北师大版 (2019)必修 第二册8 三角函数的简单应用教学设计

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册8 三角函数的简单应用教学设计，共39页。

《二倍角的三角函数》教学设计
◆ 教材分析
“二倍角的三角函数 ”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上， 进一步研究具有 “二
倍角 ”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊
化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具．通过对二倍角的推导
知道， 二倍角的内涵是： 揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律． 通过推导还让学生
加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想． 因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理
能力的重要内容， 对培养学生的探索精神和创新能力、
分重要的意义．
本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中
发现问题和解决问题的能力都有着十
α， β关系的特殊情形 α= β时的简
化， 让学生在探究中既感到自然、 易于接受， 还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联
系， 同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想． 这一切教师要引导学
生自己去做，因为《数学课程标准》提出： “要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境
中初步认识对象的特征，获得一些体验 ”．
在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、 高难度的练习， 更不要再补充一些较为
复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，教材上把积化和差公式放在了习题上处理．
◆ 教学目标
1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之
间的内在联系， 并通过强化题目的训练， 加深对二倍角公式的理解， 培养运算能力及逻辑推
理能力，从而提高解决问题的能力．
2． 通过二倍角的正弦、 余弦、 正切公式的运用， 会进行简单的求值、 化简、 恒等证明． 体
会化归这一基本数学思想在发现中和求值、 化简、 恒等证明中所起的作用． 使学生进一步掌
握联系变化的观点， 自觉地利用联系变化的观点来分析问题， 提高学生分析问题、 解决问题
的能力．
3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善
于发现和勇于探索的科学精神．
◆ 教学重难点
◆
教学重点：二倍角公式推导及其应用．
教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式．
课时安排
2 课时
◆ 教学过程
第 1 课时
导入新课
思路 1． （复习导入）请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组
公式的来龙去脉， 然后让学生默写这六个公式． 教师引导学生： 和角公式与差角公式是可以 互相化归的． 当两角相等时， 两角之和便为此角的二倍， 那么是否可把和角公式化归为二倍
角公式呢 ?今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题
呢？由此展开新课．
思路 2． （问题导入）
的值．学生会很容易看出：
出示问题， 让学生计算， 若 sin α= 3， α∈（ ， π）， 求 sin2 α， cs2α
5 2
sin2 α=sin （ α+ α） =sin αcs α+cs αsin α=2sin αcsα的，以此展开新
课，并由此展开联想推出其他公式．
新知探究
提出问题
①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？（请学生默写出来，并由一名学生到黑板默
写）
②你写的这三个公式中角 α， β会有特殊关系 α= β吗？此时公式变成什么形式？
③在得到的 C2 α公式中，还有其他表示形式吗？ ④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？ ⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？
⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，
稍后两人为一组，做填数游戏：
（ ） -sin2 （ ）．
sin （ ） =2sin （ ） cs （ ）， cs（ ） =cs2
⑦思考过公式的逆用吗？想一想 C2α 还有哪些变形？
⑧请思考以下问题： sin2 α=2sin α吗？ cs2α=2cs α吗？ tan2 α=2tan α吗？
活动： 问题①，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公
式，提醒学生注意公式中的 α， β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇
2 4 2
1 tana tan 1 tan2 a
tan a tan 2 tan a
妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试．如果学生想到
进入下一个问题， 如果学生没想到这种特殊情况，
生到黑板进行简化， 其他学生在自己的坐位上简化．
α， β会有相等这个特殊情况，教师就此
教师适当点拨进入问题②， 然后找一名学
教师再与学生一起集体订正黑板上的书
写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释．这个过程
教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义．同时开拓
学生的思维空间，为学生将来遇到的 3α或 3 β等角的探究附设类比联想的源泉．
sin （ α+ β） =sin αcsβ+cs αsin β sin2 α=2sin αcs α（ S2 α）；
cs（ α+ β） =csαcsβ-sin αsin β cs2 α=cs2 α-sin2 α（ C2 α）；
tan（ α+ β） = tan 2a （T2α）．
这时教师适时地向学生指出， 我们把这三个公式分别叫作二倍角的正弦， 余弦， 正切公
式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的 “倍角 ”专指 “二倍角 ”．教师适
时提出问题③，点拨学生结合
右表中的公式．
sin2 α+cs2 α=1 思考，因此二倍角的余弦公式又可表示为以下
这时教师点出，这些公式都叫作倍角公式（用多媒体演示） ．倍角公式给出了 α的三角
函数与 2 α的三角函数之间的关系．
问题④，教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征，首先公式
左边角是右边角的 2 倍；左边是 2 α的三角函数的一次式，右边是 α的三角函数的二次式，
即左到右 →升幂缩角，右到左 → 降幂扩角．二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是
分式．
问题⑤， 因为还没有应用， 对公式中的含义学生可能还理解不到位， 教师要引导学生观
察思考并初步感性认识到： （Ⅰ） 这里的 “倍角 ”专指 “二倍角 ”， 遇到 “三倍角 ”等名词时， “三 ”
字等不可省去； （Ⅱ）通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；
（Ⅲ）二倍 角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况； （Ⅳ）公式（ S2α），（C2 α）中的角
α没有限制，都是 α∈R．但公式（ T2 α）需在 α≠k + 和 α≠kπ+ （k∈Z）时才成立，这
3
=tan80 °，
2 4 4 4 4 2
2 tan
4
．
3
tan2 α=
1 tan 2
2 2
2 4 4 3 6 6
一条件限制要引起学生的注意．但是当 α=kπ+ ， k∈Z 时，虽然 tanα不存在，此时不能用
2
此公式，但 tan2 α是存在的，故可改用诱导公式．
问题⑥，填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于
倍的形式， 其他如 4 α是 2 α的二倍， 是 的二倍， 3 α是 的二倍， 是
2 4 2 3
是 - 的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．
4 2
2 α是 α的二
的二倍， - α
6 2
例如： sin =2sin cs ， cs =cs2 -sin2 等等．
问题⑦， 本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用， 这点教师更要提醒学生
引起足够的注意．如：
2tan40
2 tan 40
sin3 αcs3 α= 1 sin6 α， 4sin cs =2 （2sin cs ） =2sin ，
cs22 α-sin22 α=cs4 α， 2tan α=tan2 α（ 1-tan2 α）等等．
问题⑧，一般情况下： sin2 α≠in α， cs2α≠2csα， tan2 α≠anα．
若 sin2 α=2sin α，则 2sin αcsα=2sin α，即 sin α=0 或 csα=1，此时 α=k π（ k∈Z）．
若 cs2α=2cs α，则 2cs2 α-2csα-1=0 ，即 cs α= 1 3 （cs α= 1 3 舍去）．
若 tan2 α=2tan α，则 2tan 2tan α，∴ tanα=0 ．结合 tan α≠±，1 ∴ α=k π（k∈ Z）．
解答 ：① — ⑧（略） ．
应用示例
思路 1
例 1 已知 tan α= 1 ，求 tan2 α的值．
2
解： tan2 α= 2 tan 2
例 2 设 α是第二象限角，已知
解： 因为 α是第二象限角，所以 由于 csα=-0． 6，故 sin α= 1
可得 sin2 α=2sin α·csα=-0． 96，
csα=-0． 6，求 sin2 α， cs2α和 tan2 α的值．
sin α＞ 0， tanα＜ 0．
cs2 =0． 8．
cs2 α=2cs2 α-1=2 ×（ -0．
sin 2 24
cs2 7 ． 例 3 在△ABC 中，已知
6） 2-1=-0． 28，
AB =AC=2BC （如图 1），求角 A 的正弦值．
．
，
4
1 1
图 1
解： 作 AD ⊥BC 于 D，设∠ BAD = θ，那么∠ A=2 θ．
因为 BD = BC= AB，
2 4
所以 sin θ= BD = 1 ．
AB 4
因为 0＜ 2 θ＜ π，所以 0＜ θ＜ ，
2
于是 cs θ= 15
故 sinA=sin2 θ= 15
8
4．要把半径为 R 的半圆形木料截成长方形（如图 2），应怎样截取，才能使长方形面积
最大 ?
