021·山东中考真题）先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】2（a-3），当a=0时，原式=-6；当a=1时，原式=-4．
【分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定a的值，继而代入计算可得答案．
【详解】

=
=
=
=
=2（a-3），
∵a≠3且a≠-1，
∴a=0，a=1，
当a=0时，原式=2×（0-3）=-6；
当a=1时，原式=2×（1-3）=-4．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
42．（2021·山东中考真题）先化简，再求值：，其中a＝﹣．
【答案】；6
【分析】
先把分式化简后，再把a的值代入求出分式的值即可．
【详解】
解：原式＝


，
当时，原式＝6．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．
43．（2021·山东中考真题）先化简，再求值：，其中，满足．
【答案】;-6.
【分析】
先变除法为乘法,后因式分解,化简计算,后变形代入求值即可
【详解】
∵
=
=
=,
∵,
∴,
∴原式== -6．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的基本顺序，基本计算方法是解题的关键．
44．（2021·山东中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】
先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简．然后代x的值，进行二次根式化简．
【详解】
解：原式=．
当时，原式=．
考点：1.分式的化简求值；2．二次根式化简.
45．（山东省淄博市2021年中考数学试题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，2
【分析】
先对分式进行化简，然后再代入进行二次根式的运算即可．
【详解】
解：原式=，
把代入得：原式=．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的运算及二次根式的运算是解题的关键．
46．（2021·山东中考真题）（1）先化简，再求值：，其中；
【答案】（1）；
【分析】
（1）先根据分式混合运算法则化简，然后代入条件求值即可；
【详解】
解：（1）原式


当时，
原式；
【点睛】
本题考查分式的化简求值，掌握相应的运算法则，注意分母有理化是解题关键．
47．（2021·山东中考真题）（1）计算：．
（2）化简求值：，其中．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先化简二次根式、特殊角的正切三角函数、化简绝对值、零指数幂、积的乘方的逆用，再计算实数的混合运算即可得；
（2）先计算分式的加法运算，再根据得出代入求值即可得．
【详解】
解：（1）原式，
，
；
（2）原式，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】
本题考查了化简二次根式、特殊角的正切三角函数、零指数幂、分式的化简求值等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．
48.（青岛市2020年）计算:
解：原式=
=
=；
49.（2020 滨州）先化简，再求值：1﹣÷；
其中x＝cos30°×，y＝（π﹣3）0﹣（）﹣1．
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再计算x，y的值，进而代入得出答案．
解：原式＝1﹣÷
＝1+•
＝1+
＝
＝，
∵x＝cos30°×＝×2＝3，y＝（π﹣3）0﹣（）﹣1＝1﹣3＝﹣2，
∴原式＝＝0．
50.（潍坊市2020年）．先化简，再求值：，其中x是16的算术平方根．
【答案】
【解析】
【分析】
先将括号里的进行通分运算，然后再计算括号外的除法，把除法运算转化为乘法运算，进行约分，得到最简分式，最后把x值代入运算即可．
【详解】
解：原式＝ ，
＝ ，
＝ ，
＝ ．
∵x是16的算术平方根，
∴x=4，
当x=4时，原式=．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
51.（2020 菏泽）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】2a2+4a,6
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再代值计算即可求出值．
【详解】解：原式=
=
=
=2a(a+2)
=2a2+4a.
∵，
∴a2+2a=3.
∴原式=2（a2+2a）=6.
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
52．（2019 聊城）计算：1﹣（+）÷．
【分析】根据分式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝1﹣•
＝1﹣
＝﹣
＝．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则、分式的通分、约分法则是解题的关键．
53．（2019 滨州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x是不等式组的整数解．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求出x的整数解，由分式有意义的条件确定最终符合分式的x的值，代入计算可得．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
解不等式组得1≤x＜3，
则不等式组的整数解为1、2，
又x≠±1且x≠0，
∴x＝2，
∴原式＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解一元一次不等式组的能力．
54．（2019 烟台）先化简（x+3﹣）÷，再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值．
【解答】解：（x+3﹣）÷
＝（﹣）÷
＝•
＝，
当x＝1时，原式＝＝．