二次函数与等腰三角形、直角三角形和等腰直角三角形压轴题--2022年初中数学中考备考考前必刷

这是一份二次函数与等腰三角形、直角三角形和等腰直角三角形压轴题--2022年初中数学中考备考考前必刷，共52页。试卷主要包含了综合与实践等内容，欢迎下载使用。
二次函数与等腰三角形、直角三角形和
等腰直角三角形压轴题
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)．
（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；
（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标．

2．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝经过点A，且与y轴交于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；
(3)点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H（点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．
3．如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标；
(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．

4．如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．
（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

5．如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由．
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线y＝x2＋bx﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴为直线x＝﹣，连接AC，BC．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求△ABC的面积；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？如果存在，请直接写出点E的坐标，如果不存在，请说明理由．
7．综合与实践：如图，抛物线y与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点D从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点E同时从点B出发以相同的速度向点C运动，设运动的时间为t秒．

(1)求点A，B，C的坐标；
(2)求t为何值时，△BDE是等腰三角形；
(3)在点D和点E的运动过程中，是否存在直线DE将△BOC的面积分成1：4两份，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

9．如图，抛物线与轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，项点为D，点B的坐标为．
（1）填空：点A的坐标为_________，点D的坐标为_________，抛物线的解析式为_________；
（2）当二次函数的自变量：满足时，函数y的最小值为，求m的值；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为C，其中，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D．点M坐标为．

（1）当时，抛物线经过原点，求a的值．
（2）当时，
①若点M、点D、点C三点组成的三角形是直角三角形，求此时点D坐标．
②设反比例函数与抛物线相交于点，当时，求m的取值范围．
11．如图10-1，以点为顶点的抛物线与直线交于两点，且点A坐标为，点B在y轴上．

（1）求抛物线解析式；
（2）若点D是抛物线上位于直线上方的一点（如图10-2），过点D作轴于点E，交直线点F，求线段长度的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，B点坐标为(4,0)，与y轴交于点C(0,4).点D为抛物线上一点

(1)求抛物线的解析式及A点坐标；
(2)若△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；
(3)若△BCD是锐角三角形,请直接写出点D的横坐标m的取值范围 .
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接，．动点P从A点出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．

（1）________，________；
（2）在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．已知抛物线过点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
15．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为．

(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标；
(3)如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标
16．已知抛物线：y＝ax2﹣2ax＋c（a＞0）过点（﹣1，0）与（0，﹣3）．直线y＝x﹣6交x轴、y轴分别于点A、B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上的任意一点．连接PA，PB，使得△PAB的面积最小，求△PAB的面积最小时，P的横坐标；
（3）作直线x＝t分别与抛物线y＝ax2﹣2ax＋c（a＞0）和直线y＝x﹣6交于点E，F，点C是抛物线对称轴上的任意点，若△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，求点C的纵坐标．

17．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c过（﹣1，0）和（0，﹣3）两点，点M（a，y1），N（a＋1，y2）为该抛物线上两点．
(1)抛物线的解析式为 　 　；
(2)过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点Q，当△MNQ为等腰直角三角形时，求a的值；
(3)抛物线在M，N两点之间的部分为图象G（含M，N两点），若图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为h，求h关于a的函数解析式，并直接写出自变量a的取值范围．

1．（1）y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝1；（2）P(1，1)或(1，2)；（3）M(，)或(1＋，)
【解析】
【详解】
解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，3）的坐标代入y＝﹣x2＋bx＋c，得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝﹣＝1．
（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．

∵点D与点C关于对称轴对称，C（0，3），
∴D（2，3），
∵B（3，0），
∴T（，），BD＝，
∵∠NPD＝90°，DT＝TB，
∴PT＝BD＝，
∴（1﹣）2＋（m﹣）2＝（）2，
解得m＝1或2，
∴P（1，1），或（1，2）．
（3）当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），作TJ⊥x轴于点J，设抛物线的对称轴交x轴于E．