解： 如图 2，设圆心为 O，长方形面积为
AB= Rsin α， OB= Rcs α，
S= （Rsin α） （Rcsα）
=2R2sin α·csα
图 2
S，∠ AOB= α，则
=R sin2 α．
2
当 sin2 α取最大值， 即 sin2 α=1 时，截面面积最大．不难推出 α= 时， 长方形截面面积
4
最大，最大截面面积等于 R2．
例 5 已知 sin2 α= 5 ， ＜ α＜ ，求 sin4 α， cs4α， tan4 α的值．
13 4 2
活动： 教师引导学生分析题目中角的关系， 观察所给条件与结论的结构， 注意二倍角公
式的选用，领悟 “倍角 ”是相对的这一换元思想．让学生体会 “倍”的深刻含义，它是描述两个
( ) 2 =-
13 13
cs4a 169 119 119
数量之间关系的．本题中的已知条件给出了 2 α的正弦值．由于 4 α是 2 α的二倍角，因此可
以考虑用倍角公式． 本例是直接应用二倍角公式解题， 目的是为了让学生初步熟悉二倍角的 应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成．
解： 由 ＜ α＜ ，得 ＜ 2 α＜ π．
4 2 2
又∵ sin2 α= 5 ，
13
∴cs2 α=- 1 sin 2 2 =- 1 5 12．
于是 sin4 α=sin[2 ×（ 2 α） ]=2sin2 αcs2 α=2× 5 ×（- 12 ） =- 120；
13 13 169
cs4 α=cs[2 ×（ 2 α） ]=1-2sin 22 α=1-2 ×（ 5 ） 2= 119；
13 169
sin 4a 120 169 120
tan4 α= = （- ） × =- ．
点评： 学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法， 但要提醒学生注意， 在解题时
注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙，规范，并达到熟练掌握的程度．本节 公式的基本应用是高考的热点．
让学
7
2
2
变式训练
1．不查表，求值： sin15 +°cs15 °．
解： 原式 = (sin 15 cs15 ) sin 2 15
点评： 本题在两角和与差的学习中已经解决过，
生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力．
2sin 15 cs15 cs2 15
6
．
2
现用二倍角公式给出另外的解法，
2
4
2．若 cs2
sin( )
7
A． -
2
答案： C
3．下列各式中，值为
A． 2sin15 -°cs15 °
C． 2sin 15°-1
答案： B
2
3
1
C． D． 2
，则 csα+sin α的值为（ ）
2
1
B． -
2
的是（ ）
2
B． cs215°-sin215°
D． sin215°+cs215°
sin cs sin cs
=
sin 2 sin 2
) )
=
活动：教师先让学生思考一会，
=tan θ．
鼓励学生充分发挥聪明才智， 战胜它， 并力争一题多解． 教
例 6 证明 1 sin 2 1 sin 2
cs 2 cs 2
师可点拨学生想一想， 到现在为止， 所学的证明三角恒等式的方法大致有几种： 从复杂一端
化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方
法会同时使用等．对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？
这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导， 前面学习同角三角函数的基本关系时
曾用到 “1代换，对 “1妙用大家深有体会，这里可否在 “1上”做做文章？
待学生探究解决方法后， 可找几个学生到黑板书写解答过程，
发． 点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；
以便对照点评给学生以启
对暂时找不到思路的学
生给予点拨，鼓励．强调 “1妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中
就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它．
证明：方法一：
左边 = sin 2 (1 cs2 ) 2sin cs
sin 2 (1 cs2 ) 2sin cs
sin cs 1 cs2
sin cs cs2
(1 1 2 cs2 )
(1 2 cs2 1)
2 sin 2
2 cs2
(cs2
(cs2
sin(cs cs (sin
sin )
=tan θ=右边， cs )
所以，原式成立．
方法二：
sin 2 sin 2
sin 2 cs2
左边 = sin 2
sin 2
cs2
cs2
cs )
cs )
=
2sin (sin
2cs (sin
tan =右边．
(1 sin 2 ) cs 2
所以，原式成立．
方法三：
(1 sin 2 ) cs 2 左边 =
cs2 cs2
(sin 2
(sin 2
sin 2
cs2
cs2
sin 2
2 sin
2 sin
sin 2 sin 2
? cs ) ? cs )
(sin
(sin
cs ) 2 cs )2
(cs sin )(cs sin )
(cs sin )(cs sin )
点评： 以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端； 角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其
请同学们在探究中仔细体会这点． 在这道题中通常用的几种方法都用到了，
法，都要思路清晰，书写规范才是．
思路 2
例 1 求 sin10 °sin30 °sin50 °sin70 °的值．
第二， 化倍角为单
“1代换的妙用，
不论用哪一种方
=
