高中北师大版 (2019)5.1 直线与平面垂直教案

这是一份高中北师大版 (2019)5.1 直线与平面垂直教案，共13页。


《直线与平面垂直的性质》教学设计
◆ 教材分析
空间中直线与平面之间的位置关系中， 垂直是一种非常重要的位置关系， 它不仅应用较
多， 而且是空间问题平面化的典范． 空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转
化为线线关系， 而且将垂直关系转化为平行关系， 因此直线与平面垂直的性质定理在立体几
何中有着特殊的地位和作用． 本节重点是在巩固线线垂直和面面垂直的基础上， 讨论直线与
平面垂直的性质定理的应用．
◆ 教学目标
1．探究直线与平面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力、实事求是等严肃的科
学态度和品质．
2．掌握直线与平面垂直的性质定理的应用提高逻辑推理的能力．
◆ 教学重难点 ◆
直线与平面垂直的性质定理及其应用．
◆ 教学过程
复习
直线与平面垂直的定义： 一条直线和平面内的任何一条直线都垂直， 我们说这条直线和
这个平面互相垂直， 直线叫做平面的垂线， 平面叫做直线的垂面． 直线和平面垂直的画法及
表示如下：
图 1
如图 1，表示方法为： a⊥ α．
由直线与平面垂直的定义不难得出： b⊥a．
导入新课
思路 1． （情境导入）
大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》 ，在广阔的西北平原上，矗立着一排排白杨树，它
们像哨兵一样守卫着祖国疆土． 一排排的白杨树， 它们都垂直地面， 那么它们之间的位置关
系如何呢？
思路 2． （事例导入）
如图 2，长方体 ABCD — A′B′C′D ′中，棱 AA′、 BB′、 CC′、 DD ′所在直线都垂直所在的平
面 ABCD ，它们之间具有什么位置关系？
图 2
新知探究
提出问题
①回忆空间两直线平行的定义．
②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？
③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系． ④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理． ⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？
讨论结果： ①如果两条直线没有公共点， 我们说这两条直线平行． 它的定义是以否定形
式给出的，其证明方法多用反证法．
②如图 3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面．
图 3
③如图 4，长方体 ABCD —A′B′C′D ′中，棱 AA′、 BB′、 CC′、 DD ′所在直线都垂直于所在
的平面 ABCD ，它们之间具有什么位置关系？
图 4 图 5
棱 AA′、 BB′、 CC′、 DD ′所在直线都垂直所在的平面 ABCD，它们之间互相平行．
a
b
④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：
垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行．
直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：
直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图 5．
⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，
的内在联系．
应用示例
思路 1
例 1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行．
解： 已知 a⊥ α， b⊥ α．
求证： a∥b．
b∥a．
而且揭示了平行与垂直之间
图 6
证明： （反证法）如图 6，假定 a 与 b 不平行，且 b∩α=O，作直线 b′，使 O∈b′， a∥b′．
直线 b′与直线 b 确定平面 β，设 α∩β=c，则 O∈c．
∵a⊥ α， b⊥ α，∴ a⊥c， b⊥c．
∵b′∥a，∴ b′⊥c．又∵ O∈b， O ∈b′， b β， b′ β，
a∥b′显然不可能，因此 b∥a．
例 2 如图 7，已知 α∩β=l， EA⊥ α于点 A， EB⊥ β于点 B， a α， a⊥AB．
求证： a∥l．
证明：
又∵ a
α， EA ⊥ α，∴ a⊥EA．
图 7
EA
l⊥平面 EAB．
EB
EA , EB