∵△BMN是等边三角形，
∴∠NMB＝∠NBM＝60°，
∵∠NBT＝90°，
∴∠MBT＝30°，BT＝BN，
∵∠NMB＝∠MBT＋∠BTM＝60°，
∴∠MBT＝∠BTM＝30°，
∴MB＝MT＝MN，
∵∠NBE＋∠TBJ＝90°，∠TBJ＋∠BTJ＝90°，
∴∠NBE＝∠BTJ，
∵∠BEN＝∠TJB＝90°，
∴△BEN∽△TJB，
∴＝，
∴BJ＝t，TJ＝2，
∴T（3＋t，2），
∵NM＝MT，
∴M（，），
∵点M在y＝﹣x2＋2x＋3上，
∴＝﹣（）2＋2×＋3，
整理得，3t2＋（4＋2）t﹣12＋4＝0，
解得t＝﹣2（舍弃）或，
∴M（，）．
如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．

同法可得T（3﹣n，﹣2），M（，），
则有＝﹣（）2＋2×＋3，
整理得，3n2＋（2﹣4）n﹣12﹣4＝0，
解得n＝（舍弃）或，
∴M（1＋， ），
综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（1＋，）．
2．(1)y＝﹣x2﹣4x+5
(2)N1（﹣5，0），N2（，），N3（，）
(3)F（﹣，﹣）
【解析】
(1)
解：将A（﹣5，0），B（1，0）代入抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣4x+5；
(2)
∵D（﹣2，9），B（1，0），点N是抛物线上的一点且△BDN是以DN为腰的等腰三角形，
∴此题有两种情形：
①当DN＝DB时，根据抛物线的对称性得：A与N重合，
∴N1（﹣5，0），
②方法一：当DN＝BN时（如图1），N在BD的垂直平分线上，

BD的垂直平分线交BD于I，交x轴于点Q，BD与y轴交点为K，
∵∠KBO+∠OKB＝90°，∠KBO+∠IQB＝90°，
∴∠OKB＝∠IQB，
在Rt△OKB中，sin∠OKB＝，
∴sin∠IQB＝＝，
∵I是BD的中点，BD＝3，
∴BI＝，
∴BQ＝15，
∴Q（﹣14，0），I（，）
设yQI＝kx+b，代入得：
，
解得：，
∴yQI＝，
联立得：，
解得：x＝，
∴yQI＝，
N2（，），N3（，），
方法二：如图2，
过点N作DS⊥NT交NT于点S，设N（a，﹣a2﹣4a+5），D（﹣2，9），

∵DN＝DB，
∴DS2+SN2＝NT2+TB2，
∴（﹣2﹣a）2+（9+a2+4a﹣5）2＝（﹣a2﹣4a+5）2+（1﹣a）2，
（2+a）2﹣（1﹣a）2＝（a2+4a﹣5）2﹣（9+a2+4a﹣5）2，
（2+a+1﹣a）（2+a﹣1+a）＝（a2+4a﹣5+a2+4a+4）（a2+4a﹣5﹣a2﹣4a﹣4），
解得：a＝，
把a＝代入﹣a2﹣4a+5＝﹣（）2﹣4（）+5＝，
∴N2（，），N3（，），
综上所述，N1（﹣5，0），N2（，），N3（，）；
(3)
如图1，在AE上取一点F，作AF的垂直平分线交x轴于点M，连接MF，则AM＝MF，在AO上M点的右侧作FG＝MF，