(sin cs )(sin cs sin cs ) (sin
(sin cs )(sin cs cs sin ) (sin
=tan θ=右边．
所以，原式成立．
cs ) ? 2 sin cs ) ? 2 cs
活动： 本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题， 有一定难度， 但也是训练学生思维
能力的一道好题． 本题需要公式的逆用， 逆用公式的先决条件是认识公式的本质， 要善于把
表象的东西拿开， 正确捕捉公式的本质属性， 以便合理运用公式． 教学中教师可让学生充分 进行讨论探究， 不要轻易告诉学生解法， 可适时点拨学生需要做怎样的变化， 又需怎样应用 二倍角公式，并点拨学生结合诱导公式思考．学生经过探索发现，如果用诱导公式把 10°， 30°， 50°， 70°正弦的积化为 20°， 40°， 60°， 80°余弦的积，其中 60°是特殊角，很容易发现
40°是 20°的 2 倍， 80°是 40°的 2 倍，故可考虑逆用二倍角公式．
解： 原式 =cs80°cs60°cs40°cs20°
点评： 二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，
又是解答许多数学问题的重要模型
=
23 ? sin 20 cs 20 cs40 cs80
2 3 ? 2sin 20
sin 160 16sin 20
sin 20
．
1
16sin 20
16
和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律．
例 2 在△ABC 中， csA= 4， tanB=2，求 tan（2A+2B）的值．
5
活动： 这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性， 同时也是和与
差公式的应用问题． 教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题， 会带来一些隐含的条
件，如 A+B+C= π， 0＜ A＜ π， 0＜ B＜ π， 0＜ C＜ π，就是其中的一个隐含条件．可先让学生 讨论探究， 教师适时点拨． 学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及
角的联系． 由于对 2A+2B 与 A， B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路， 所以学生会
产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别．不论
学生的解答正确与否， 教师都不要直接干预． 在学生自己尝试解决问题后， 教师可与学生一
起比较各种不同的解法， 并引导学生进行解题方法的归纳总结． 基础较好的班级还可以把求
2 2
7 3
1 tan B 1 2 2 3
5 5
tanA= 2 ，
cs A 5 4 4
tan （2A+2B）的值改为求 tan2C 的值．
解： 方法一：在 △ABC 中，由 csA= 4， 0＜ A＜ π，得
5
sinA= 1 cs2 A 1 ( 4 ) 2 3．
所以 tanA= sin A 3 5 3，
3
2tan A 2 4 24
1 tan A 1 ( 3) 2 7 4
又 tanB=2，
所以 tan2B= 2tan
24 4
于是 tan （2A+2B） = tan 2A tan 2 B 7 3 44 ． 1 tan2 A tan2B 1 24 ( 4 ) 117
方法二：在 △ABC 中，由 csA= 4， 0＜ A＜ π，得
5
点评： 以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用，
是为了鼓励学生用不同的思路去思考，以拓展学生的视野．
变式训练
1．设向量 a=（csα， 1 ）的模为 2 ，则 cs2α等于 … （
本质上没有区别，其目的
）
sinA= 1 cs2 A
4
5
1 ( ) 2
．
3
5
所以 tanA= sin A 3 5 3 ．又 cs A 5 4 4
tanB=2，
3
2
4
3
1 2
4
]
．
11
2
1 tan A tan B
所以 tan （A+B） = tan A tan B
于是 tan （2A+2B） =tan[2 （A+B）
=
2 tan(A B)
1 tan 2 ( A B)
11
2
11 2
2
2 ( )
1 ( )
．
44
117
1 cs4 sin \l "_bkmark1" 4
7 2
7 7
4 2 4 2 4
1 cs4 sin \l "_bkmark2" 4
C
D
1
A． -
4
1
B． -
2
．
1
2
．
3
2
解析 ：由 |a|= cs2 1 = 2 ，得 cs2 α+ 1 = 1， cs2 α= 1，
∴cs2 α=2cs2 α-1=2 ×1 -1=- 1 ．
4 2
答案： B
2．化简： ．
解： 原式＝ 2cs2 2 2sin 2 cs2 2cs2 (cs 2 sin 2 )
2sin 2 2sin 2 cs2 2sin 2 (sin 2 cs2 )
=ct2 α．
知能训练
已知 cs α= 1， cs （ α- β） = 13 ，且 0＜ β＜ α＜ ，
7 14 2
（ 1）求 tan2 α的值；
（2）求 β．
解： （1）由 csα= 1， 0＜ α＜ ，得 sin α= 1 cs2
（2）由 0＜ β＜ α＜ ，得 0＜ α- β＜ ． 2 2
又∵ cs（ α- β） = 13 ，∴ sin （ α- β） = 1 cs2 ( )
14
由 β= α- （ β- α），得
csβ=cs ［ α-（ α- β）］ =cs αcs （ α- β） +sin αsin （ α- β） = 1
7
∴ β= ．
3
1 ( 1 ) 2 4 3 ．
1 ( 13 )2 3 3．
14 14
∴tanα= sin cs
4 3 1
7 7
1 tan
4 3 ．于是 tan2 α= 2tan 2
2
2 4 3
1 (4 3)
8 3
.