l
l
l
1
1
又∵ a⊥AB，∴ a⊥平面 EAB．
∴a∥l．
例 1 如图 8，已知直线
求证： a∥ α．
思路 2
a⊥ b， b⊥ α， a α．
图 8
证明： 在直线 a 上取一点 A，过 A 作 b′∥b，则 b′必与 α相交，设交点为 B，过相交直
线 a、 b′作平面 β，设 α∩β=a′，
∵b′∥b， a⊥b，∴ a⊥b′．∵ b⊥ α， b′∥b，
∴b′⊥ α．
又∵ a′ α，∴ b′⊥a′．
由 a， b′， a′都在平面 β内，且 b′⊥a， b′⊥a′知 a∥a′．∴ a∥ α．
例 2 如图 9，已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面， M、 N 分别是 AB、 PC 的中点．
（ 1）求证： MN ⊥CD；
（2）若∠ PDA=45°，求证： MN ⊥面 PCD．
证明： （1）取 PD 中点 E，又
又∵AM ∥CD， AM = CD，
2
图 9
N 为 PC 中点，连接 NE，则 NE∥CD， NE= CD．
2
∴AM NE．
∴四边形 AMNE 为平行四边形．
∴MN∥AE．
（2）当∠ PDA=45°时， Rt△PAD 为等腰直角三角形， 则 AE⊥ PD．又 MN ∥AE，
∴MN⊥ PD， PD ∩CD= D．
∴MN⊥平面 PCD．
变式训练
已知 a、 b、 c 是平面 α内相交于一点 O 的三条直线， 而直线 l 和平面 α相交， 并且和 a、
b、 c 三条直线成等角．求证： l ⊥ α．
证明： 分别在 a、 b、 c 上取点 A、 B、 C 并使 AO=BO=CO． 设 l 经过 O， 在 l 上取一点 P，
在△ POA、 △POB、 △ POC 中，
∵PO= PO=PO， AO= BO=CO，∠ POA= ∠POB= ∠POC，
∴△ POA≌△ POB≌△ POC．
∴PA= PB= PC．取 AB 的中点 D，
连接 OD、 PD ，则 OD ⊥AB， PD ⊥AB．
∵PD ∩OD =D，∴ AB⊥平面 POD．
∵PO 平面 POD，∴ PO⊥AB．
同理，可证 PO⊥BC．
∵AB α， BC α， AB ∩BC= B，∴ PO ⊥ α，即 l⊥ α．
若 l 不经过点 O 时，可经过点 O 作 l′∥l．用上述方法证明 l′⊥ α，
∴l⊥ α．
知能训练
如图 10，已知正方体 ABCD — A1B1C 1D 1 的棱长为 a，
（ 1）求证： BD 1 ⊥平面 B1AC；
（2）求 B 到平面 B1AC 的距离．
图 10
PA 平面 ABCD
∵ CD 平面 ABCD
CD
CD
PA
AD
CD 平面 ADP
CD ⊥AE．
AE 平面 ADP
OB BD 1 BD 1 3a 2
BE BD BD
3
3
．
∴
．
（ 1） 证明： ∵AB⊥ B1C， BC1⊥ B1C，∴ B1C⊥面 ABC1 D 1．
又 BD 1 面 ABC1D 1，∴ B1 C⊥BD 1．
∵B1 B⊥AC， BD ⊥AC，
∴AC⊥面 BB1D1D ．又 BD 1 面 BB1 D1D ，∴ AC⊥ BD 1．
∴BD 1 ⊥平面 B1AC．
（2） 解： ∵O∈BD，∴连接 OB 1 交 BD 1 于 E．
又 O∈AC，∴ OB 1 面 B1AC．
∴BE⊥OE，且 BE 即为所求距离．
∵ ，∴ BE= O· B= 2a ? 2 a
拓展提升
已知在梯形 ABCD 中， AB ∥CD， CD 在平面 α内，
a
．
AB ∶CD=4 ∶6， AB 到 α的距离为
10 cm，求梯形对角线的交点 O 到 α的距离．
图 11
解： 如图所示，过 B 作 BE⊥ α交 α于点 E，连接 DE，
过 O 作 OF⊥DE 交 DE 于点 F，
∵AB∥CD， AB α， CD α，∴ AB ∥ α．又 BE⊥ α，
∴BE 即为 AB 到 α的距离， BE=10 cm 且∠ BED =90°．
OF ∵OF⊥DE ，∴ OF ∥BE，得
BE
∵AB∥CD ，∴△ AOB ∽△ COD．
OD
BD
OD CD
OB AB
OF OD
又
，
BE BD
3 ∴OF= ×10=6
5
6 OD ，得
4 BD
BE=10 cm，
（cm）．
6 3
10 5
∵OF ∥BE， BE⊥ α．
∴OF⊥ α，即 OF 即为所求距离为 6 cm．
课堂小结
知识总结： 利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行， 然后解决证明垂
直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等．
思想方法总结： 转化思想， 即把面面关系转化为线面关系， 把空间问题转化为平面问题．