∴∠FGM＝∠FMG，
∴∠EFG＝∠BAE+∠FGM＝∠BAE+∠FMG＝∠BAE+2∠BAE＝3∠BAE，
移动F点，当HG＝2FG时，点F为所求．
过点F作FP垂直于x轴于点P，过点H作HR垂直于x轴于点R，
∴△FPG∽△HRG，
∴＝＝＝，GR＝2PG，HR＝2PF，
设F（m，﹣﹣），
则OP＝﹣m，PF＝+，
HR＝2PF＝m+5，
∵AP＝m+5，
∴AP＝2PF，
∵AM＝AP﹣MP＝2PF﹣MP，MF＝AM，
∴在Rt△PMF中，PM2+PF2＝MF2，PM2+PF2＝（2PF﹣MP）2，
∴PM＝PF＝×＝m+，
∴GP＝m+，
∴GR＝2PG＝m+，
∴PR＝3PG＝3PM，
∴AR＝AP+PR＝AP+3PM＝2PF+3×PF＝＝，
∴OR＝，
∴H（，m+5），
∵B（1，0），D（﹣2，9），
∴BD解析式为：yBD＝﹣3x+3，
把H代入上式并解得：m＝﹣，
再把m＝﹣代入y＝﹣x﹣得：y＝﹣，
∴F（﹣，﹣）．
3．（1）；（2）（6，-7）；（3）PH=或1.5或
【详解】
解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入，得
，解得：，
∴抛物线的解析式是；
（2）令x=0，则y=2，即C（0，2），
∵，，AB2=25，
∴，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°，
∴∠ACO=∠CBA，
在x轴上取点E（2，0），连接CE，如图，
则CE=OE=2，
∴∠OCE=45°，
∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ，
∴CE∥PQ，
∵C（0，2），E（2，0），
∴直线CE的解析式为y=-x+2，
设直线PQ的解析式为y=-x+n，把点A（-1，0）代入，可得n=-1，
∴直线PQ的解析式为y=-x-1，
解方程组，得或，
∴点P的坐标是（6，-7）；

（3）设直线AP交y轴于点G，如图，
∵PH∥y轴，
∴∠PHC=∠OCB，∠FPH=∠CGF，
∴若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形，
∵C（0，2），B（4，0），
∴直线BC的解析式为，
设G（0，m），∵A（-1，0），
∴直线AF的解析式为y=mx+m，
解方程组，得，
∴点F的坐标是，
∴，
当CG=CF时，，解得：（舍去负值），
此时直线AF的解析式为y=x+，
解方程组，得或，
∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），
∴PH=；
当FG=FC时，，解得m=或m=（舍）或m=2（舍），
此时直线AF的解析式为y=x+，
解方程组，得或，
∴点P的坐标是（3，2），此时点H的坐标是（3，），
∴PH=2-=1.5；
当GF=GC时，，解得或m=2（舍去），
此时直线AF的解析式为y=x+，
解方程组，得或，
∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），
∴PH=；

综上，PH=或1.5或．
4．（1）；（2）存在，或；（3）点，最短路程为，理由见详解；（4）存在，当以点Q为直角顶点的等腰时，点或，理由见详解．
【详解】
解：（1）∵，，，
∴，
设二次函数的解析式为，代入点C的坐标可得：，解得：，
∴二次函数的解析式为，即为；
（2）存在以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，理由如下：
由（1）可得抛物线的解析式为，则有对称轴为直线，
设直线BC的解析式为，代入点B、C坐标可得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
∴点，，
∴由两点距离公式可得，
若使以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，则有，
①当时，则有轴，如图所示：

∴点，
②当时，如图所示：

∴，
∴，
∴点；
（3）由题意得：动点G从点D出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知要使点G走过的路程最短则有作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，然后连接HI，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI即为动点G所走过的最短路程，如图所示：

∵OC=8，点D为CO的中点，
∴OD=4，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
设直线HI的解析式为，则把点H、I坐标代入得：，
解得：，
∴直线HI的解析式为，
当y=0时，则有，解得：，
当x=1时，则有，
∴点，
∴点G走过的最短路程为；
（4）存在以点Q为直角顶点的等腰，理由如下：
设点，则有：
①当点Q在第二象限时，存在等腰时，如图所示：