47
14 7 14
13 4 3 3 3
× + ×
．
1
2
点评： 本题主要考查三角恒等变形的主要基本公式， 三角函数值的符号， 已知三角函数
值求角以及计算能力．
作业
课本习题．
课题小结
1．先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么
新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数
式的化简、求值与恒等式证明．
2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思
想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，
一个题目能给出多种解法， 从中比较最佳解决问题的途径， 以达到优化解题过程， 规范解题
步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．
◆ 教学反思
1．新课改的核心理念是：以学生发展为本．本节课的设计流程从回顾 → 探索 → 应用，
充分体现了 “学生主体、主动探索、培养能力 ”的新课改理念，体现
新教学模式． 本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，
由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深地留在了学生记忆中．
还是比较流畅的．
“活动、开放、综合 ”的创
在这个活动过程中，
本节课的教学设计流程
2．纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，
逆用， 变形用倒成了次要的了． 而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，
现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的．
3．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推
理特点，本节主要是教给学生 “回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用
的探索创新式学习方法． 这样做增加了学生温故知新的空间， 增强了学生的参与意识，
了学生发现规律、探索推导，获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教
学的主体．学生会体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣．
第 2 课时
导入新课
思路 1． 我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主
又发
”
教给
要有以下三个基本的恒等变换： 代数变换， 公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变
换． 前面已经利用倍角公式进行了简单的化简， 求值及解决实际问题，
式的逆用推导出半角公式，并用它来解决一些三角函数式的化简，求值等．
思路 2． 先让学生写出上节课学习的二倍角公式，接着出示课本例
本节将利用二倍角公
5 让学生探究，由此
cs
2
2 2
2 2
2 2
2 2
sin
1 cs
1
2 1 cs
1 cs
展开新课．
新知探究
提出问题
① α与 有什么关系 ? 2
②如何建立 csα与 sin2 之间的关系？ 2
③sin2 = 1 cs ， cs2 = 1 cs ， tan2 = 1 2 2 2 2 2 1
点？
cs 这三个式子有什么共同特
cs
④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗 ?
活动： 教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式 csα=1-2sin 2 ， 将公式中的 α用 代
2 2
替，解出 sin2 即可．
2
教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现： α是 的二倍角．在倍角公式
2
cs2α=1-2sin 2 α中，以 α代替 2 α，以 代替 α，即得 csα=1-2sin 2 ，
2 2
所以 sin2 = cs ①
2 2
在倍角公式 cs2α=2cs2 α-1 中，以 α代替 2 α，以 代替 α，即得
2
csα=2cs2 -1，
2
所以 cs2 = 1 cs ．②
2 2
将①②两个等式的左右两边分别相除，即得
tan2 = ③
又根据正切函数的定义，得到
sin tan 2
2 cs
sin tan 2 2
2
sin ?2cs
cs ?2cs
sin ?2sin
cs ?2sin
；④
1 cs
．⑤
sin
这样我们就得到另外两个公式：
2 2
1
2 2 1 cs
解： sin = ±
2 1 cs 2 sin
sin 1 cs
1
tan ； tan ．
以上我们得到的五个有关半角三角函数的公式，称之为半角公式．
在这些公式中，根号前面的符号由 所在象限相应的三角函数值的符号确定，如果
