江苏省泰州市靖江市靖城中学校际联盟2020-2021学年八年级（下）第二次月考数学试卷（含解析）

江苏省泰州市靖江市靖城中学校际联盟2020-2021学年八年级（下）第二次月考数学试卷

一．选择题（本题共6小题，共18分）

1. 下列代数式：，，，，中，分式的个数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列命题中，真命题是

A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形

3. 下面调查方式中，合适的是

A. 试航前对我国第一艘国产航母各系统的检查，选择抽样调查方式
B. 了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择普查方式
C. 为有效控制“新冠疫情”的传播，对国外入境人员的健康状况，采用普查方式
D. 调查某新型防火材料的防火性能，采用普查的方式

4. 在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是

A.  B.  C.  D.

5. 若分式方程有增根，则的值是

A.  B. 或 C.  D. 或

6. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：
   ；；；；，
   其中正确的有

1. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二．填空题（本题共10小题，共30分）

7. 已知，则的值为______．
8. 化简______．
9. 已知关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是______．
10. 已知反比例函数，若，则的取值范围为______．
11. 在▱中，，是边上的高，，则的度数为______．
12. 下列函数：；；；；中，随的减小而增大的有______个．
13. 如图，点是▱内的一点，连结、、、，再连结对角线，若的面积为，的面积为，那么的面积为______ ．
     

14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是______．

15. 如图，点与点分别在函数与的图象上，线段的中点在轴上．若的面积为，则的值是______．

16. 平面直角坐标系中，点的坐标为，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，若点在的内部，则的取值范围是______．

三．计算题（本题共1小题，共8分）

17. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共9小题，共94分）

18. 解方程组：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
19. 先化简，再求值：，其中满足．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为个单位长度．平面直角坐标系的原点在格点上，轴、轴都在格线上．线段的两个端点也在格点上．
    若将线段绕点逆时针旋转得到线段，试在图中画出线段．
    若线段与线段关于轴对称，请画出线段．
    若点是此平面直角坐标系内的一点，当点、、、四边围成的四边形为平行四边形时，请你直接写出点的坐标．

21. 随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷每人必选且只选一种，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
    
    这次统计共抽查了______名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为______；
    将条形统计图补充完整；
    该校共有名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图所示，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于
    求证：；
    如果：：，，求菱形的面积．
    
    
    
    
    
    
     
23. 文美书店决定用不多于元购进甲乙两种图书共本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本元、元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的倍，若用元在文美书店可购买甲种图书的本数比用元购买乙种图书的本数少本．
    甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
    书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低元，乙种图书售价每本降低元，问书店应如何进货才能获得最大利润？购进的两种图书全部销售完．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为．
    分别求出和的值；
    结合图象直接写出的解集；
    在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．

25. 如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点、，并且满足，点是线段上的一个动点．
    求的值；
    连结，若的面积与四边形的面积之比为：，求点的坐标；
    设点是轴上方平面内的一点，以、、、为顶点的四边形为菱形时，请求出点的坐标．

26. 如图，在中，是边上的中线，将绕点顺时针旋转得到如图，我们称为的“旋补三角形”的边上的中线叫做的“旋补中线”．
    在图，图，图中，为的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
    如图，______；
    如图，当为等边三角形时，与的数量关系为______；
    如图，当时，时，则长为______；
    在图中，当为任意三角形时，猜想与的关系，并给出证明．
    
    如图，在四边形中，，，，，，，为垂足．在线段上是否存在点，使是的“旋补三角形”？若存在，请作出点并给予证明；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：：，分母中含有字母，因此是分式；
，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
故分式有个．
故选：．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查了分式的定义，注意判断一个式子是否是分式的条件是：分母中是否含有未知数，如果不含有字母则不是分式．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．
A、根据矩形的定义作出判断；
B、根据菱形的性质作出判断；
C、根据平行四边形的判定定理作出判断；
D、根据正方形的判定定理作出判断．

【解答】
解：、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误，
故选：．  

3.【答案】
 

【解析】解：、试航前对我国第一艘国产航母各系统的检查，零部件很重要，应全面检查；
B、了解一批袋装食品是否含有防腐剂，适合抽样调查；
C、为有效控制“新冠疫情”的传播，对国外入境人员的健康状况，适合采用普查方式；
D、调査某新型防火材料的防火性能，适合抽样调查．
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、由函数的图象可知，由的图象可知故选项A错误．
B、由函数的图象可知，由的图象可知，且交于轴于正半轴，故选项A正确．
C、的图象应该交于轴于正半轴，故选项C错误．
D、由函数的图象可知，由的图象可知，故选项D错误．
故选：．
本题可先由反比例函数图象得到字母的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致即可解决问题．
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
 

5.【答案】
 

【解析】解：方程两边同时乘以得，，
方程有增根，
，解得．
，解得．
故选A．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入整式方程算出的值即可．
本题考查了分式方程的增根，先根据增根的定义得出的值是解答此题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：在矩形中，平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，故正确；