过点Q作QL⊥x轴于点L，过点C作CK⊥QL，交其延长线于点K，如图所示，
∴，
∴四边形COLK是矩形，
∴CK=OL，
∵等腰，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴；
②当点Q在第一象限时，存在等腰时，如图所示：

同理①可得，
解得：（不符合题意，舍去），
∴；
综上所述：当以点Q为直角顶点的等腰时，点或．
5．（1）；（2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；（3）（0，）或（0，1）或（0，-1）
【详解】
解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线，
∴B（4，0），C（0，4），
设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为：y=-x+4，
设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），
∴PQ=-x+4-()==，
∴当x=2时，线段PQ长度最大=4，
∴此时，PQ=CO，
又∵PQ∥CO，
∴四边形OCPQ是平行四边形；
（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，
由（2）得：Q（2，-2），
∵D是OC的中点，
∴D（0，2），
∵QN∥y轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即：，
设E（x，），则，解得：，（舍去），
∴E（5，4），
设F（0，y），则，
，，
①当BF=EF时，，解得：，
②当BF=BE时，，解得：或，
③当EF=BE时，，无解，
综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1）．
．
6．(1)y＝x2+2x﹣1
(2)2
(3)存在，E点坐标为（﹣，2）或（﹣，2﹣4）或（﹣，﹣2﹣4）或（﹣，﹣2）
(1)
解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
(2)
解：令，则，
解得或，
∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（，0），
∴
∵点C是抛物线与y轴的交点，
∴点C的坐标为（0，-1），
∴OC=1，
∴；
(3)
解：设点E的坐标为（，t），
当时，，
∴点D的坐标为（，-4），
△CDE为等腰三角形，分三种情况：
①当CD＝CE时，
∴
解得t＝2或t＝﹣4，
∴E（，2）或E（，﹣4）（此时E与D重合，舍去）；
②当CD＝DE时，
∴
解得或，
∴E（，）或E（，）；
③当CE＝DE时，
∴
解得
∴E（，-2）；
综上所述：得△CDE为等腰三角形时，E点坐标为（，2）或（，）或E（，）或（，-2）．
7．(1)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣3）
(2)t的值为，和
(3)存在，1或4
(1)
解：令y＝0，可得0x2x﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴点A（﹣1，0），点B（4，0），
可得y＝﹣3，
∴点C（0，﹣3）；
(2)
解：∵点A（﹣1，0），点B（4，0），点C（0，﹣3），
∴AB＝5，OB＝4，OC＝3，
∴ ，
当BD＝BE时，则5﹣t＝t，
∴t；
当BE＝DE时，如图1，过点E作EH⊥BD于H，

∴DH＝BHBD，
∵cos∠DBC，
∴，
∴t；
当BD＝DE时，如图2，过点D作DF⊥BE于F，

∴EF＝BFBEt，
∵cos∠DBC，
∴，
∴t，
综上所述：t的值为，和；
(3)
解：∵S△BOCBO×CO＝6，
∴S△BOC，S△BOC，
如图1，过点E作EH⊥BD于H，

∵sin∠DBC，
∴，
∴HEt，
当S△BDES△BOC时，则（5﹣t）t，
∴t1＝1，t2＝4，
当S△BDES△BOC时，则（5﹣t）t，
∴t2﹣5t+16＝0，
∴方程无解，
综上所述：t的值为1或4．
8．（1）；（2），；（3）或或或
【详解】
解：（1）将点、、代入，
得，
解得，
；
（2）如图1，过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，