2
2
所在象限无法确定，则应保留根号前面的正，负两个符号．
教师引导学生观察上面的①②③④⑤式，可让学生总结出下列特点：
（ 1）用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数；
（2）由左式的 “二次式 ”转化为右式的 “一次式 ”（即用此式可达到 次 ”的目的） ． 教师与学生一起总结出这样的特点，并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用
到．提醒学生在以后的学习中引起注意．同时还要强调，本例的结果还可表示为：
1 cs sin = ±
要求记忆） ，符号由
， cs = ±
2
所在象限决定． 2
cs ， tan = ± 1 cs ，并称之为半角公式（不
教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出： 对于三角变换， 由于不同的三角函数
式不仅会有结构形式方面的差异， 而且还有所包含的角， 以及这些角的三角函数种类方面的
差异．因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择
可以联系它们的适当公式， 形式的变换．
讨论结果 ：① α是 2
这是三角恒等变换的重要特点． 代数式变换往往着眼于式子结构
的二倍角．
②sin2 = cs ．
2 2
③④略（见活动） ．
应用示例
思路 1
例 1 已知 cs α= 7 ，求 sin ， cs ， tan 的值．
25 2 2 2
活动： 此题考查半角公式的应用， 利用半角公式进行化简解题． 教师提醒学生注意半角
公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系．
7
1 cs 1 25
2 2 2
3
，
5
2 2
3 4 3
3
13
3
2
1 cs cs = ±
sin 3
7
1
25 4
，
2 5
3
．
4
2
tan = 2 2 cs
5
4
5
点评 ：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系．
变式训练
已知 θ为第二象限角， sin （ π- θ） = 24 ，则 cs 的值为（ ）
25 2
A． B． C． ± 5 5 5
解析： ∵sin （ π- θ） = 24 ∴sin θ= 24．
25 25
又 θ为第二象限角，
∴csθ=- 7 ， csθ=2cs2 -1，
25 2
而 在第一，三象限，
2
3
∴cs = ± ．
2 5
答案： C
例 2 已知 sin2 α=- 12， π＜ 2 α＜ 3 ，求 tanα．
13 2
4
D． ±
5
解： 因为 π＜ 2 α＜ ，故
2
cs2 α=- 1 sin 2 2a 1
所以 tan α= 1 cs2 1 sin 2
＜ α＜
2
( 12) 2
5
13
12
， α是 2 α的一半，运用半角公式，有
4
5
，
13
3
．
2
13
例 3 已知 sinx-csx= 1 ，求 sin3x-cs3x 的值．
活动： 教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解．由于（ a- b）
3 =a3-3a2b+3ab2 -b3=a3- b3-3ab （a-b），∴ a3- b== （a- b） =+3ab （a- b）．解完此题后，教师引导
学生深挖本例的思想方法，由 sinx ·csx 与 sinx±csx 之间的转化，提升学生的运算，化简能
力及整体代换思想． 本题也可直接应用上述公式求之， 即 sin3x-cs3x=（sinx-csx）3+3sinxcsx
7
=1，
cs2 A
sin 2 A
sin B
2 2
A， B 角的
a2+b2 =1 的形式，
2 8 16
= ．此方法往往适用于
16
1
（sin x-csx） 11 sin3x±cs3x 的化简问题之中．
解： 由 sinx-csx= 1 ，得（ sinx-csx） 2= 1 ，
2 4
即 1-2sinxcsx= ，
4
∴sinxcsx= 3．
8
∴sin3x-cs3x= （sinx-csx）（sin x+sin xcsx+cs x22） = 1 （ 1+ 3） = 11．
点评： 本题考查的是公式的变形、化简、求值，注意公式的灵活运用和化简的方法．
变式训练
已知 sin θ+cs θ= 1 ，且 ≤θ≤3 ，则
5 2 4
答案： -
25
cs2 θ的值是 ___________．
cs4 B sin 4 B =1．
cs2 A sin 2 A
例 4 已知
cs4 A sin 4 A =1，求证：
cs2 B sin 2 B
活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，
只是将 A， B 的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有
正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类．从结构上看，已知条件是
可利用三角代换．
证法一：∵
cs4 A sin 4 A
cs2 B sin 2 B
∴cs4A ·sin2B+sin4A cs2·B=sin 2B ·cs2B．