，
，对顶角相等，
，
，
，，
，
，
，故正确；

，
，
在和中，
，
≌，
，，故正确；

，
故正确；
，，
不是等边三角形，
，
即，故错误；
综上所述，结论正确的是共个．
故选：．
根据角平分线的定义可得，然后利用求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形两底角相等求出，根据平角等于求出，从而判断出正确；
求出，，然后根据等角对等边可得，判断出正确；
求出，，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断出正确；
根据全等三角形对应边相等可得，然后根据，，判断出正确；
判断出不是等边三角形，从而得到，即，得到错误．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
 

7.【答案】
 

【解析】解：设，
则，，，
所以，
故答案为：．
设，根据比例的性质得出，，，再代入求出答案即可．
本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果，那么．
 

8.【答案】
 

【解析】解：有意义，
，
，
，
故答案为：．
先根据有意义，得到，再根据求解即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
 

9.【答案】且
 

【解析】解：，
，
．
关于的分式方程的解是负数，
且．
且．
故答案为：且．
先解分式方程，根据分式方程解的情况得不等式，解不等式确定字母的取值范围．
本题考查了分式方程和一元一次不等式，掌握分式方程、一元一次不等式的解法是解决本题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：反比例函数中，
此函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，
当时，，
当时，．
故答案为：．
先根据反比例函数的性质判断出函数的增减性，再求出时的值即可得出结论．
本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是能够根据反比例函数的比例系数的符号确定其增减性，难度不大．
 

11.【答案】或
 

【解析】解：根据平行四边形的性质和题意画出图形，分种情况：如图所示
是边上的高，，
，
，
；
如图所示：同得：，
，
，
；
上所述：的度数为或，
故答案为：或．
由平行四边形的性质和题意画出图形，由直角三角形的性质得出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出的度数、分两种情况．
本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；根据题意画出图形是解决问题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，，随的减小而增大；
，，图象在第二、四象限，当时，随的增大而增大；
，，随的减小而减小；
，则，，图象在第二、四象限，当时，随的减小而增大；
中，，图象在第一、三象限，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小．
故符合题意，
故答案为：．
根据一次函数的性质，反比例函数的性质，可得答案．
本题考查的是一次函数和反比例函数的性质，熟知一次函数、反比例函数的增减性是解答此题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：点是▱内的一点，
的面积的面积平行四边形的面积，
的面积平行四边形的面积，
的面积的面积的面积，
设的面积，
则的面积，
的面积，
故答案为：．
根据平行四边形的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：一次函数的图象分别交、轴于点、，
令，得，令，则，
，，
，，
过作交于，过作轴于，

，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在与中，

≌，
，，
，
设直线的函数表达式为：，
，
，
直线的函数表达式为：，
故答案为：．
根据已知条件得到，，求得，，过作交于，过作轴于，得到，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，求得，设直线的函数表达式为：，利用待定系数法即可得到结论．
本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：作轴于，轴于，
轴，
是的中点，
，
设，，
代入得：，，
，
，
，
，
故选：．
设，，代入双曲线得到，，根据三角形的面积公式求出，即可得出答案．
本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出是解此题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：当时，，当时，即，，
，
由题意得，，
解得：，
的取值范围为：．
故答案为：．
求出直线与轴、轴的交点坐标，根据点的坐标为落在的内部，列出不等式组求解即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式组，由在的内部，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式


．
 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开立方和乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
首先利用二次根式的乘除混合运算法则计算，最后化成最简结论即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

18.【答案】解：，
方程的两边都乘，得，
，
．
经检验，是原方程的解．
所以原方程的解为．
，
由，得，
把代入，得，
．
把代入，得

．
原方程组的解为．
 

【解析】按解分式方程的一般方法求解即可；
利用代入法求解二元一次方程组求解即可．
本题考查了解分式方程、二元一次方程组，掌握解分式方程、二元一次方程组的一般步骤是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：原式


．
由得，原式
 

【解析】首先把除法转化为乘法，计算乘法，然后进行通分相减即可化简，根据已知可以得到，代入化简以后的式子即可求解．
本题综合考查了分式的化简与方程解的定义．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，将已知量与未知量联系起来．
 

20.【答案】解：如图，线段为所作；
如图，线段为所作；
点的坐标为或或．

 

【解析】利用网格特点和旋转性质画出点、的对应点、即可；
根据关于轴对称的点的坐标特征写出和的坐标，然后描点即可；
利用平行四边形的判定方法，分类讨论：当为对角线可得到点；当为对角线可得到点；当为对角线可得到点，然后写出对应的点坐标．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
 

21.【答案】解：、．
喜欢用短信的人数为：人
喜欢用微信的人数为：
补充图形，如图所示：


喜欢用微信沟通所占百分比为：
所以该校共有名学生，估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：人．
 

