2022年湖北省随州市高新区中考数学联考试卷（3月份）（含解析）

2022年湖北省随州市高新区中考数学联考试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 教育部近日发布了年全国教育经费执行情况统计快报．经初步统计，年全国教育经费总投入为亿元，比上年增长将亿用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列各式中，正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 如图，，点在线段上，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

5. 李叔叔开车上班，最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到单位，李叔叔在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶，则汽车行驶的路程千米与行驶的时间小时的函数关系的大致图象是

A.  B.
C.  D.

6. 如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器接缝忽略不计，那么这个圆锥形容器的高为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，小明在距离地面米的处测得处的俯角为，处的心角为，若斜面坡度为，则斜面的长是米．

A.
B.
C.
D.

8. 函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为

A.
B.
C.
D.
 

9. 九章算术是中国古代的数学专著，是“算经十书”汉唐之间出现的十部古算书中最重要的一种．书中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点、点分别是正方形的边、的中点，，，过点，且步，步，则正方形的边长为

A. 步 B. 步 C. 步 D. 步

10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：；；若，则或；其中正确的有个．

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 计算______．
12. 不等式组的解集是______ ．
13. 已知方程的两根为，，则 ______ ．
14. 如图，矩形的顶点在坐标原点，顶点，分别在轴，轴上，顶点在反比例函数为常数，，的图象上，，将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形若点的对应点恰好落在此反比例函数图象上，则的值为______．
15. 我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定规律性，从图中取一列数：，，，，，分别记为，，，，，那么的值是______ ．

16. 如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，为中点，连结分别与，交于，两点若，，则的长为______ ，的值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 先化简，再求代数式的值，其中．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，在▱中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，．
    求证：≌；
    连接，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，直线与双曲线交于点，．
    求直线与双曲线的解析式．
    点在轴上，如果，求点的坐标．

20. 年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．
    
    根据以上信息，解答下列问题：
    这次被调查的同学共有多少人？
    扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为多少？
    现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，中，，为的角平分线，以点为圆心，为半径作与线段交于点．
    求证：为的切线；
    若，，求的长．
    
     

22. 甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片如图，甲秀楼的桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．
    按如图所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
    一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由假设船底与水面齐平．
    如图，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围．

23. 如图三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
    如图，在中，，是的平分线．
    证明：是“准互余三角形”；
    若，，试问在边上是否存在点异于点，使得也是“准互余三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由；
    如图，在四边形中，，，，，且是“准互余三角形”，求对角线的长．

24. 已知抛物线交轴于点和点，交轴于点．
    求抛物线的解析式和顶点坐标；
    如图，点是抛物线上位于直线上方的动点，过点分别作轴，轴的平行线，交直线于点，，当取最大值时，求点的坐标；
    如图，点为抛物线对称轴上一点，点为抛物线上一点，当直线垂直平分的边时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据乘积是的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求倒数的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此回答．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、应为，故本选项错误；
B、应为，故本选项错误；
C、，，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选：．
根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数的幂相除，底数不变指数相减，幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
本题主要考查合并同类项法则，同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，
，
又，
，
，即，
．
故选：．
先由，得，，得，再根据三角形内角和定理得，，即，从而求出．
此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出，再由得出，由三角形内角和定理求出．
 

5.【答案】
 

【解析】解：随着时间的增多，行进的路程也将增多，排除；
由于途中停车加油耽误了几分钟，此时时间在增多，而路程没有变化，排除；
后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走势要陡．
故选：．
首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：时间和运动的路程之间的关系采用排除法求解即可．
此题主要考查了函数图象，解题的关键是根据函数图象的性质分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
 

6.【答案】
 

【解析】解：设圆锥形容器的底面半径为，则，
解得：，
所以其高为：，
故选：．
根据已知条件求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得其高即可．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面的半径，难度不大．
 

