天津市滨海新区塘沽第一中学2022届高三下学期4月统练数学试题

塘沽一中2022届高三年级限时统练

数学

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（    ）

A． B． C． D．

4．已知n是一个三位正整数，若n的十位数字大于个位数字，百位数字大于十位数字，则称n为三位递增数．己知，设事件A为“由a，b，c组成三位正整数（数字可重复）”，事件B为“由a，b，c组成的三位正整数为递增数”．则（    ）

A． B． C． D．

5．若，求（    ）

A． B． C． D．

6．已知双曲线的右焦点F与抛物线的焦点重合，过F作与一条渐近线平行的直线l，交另一条渐近线于点A，交抛物线的准线于点B，若三角形AOB（O为原点）的面积为，则双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

7．已知定义域为R的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称．给出下面四个结论：①将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称；②点为图象的一个对称中心；③；④在区间上单调递增．其中正确的结论为（    ）

A．①② B．②③ C．②④ D．①④

9．已知，，设函数，若对任意的实数，都有在区间上至少存在两个零点，则（    ）

A．，且  B．，且

C．，且  D．，且

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．

10．i是虚数单位，若是纯虚数，则实数______．

11．下表记录了某地区一年之内的月降水量．

根据上述统计表，该地区月降水量的中位数是______；80%分位数是______．

12．若二项式的展开式共7项，则展开式的常数项为______．

13．已知某台风中心从A点出发，以每小时30千米的速度向东偏北30°方向匀速移动，离该台风中心不超过225千米的地区为危险区域．若B在A的东偏南15°方向上，且相距300千米，则B点处于危险区域的时长是______小时．

14．已知，，且，则的最大值为______．

15．在中，，，，则______；若，，，则的最大值为______．

三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分14分）

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足已知．

（1）求角A的大小；

（2）若，求的值；

（3）若的面积为，，求的周长．

17．（本小题满分15分）

如图，已知三棱柱中，底面ABC为等腰直角三角形，，，侧棱与底面ABC垂直，且，M、N、P、D分别是、BC、、的中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面PMN与平面ABC夹角的余弦值；

（3）点Q在线段（包括端点）上，且，若直线AM与平面QMN所成角的正弦值为时，求的值．

18．（本小题满分15分）

已知椭圆的离心率为，短轴长为．

（1）求C的方程；

（2）如图，经过椭圆左顶点A且斜率为的直线l与C交于A，B两点，交y轴于点E，点P为线段AB的中点，若点E关于x轴的对称点为H，过点E作OP（O为坐标原点）垂直的直线交直线AH于点M，且面积为，求k的值．

19．（本小题满分15分）

已知正项等差数列与等比数列满足，，且既是和的等差中项，又是其等比中项．

（1）求数列和的通项公式；

（2）记，其中，求数列的前2n项和；

（3）令，求证．

20．（本小题满分16分）

设函数，为函数的导函数．

（1）讨论函数的单调性并写出单调区间；

（2）若存在，使得函数不存在零点，求b的取值范围；

（3）若函数有两个不同的零点，求证：．

塘沽一中2022届高三年级限时统练

数学答案

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

10．-1    11．56，64    12．60    13．5    14．    15．，

三、解答题：本大题共5小题，共75分．

16．解答：（1）∵，

由正弦定理得，

从而有，

∵，∴，∵，∴；

（2）由已知得，，

∴，，

∴；

（3）∵，∴，

由余弦定理得，，

即，解得，

∴ABC的周长为．

17．解答：（1）证明：因为底面ABC为等腰直角三角形，，

所以，因为侧棱与底面ABC垂直，

所以，，即，AB，AC两两垂直，

所以，如图，以A为坐标原点，AB，AC，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

因为，，M，N，P，D分别是，BC，，的中点，

所以，，，，

所以，易知平面的法向量为，

所以，即，

因为平面，所以平面．

（2）解：由（1），，，，，，

所以，，

设平面PMN的一个法向量为，

则，即，令得，

由题，易知平面ABC的一个法向量为，

所以，

所以平面PMN与平面ABC夹角的余弦值为．

（3）解：由（2）得，，，，，

所以，，

因为点Q在线段（包括端点）上，，

所以，所以，即，

所以，，

故设平面QMN的一个法向量为，

则，即，即，

故令，，则，所以，

因为直线AM与平面QMN所成角的正弦值为，

所以，即，

即，解得，

所以．

18．2解答：（Ⅰ）由题意可得，解得，，，

∴椭圆C的方程为．

（Ⅱ）易知椭圆左顶点，

设直线l的方程为，则，，

由，消y可得，

设，，，∴，

则有，，

∴，，∴，

∴直线EM的斜率，

∴直线EM的方程为，直线AH的方程为，∴点，

∴点M到直线的距离，

∴，

∴，

∴，解得．

19．解答：（Ⅰ）设正项等差数列的公差为d，，等比数列的公比为q，

既是和的等差中项，又是其等比中项，

可得，即，

代入，，可得，

则，，故；；

（Ⅱ），，

则数列中前2n项中奇数项与偶数项各n项，设奇数项的和为T，偶数项的和为H，

则

；

，，

相减可得，

所以．

所以．

（Ⅲ），

∴

．

20．解答：（Ⅰ），

当时，，函数的单调递增区间是，

当时，令，得，令，得，

所以函数的单调增区间为，单调减区间是；

（Ⅱ）当时，由（1）知，的单调增区间是，易知，

又∵，

故可得，

又，且函数的图像连续，所以存在一个零点，不满足题意．

当时，因为，

函数的图像不间断，若存在，使函数不存在零点，则对任意恒成立．

由（1）知，能成立，

即能成立，

令，则，，

，则，令，得，

当时，，单调递减；时，，单调递增，

所以，所以，综上，b的取值范围是；

（Ⅲ）因为函数有两个不同的零点，

则由（1）知，且，，消去a得，

设，则，可解得，．

．

设，，则，

所以在上单调递增，所以，

故，

所以，所以．

又因为，

设，，则，

所以在上单调递增，所以，所以，综上，．