【解析】

【分析】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数，求出使用的百分比即可求出的扇形圆心角度数．
计算出短信与微信的人数即可补全统计图．
用样本中喜欢用微信进行沟通的百分比来估计名学生中喜欢用微信进行沟通的人数即可求出答案．
【解答】
解：因为喜欢用电话沟通的人数为，所占百分比为，
所以此次共抽查了：人
喜欢用沟通所占比例为：，
所以”的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：、．
见答案．  

22.【答案】证明：，，
四边形为平行四边形．
四边形为菱形，
，
，
四边形为矩形，
．
解：设，则，

，
，
，，
．
 

【解析】由、可得出四边形为平行四边形，由菱形的性质可得出，进而可得出四边形为矩形，根据矩形的性质即可证出；
设，则，利用勾股定理可得出，结合，可求出的值，进而可得出、的值，再利用菱形的面积公式即可求出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理以及菱形的性质，解题的关键是：证出四边形为矩形；利用勾股定理结合的长度，求出、的值．
 

23.【答案】解：设乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解
甲种图书售价为每本元
答：甲种图书售价每本元，乙种图书售价每本元
设甲种图书进货本，总利润元，则


解得
随的增大而增大
当最大时最大
当本时，最大
此时，乙种图书进货本数为本
答：甲种图书进货本，乙种图书进货本时利润最大．
 

【解析】根据题意，列出分式方程即可；
先用进货量表示获得的利润，求函数最大值即可．
本题分别考查了分式方程和一次函数最值问题，注意研究利润最大分成两个部分，先表示利润再根据函数性质求出函数最大值．
 

24.【答案】解：点，
，
，即，
，
点在第二象限，
  ，
将代入得：，
反比例函数的关系式为：，
把代入得：，

因此，；
由图象可以看出的解集为：或；
如图，作点关于轴的对称点，直线与轴交于，
此时最大，


设直线的关系式为，将，代入得：

解得：，，
直线的关系式为，
当时，即，解得，

 

【解析】由的面积为，可求出的值，确定反比例函数的关系式，把点坐标代入可求的值，
根据图象观察当自变量取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的下方即可，注意由两部分．
由对称对称点关于轴的对称点，直线与轴交点就是所求的点，求出直线与轴的交点坐标即可．
考查反比例函数的图象和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数的关系式等知识，理解作点关于轴的对称点，直线与轴交于，
此时最大．
 

25.【答案】解：对于，令，解得，
则的坐标是，，
，
，则的坐标是，
把的坐标代入得，
解得：；

，
的面积与四边形的面积之比为：，
．
设点的横坐标是，则，
解得：，
把代入得，
点的坐标是；

当四边形是菱形时，如图，

四边形是菱形，
、互相垂直平分，点与点关于对称，
，
的纵坐标是，
把代入，解得：，
则的坐标是，
点的坐标为；
当四边形是菱形时，如图，

，则设的横坐标是，则纵坐标是，
，
解得：或舍去．
则的坐标是
则的中点是
点的坐标为
综上，点的坐标为或
 

【解析】首先在一次函数的解析式中令，即可求得的坐标，则的长度即可求得，，则的坐标即可利用表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于的方程，求得的值；
首先求得四边形的面积，则的面积即可求得，设出的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得的横坐标，进而求得的坐标；
分成四边形是菱形和四边形是菱形两种情况进行讨论，四边形是菱形时，是的中垂线与的交点，关于的对称点就是；四边形是菱形，，在直角上，设出的坐标，根据即可求得的坐标，则根据和的中点重合，即可求得的坐标．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，坐标与图形的性质以及菱形的性质等知识，熟练掌握好一次函数的性质，并能将菱形特点与平面直角坐标系坐标变化相互结合，灵活运用是解决本题的关键．
 

26.【答案】解：；
 ；
；
猜想：，
证明：如图，延长至，使得，连接，，

，，
四边形是平行四边形，
，，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，
；
存在，
理由：如图，延长，，交于点，作线段的垂直平分线，交于，交于，连接、、，

由定义知当，，且时，是的“旋补三角形”，
，
，
在中，
，，，
，，，
在中，
，，，
，
，
，
，
又，
，，
在中，
，，
，
，
又，，
四边形是矩形，
，
，
，即，
是的“旋补三角形”．
 

【解析】

【分析】
本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、含度角直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
依据，可得；当为等边三角形时，可得是等腰三角形，，，再根据，即可得到中，，进而得出；当时，时，易得≌，即可得到中，；
延长至，使得，连接，，判定四边形是平行四边形，进而得到，再判定≌，即可得到，进而得出；
延长，，交于点，作线段的垂直平分线，交于，交于，连接、、，由定义知当，，且时，是的“旋补三角形”，据此进行证明即可．
【解答】
解：，
，
故答案为；
当为等边三角形时，，，
是等腰三角形，，，
又是的中线，
，
中，，
，
故答案为；
当时，时，易得≌，
，
中，，
故答案为；
见答案；
见答案．