∴cs4A （1-cs2B） +sin4A ·cs2 B= （1-cs2B） cs2B，
即 cs4A-cs2B （cs4A-sin4A） =cs2 B-cs4 B．
∴cs4A-2cs2Acs2B+cs4B=0．
∴（ cs2A-cs2 B） 2=0．∴ cs2A=cs2 B．∴ sin2A=sin2B．
cs4 B ∴
证法二：令
sin 4 B sin 2 A cs2 A sin 2 B
=cs B+sin B=1．
=cs α， =sin α，
则 cs2A=csBcsα， sin2A=sinBsin α．
两式相加，得 1=csBcsα+sinBsinα，即 cs（B- α） =1．
∴B- α=2k π（ k∈ Z），即 B=2k π+ α（ k∈Z）．
∴csα=csB， sin α=sinB．
．
cs2 A sin 2 A cs2 B sin 2 B
1 tan A 1 tan B
1 1
csx 4 2
3．
∴cs2A=csBcsα=cs2B， sin2A=sinBsin ．
∴ cs4 B sin 4 B cs4 B sin 4 B =cs2B+sin2B=1．
点评： 要善于从不同的角度来观察问题， 本例从角与函数的种类两方面观察， 利用平方
关系进行了合理消元．
变式训练
在锐角 △ABC 中， A， B， C 是它的三个内角，记 S= ，求证： S＜ 1．
证明：∵ S= 1 tan A 1 tan B 1 tan A tan B 1
(1 tan A)(1 tan B ) 1 tan A tan B tan A tan B
又 A+B＞ 90°，∴ 90°＞ A＞ 90°-B＞ 0°．
∴tanA＞tan （90°-B） =ctB＞ 0．
∴tanA t·anB＞ 1．∴ S＜ 1．
思路 2
例 1 已知 sin2 010 - 1 ，求 sin1 005 ，°cs1 005 °， tan1 005 °的值．
2
解： 因为 2 010 °=5×360°+210°是第三象限的角，
所以 cs2 010 °=- 1 sin 2 2010
3
2
又 1 005 °=2×360°+285°是第四象限的角，
所以 sin1 005 -
1 cs 2010 2 3 6 2 ， 2 2 4
cs1 005 =° 1 cs2010 2 3 6 2 ，
2 2 4
cs1005
sin1005
tan1 005 =°
6
6
2
2
8 4 3
4
2
例 2 证明 1 sin x =tan （ x ）．
活动： 教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边 →
右边；②右边 → 左边；③左边
导．注意式子左边包含的角为
的种类为正切．
→ 中间条件 ← 右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推
x，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角
x
，三角函数 2
解： 方法一：从右边入手，切化弦，得
sin( )
x
4 2
2 4 2 tan( 4 )
2 2 2 2
x x x x
2 2 2 2 2 2
x
tan （ x ） = 4 2
4 2 cs( )
之间的关系，想到分子分母同乘以
1 sin x
cs x ．
2 2 2
x x
2 2
x x x
(cs sin )
(cs sin )(cs
x
2
2
sin )
x x x
4 2 4 2 2
x x x
4 2 4 2 2
2 2
sin cs cs sin cs
cs cs sin sin cs
cs x +sin x ，得
x sin
x
sin
2 ，由左右两边的角
2
方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得
1 sin x (cs x sin x) 2 cs x sin x
cs x (cs x sin )(cs sin x ) cs sin ．
由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以 csx ，得
2
1 tan x tan tan x x
1 tan x 1 tan tan x 2 2 4 2
点评： 本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法．
变式训练
已知 α， β∈（ 0， ）且满足： 3sin2 α+2sin2 β=1， 3sin2 α-2sin2 β=0，求 α+2 β的值．
2
解法一 ： 3sin2 α+2sin2 β=1 3sin2 α=1-2sin 2 β，即 3sin2 α=cs2 β，①
3sin2 α-2sin2 β=0 3sin αcsα=sin2 β，②
① 2+② 2，得 9sin4 α+9sin2 ，即 9sin2 α（ sin2 α+cs2 α） =1，
∴sin2 α= 1
9
∵ α∈（ 0， ），∴ sin α= 1．
2 3
∴sin （ α+2 β） =sin αcs2β+cs αsin2 β=sin αsin2 α+csαsin αcsα=3sin α（ sin2 α+cs2 α）
1
=3 × =1．
3