，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，
；
（3），点在上，
如图2，当时，

过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，
，，
，
，
，即，
，
；
如图3，当时，

过点作轴交于点，
，，
，
，
，即，
，
；
如图4，当时，

线段的中点，，
设，
，
，
或，
或；
综上所述：是直角三角形时，点坐标为或或或．
9．（1）（1，0），（2，-1），；（2）m的值为或；（3）点P的坐标为：（2，1），（2，2）
【详解】
解：（1）∵抛物线的对称轴为x=2，点B坐标为（3，0），且点A在B点的左侧，
∴A（1，0）
又x=
∴
把A（1，0）代入得，
∴抛物线的解析式为
∴顶点D坐标为（2，-1）
故答案为：（1，0），（2，-1），；
（2）∵抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
①当，即时，
解得，（舍去）或
②当时，
解得，或（舍去）
所以，m的值为或
（3）假设存在，设P（2，t）
当时，如图，

过点C作CG⊥PE于点G，则CG=2，PG=3-t


，
∴ ，即
整理得，
解得，，
经检验：，是原方程的根且符合题意，
∴点P的坐标为（2，1），（2，2）
综上，点P的坐标为：（2，1），（2，2）
10．（1）；（2）①，②或
【详解】
（1）当时，抛物线
∵经过原点
∴得，
解得：
（2）①过C点作CN⊥y轴，

；
点，点
∴点C在直线上，M(0，4)，
过作轴于
∵△MDC是直角三角形
∴∠MCD=90°
∴∠MCD=∠CND=∠CNM=90°
∴∠CDM=∠MCN
∴△CDN∽△MCN
∴
即，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
∴此时点D坐标为

②∵，
∴当P=2时，可得
当P=4时，可得
当抛物线经过点时，
，解得
当抛物线经过点时
，解得
当交点在抛物线对称轴左边时，即m＜2时，
可得
又
∴
当交点在抛物线对称轴右边时，即m＞2时，
可得
∴m的取值范围为
或
11．（1）抛物线的解析式；（2）当时，有最大值为2；（3）存在，点P的坐标分别为或．
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为
顶点

把代入解析式得：


抛物线的解析式；
（2）

设，则F的坐标为



当时，有最大值为2；
（3）存在，

①过点A作于点
点在对称轴直线上
设的坐标为
点A的坐标为

点的坐标为
②过点A作于点A，交直线于点
于点A


于点







点在对称轴直线上
设的坐标为



解此方程得：
点的坐标为
综上所述，点P的坐标分别为或．
12．(1)y=x2-5x+4,   A(1,0)；(2)(6,10)或(2,-2)；(3)3+＜m ＜6或 3-＜m ＜2
【详解】
（1）将B（4,0），C（0,4）代入y=x2+bx+c得，
，解得，
所以抛物线的解析式为，
令y=0，得，解得，，
∴A点的坐标为（1,0）
（2）设D点横坐标为，则纵坐标为，
①当∠BCD=90°时，如下图所示，连接BC，过C点作CD⊥BC与抛物线交于点D，过D作DE⊥y轴与点E，

由B、C坐标可知，OB=OC=4，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
又∵∠BCD=90°，
∴∠ECD+∠OCB=90°
∴∠ECD=45°，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴DE=CE=a
∴OE=OC+CE=a+4
由D、E纵坐标相等，可得，
解得，，
当时，D点坐标为（0,4），与C重合，不符合题意，舍去.
当时，D点坐标为（6,10）；
②当∠CBD=90°时，如下图所示，连接BC，过B点作BD⊥BC与抛物线交于点D，过B作FG⊥x轴，再过C作CF⊥FG于F，过D作DG⊥FG于G，

∵∠COB=∠OBF=∠BFC=90°，
∴四边形OBFC为矩形，
又∵OC=OB，
∴四边形OBFC为正方形，
∴∠CBF=45°
∵∠CBD=90°，
∴∠CBF+∠DBG=90°，
∴∠DBG=45°，
∴△DBG为等腰直角三角形，
∴DG=BG
∵D点横坐标为a，
∴DG=4-a，
而BG=
∴
解得，，
当时，D点坐标为（4,0），与B重合，不符合题意，舍去.
当时，D点坐标为（2,-2）；
综上所述，D点坐标为(6,10)或(2,-2).
（3）当BC为斜边构成Rt△BCD时，如下图所示，以BC中点O'为圆心，以BC为直径画圆，与抛物线交于D和D'，