7.【答案】
 

【解析】解：如图所示：过点作于点，
斜面坡度为：，

，
在处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为，
，，
，
，，
，
，，
解得：，
故AB，
故选：．
过点作于点，根据三角函数的定义得到，根据已知条件得到，，求得，解直角三角形即可得到结论．
此题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡度坡角问题，正确得出是解题关键．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数的图象，反比例函数图象以及二次函数图象与系数的关系的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大．
首先根据二次函数及反比例函数的图象确定、的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．
【解答】
解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知，
根据二次函数的图象可知，，
函数的大致图象经过一、二、三象限，
故选D．  

9.【答案】
 

【解析】解：设正方形的边长为步，
点、点分别是正方形的边、的中点，
，，
，
由题意可得，∽，
，
即，
解得：，
步；
故选：．
根据题意，可知∽，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．
本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．
 

10.【答案】
 

【解析】解：抛物线开口向上，对称轴在轴左边，与轴交于负半轴，
，，，
，
故结论错误；
二次函数的图象与轴交于，顶点是，
抛物线与轴的另一个交点为，
抛物线开口向上，
当时，，
故结论正确；
由题意可知对称轴为：直线，
，
，
把，代入得：
，
，
解得或，
当，则或，
故结论正确；
把，代入得：
，，，
，
，
，
抛物线与轴的另一个交点为，
，
，
，
故选：．
由抛物线的开口方向、对称轴以及与轴的交点，可得、、的符号，进而可得的符号，结论错误；
由抛物线与轴交于，顶点是，可判断出抛物线与轴的另一个交点为，当时，，结论正确；
由题意可知对称轴为：直线，即，得，把，代入并化简得：，解得或，可判断出结论正确；
把，代入并计算可得，由对称轴可得，，由可得，再计算的值，可判断错误．
本题考查了二次函数图形与系数关系、抛物线与轴的交点以及特殊值对函数值的影响等知识点，观察函数图像结合二次函数图形与系数关系，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：

．
故答案为：．
首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
故答案为：．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：根据题意得，，
所以．
故答案为．
先根据根与系数的关系得到，，再利用乘法公式展开得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

14.【答案】
 

【解析】解：顶点在反比例函数为常数，，的图象上，，
，
则，，
矩形绕点按逆时针反向旋转得到矩形，
，，
，
，在此反比例函数图象上，
，
，
，
，
负值舍去，
，
故答案为：．
由题意得，则，，根据旋转的性质得到，，于是得到，于是得到方程，求得负值舍去，即可得到结论．
本题考查了坐标与图形变化旋转，矩形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，，，，
，
，
．
故答案为：．
首先根据题意得出的关系式，然后用“裂项法”将裂成，即可求出结果．
本题考查规律型：数字的变化规律．找到变化规律然后用“裂项法”求解是解本题的关键．
 

16.【答案】；
 

【解析】解：，
，
，
，
又，
，
，
为中点，
．
连接，，

由翻折可得，，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形，
，，
，
平分，
，
≌，
．
，，，
≌，
，
设，
则，，
，
∽，
，
即，
解得舍或，
，
．
故答案为：；．
连接，，由翻折及可得四边形为菱形，再由菱形对角线的性质可得先证明≌得，再证明∽可得，进而求解．
本题考查矩形的翻折问题，解题关键是连接辅助线通过全等三角形及相似三角形的判定及性质求解．
 

17.【答案】解：原式
，
，
原式．
 

【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，把的值代入得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
≌；
四边形是菱形，理由如下：
平分，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是菱形．
 

【解析】根据四边形是平行四边形，得，，可证，然后通过证≌即可；
由平分，得，又因为，则，有，可证出，然后证出四边形为平行四边形即可解决问题．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，证出是解题的关键．
 

19.【答案】解：双曲线经过点，
．
双曲线的表达式为．
点在双曲线上，
点的坐标为．
直线经过点，，
，解得，
直线的表达式为；

当时，，
点．
设点的坐标为，
，，，
，即，
解得：，．
点的坐标为或．

 