∵ α， β∈（0， ），
2
∴ α+2 β∈（0， 3 ）．∴ α+2 β= ．
2 2
解法二： 3sin2 α+2sin2 β=1cs2 β=1-2sin2 β=3sin2 α，
3
=
sin(a ) sin( a
sin 2 a cs2
2
3
2
3sin2 α-2sin2 β=0sin2 β= sin2 α=3sin αcs α，
∴cs（ α+2 β） =csαcs2β-sin αsin2 β
=cs α·3sin α-sin αsin αcsα=0．
∵ α， β∈（0，
解法三：由已知
），∴ α+2 β∈（ 0， ）．∴ α+2 β= ．
2
3sin2 α=cs2 β，
3
2 2
sin2 α=sin2 β，
2
两式相除，得 tan α=ct2 β，∴ tan α=tan （ -2 β）．
2
∵ α∈（ 0， ），∴ tanα＞ 0．∴ tan（ -2 β）＞ 0．
2 2
又∵ β∈（ 0， ），∴ - ＜ -2 β＜ ．
2 2 2 2
结合 tan （ -2 β）＞ 0，得 0＜ -2 β＜ ．
2 2 2
∴由 tan α=tan （ -2 β），得 α= -2 β，即 α+2 β= ．
2 2 2
例 3 求证： sin( a ) sin( a ) 1 tan2 ．
sin 2 cs2 tan 2 a
活动： 证明三角恒等式，一般要遵循
也是在三角式的变换中经常使用的方法．
证明：证法一：左边 (sin cs
“由繁到简 ”的原则，另外
cs sin )(sin cs
sin 2 cs2
“化弦为切 ”与 “化切为弦 ”
cs sin )
sin 2 cs2 cs2 sin2 =1- cs2 sin2 1 tan2
sin 2 cs2 sin2 cs2 tan2
=右边．∴原式成立．
证法二：右边 =1- cs2 sin 2 sin 2 cs2 cs2 sin2
sin 2 cs2 sin 2 cs2
(sin cs cs sin )(sin cs
sin 2 cs2
= ) =左边．∴原式成立．
点评： 此题进一步训练学生三角恒等式的变形，
推理能力．
变式训练
cs sin )
灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑
sin θ=- ， 3 π＜ θ＜ ，则
A． B． C． -
2 4
． -
D
2．设 5 π＜ θ＜ 6 π， cs = α，则 sin 等于（ ）
1 a 1 a 1 a
2 2 2
3．已知 3 7 tan =__________________．
5 2 2
答案：
1． A 2． D 3． -3
课堂小结
2 tan ， 此式
1 tan 2
1
D． -
5
1 a
2
1
1 sin 4
求证： 1 sin 4 cs4 1
2 tan
分析： 运用比例的基本性质，
右边就是 tan2 θ．
证明： 原等式等价于 sin 4
sin 4 cs4
．
1 tan2
可以发现原式等价于
cs4 cs4
1 sin 4
1 sin 4
cs4
=tan2 θ． cs4
2sin 2 2
2cs2 2
而上式左边 = sin 4 (1 cs4 ) 2sin 2 cs2
sin 4 (1 cs 4 ) 2 sin 2 cs2
2sin 2 (cs \l "_bkmark4" 2
= 2cs2 (sin \l "_bkmark3" 2
知能训练
1．若 sin α= 5 ， 13
A． 5
sin 2 )
=tan2 θ=右边．∴上式成立，即原等式得证． cs2 )
α在第二象限，则 tan 的值为（ ）
2
1
B． -5 C．
5
1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，
半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．三角恒等式与条件等式的证明．
2．教师画龙点睛总结：本节学习了公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角
恒等变形的基本手段．
作业
课本习题．
◆ 教学反思
1． 本节主要学习了怎样推导半角公式， 积化和差， 和差化积公式以及如何利用已有的
公式进行简单的恒等变换． 在解题过程中， 应注意对三角式的结构进行分析， 根据结构特点
选择合适公式， 进行公式变形． 还要思考一题多解、 一题多变， 并体会其中的一些数学思想，
如换元、方程思想， “1代换，逆用公式等．
2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考
查． 特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视， 其中遇到对符号的判断是经常出问题
的地方， 同时要注意结合诱导公式的应用， 应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方． 考
试大纲对本部分的具体要求是： 用向量的数量积推导出两角差的余弦公式， 体会向量方法的
作用． 从两角差的余弦公式进而推导出两角和与差的正弦、 余弦、 正切公式， 二倍角的正弦、
余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换．