【解析】把的坐标代入可求出，即可求出反比例函数解析式，把点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出，把，的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，设点的坐标为，根据三角形的面积公式结合，即可得出，解之即可得出结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标利用待定系数法求出函数的解析式；根据三角形的面积公式以及，得出．
 

20.【答案】解：根据题意得：人，
即这次被调查的学生共有人；
根据题意得：，
即扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为；
画树状图如下：

共有种等可能的情况，其中恰好选中甲、乙两位同学的情况有种，
恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
 

【解析】根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数；
用乘以篮球的学生所占的百分比即可；
画树状图，共有种等可能的情况，其中恰好选中甲、乙两位同学的情况有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】 证明：过作于，
，
，
为的角平分线，，
，
即为的半径，
，
为的切线；
解：设的半径为，则，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，，
，
．
 

【解析】过作于，根据角平分线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
设的半径为，则，在解直角三角形即可得到结论．
本题考查了平行的判定和性质，角平分线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，由题意得：水面宽是，桥拱顶点到水面的距离是，
结合函数图象可知，顶点，点，
设二次函数的表达式为，
将点代入函数表达式，
解得：，
二次函数的表达式为，
即；
工人不会碰到头，理由如下：
小船距点，小船宽，工人直立在小船中间，
由题意得：工人距点距离为，
将代入，
解得：，
，
此时工人不会碰到头；
抛物线在轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于轴成轴对称．
如图所示，

新函数图象的对称轴也是直线，
此时，当或时，的值随值的增大而减小，
将新函数图象向右平移个单位长度，可得平移后的函数图象，
如图所示，

平移不改变图形形状和大小，
平移后函数图象的对称轴是直线，
当或时，的值随值的增大而减小，
当时，的值随值的增大而减小，结合函数图象，
得的取值范围是：
且，得，
，得，
由题意知，
不符合题意，舍去，
综上所述，的取值范围是．
 

【解析】根据题意结合图象可以求出函数的顶点，先设抛物线的顶点式，再根据图象过原点，求出的值即可；
先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出的值，然后和比较即可；
根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移各单位，根据二次函数的性质求出的取值范围．
本题考查二次函数的应用、轴对称以及平移等知识，关键是利用平移后的函数对称轴，函数的增减性求的取值范围．
 

23.【答案】证明：是的平分线，
，
，
，
，
是“准互余三角形”；

解：如图中，存在，理由如下：

在中，，，
，
是“准互余三角形”，
也是“准互余三角形”，
只有，
，
，
，
∽，
，
，
，
存在点，使得是“准互余三角形”，此时；

解：如图中，将沿翻折得到．

，，，
，，
，
、、共线，

，
只有，
，
，
∽，
，
设，
则有：，
或舍弃，
，
在中，．
 

【解析】由题意可得，所以只要证明与满足，即可解答；
只要证明∽，可得，由此即可解决问题；
如图中，将沿翻折得到只要证明∽，可得，设，则有：，推出或舍弃，再利用勾股定理求出即可；
本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、“准互余三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用翻折变换添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用已知模型构建辅助线解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】解：抛物线经过点，，
，
，
抛物线的解析式为，
抛物线的解析式为，顶点坐标为；

由知，抛物线的解析式为，
，
，
，
，
，
，
平行于轴，平行于轴，
，，
，
，
，
，
当的长度最大时，取最大值，
，，
直线的解析式为，
设，则，
，
当时，最大，此时，，
；

如图，设直线与抛物线的对称轴的交点为，连接，
点在线段的垂直平分线上，
，，
轴，
，
，
轴，
由知，直线的解析式为，
当时，，
，
点的纵坐标为，
设的坐标为，
，解得，或，
点的坐标为或
 

【解析】将点，坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；
先求出，进而得出，进而判断出，即可得出当的长度最大时，取最大值，设出点坐标，表示出点坐标，建立，即可得出结论；
先判断出轴，进而求出点的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，中判断出，中轴是解本题的关键．