∵BC为圆O'的直径，
∴∠BDC=∠BD'C=90°，
∵，
∴D到O'的距离为圆O'的半径，
∵D点横坐标为m，纵坐标为，O'点坐标为（2,2），
∴
即
化简得：
由图像易得m=0或4为方程的解，则方程左边必有因式，
∴采用因式分解法进行降次解方程

或或，
解得，，，
当时，D点坐标为（0,4），与C点重合，舍去；
当时，D点坐标为（4,0），与B点重合，舍去；
当时，D点横坐标；
当时，D点横坐标为；
结合（2）中△BCD形成直角三角形的情况，
可得△BCD为锐角三角形时，D点横坐标m的取值范围为3+＜m ＜6或 3-＜m ＜2.
13．（1）；（2）当t=2时，四边形BCPQ的面积最小，即为4；（3）
【详解】
解：∵抛物线的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，
∴ ，
解得： ；
（2）由（1）得：抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
∴点C（0,3），
∴OC=3，
∵A点坐标为，
∴OA=3，
∴OA=OC，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
由题意得： ，BQ=t，则OQ=1-t，
∴点Q（-1+t，0），
如图，过点P作PE⊥x轴于点E，

∴∠APE=45°，
∴∠APE=∠OAC，
∴PE=AE，
∵PE2+AE2=AP2，
∴ ，
∴OE=OA-AE=3-t，
∴点E（3-t，0），
∴ ，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， ，
∴0≤t≤3，
∴当t=2时，四边形BCPQ的面积最小，即为4；
（3）存在，理由如下：
假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP，

∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，
∴∠MPF+∠QPE=90°，
又∠MPF+∠PMF=90°，
∴∠PMF=∠QPE，
在△PFM和△QEP中，
∵∠F=∠QEP，∠PMF=∠QPE，PM=PQ，
∴△PFM≌△QEP（AAS），
∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，
∴EF=4-2t+t=4-t，
又OE=3-t，
∴点M的坐标为（3-2t，4-t），
∵点M在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，
解得： 或（舍去），
∴，
即点M的坐标为 ，
∴在线段上方的抛物线上存在点，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．
14．（1）；（2）①1；②点C的坐标是
【详解】
解：（1）将两点分别代入，得
解得．
所以抛物线的解析式是．
（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，，
作于H．
∵是等腰直角三角形，
∴和也是等腰直角三角形，
∴，
∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1．

②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由，得
解得
∴直线的解析式为，
设，
∴，
所以．
所以．
将点代入，
得．
整理，得．
因式分解，得．
解得，或（与点P重合，舍去）．
当时，．
所以点C的坐标是．
15．(1)；
(2)，；
(3)，；，；，；，； ，；，．
(1)
解：∵顶点D的坐标为（1，﹣4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，
得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
(2)
解：∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（﹣1，0），
∴B（3，0），
设直线BD解析式为y＝kx+e，
∵B（3，0），D（1，﹣4），
∴，
解得：，
∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，
过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，
设直线CP1的解析式为y＝2x+d，将C（0，﹣3）代入，
得﹣3＝2×0+d，
解得：d＝﹣3，
∴直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，
结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝2x﹣3，
解得：x1＝0（舍），x2＝4，
故P1（4，5），
过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，
∵OB＝OC，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，
∴四边形OBGC是正方形，
设CP1与x轴交于点E，则2x﹣3＝0，
解得：x＝，
∴E（，0），
在x轴下方作∠BCF＝∠BCE交BG于点F，
∵四边形OBGC是正方形，
∴OC＝CG＝BG＝3，∠COE＝∠G＝90°，∠OCB＝∠GCB＝45°，
∴∠OCB﹣∠BCE＝∠GCB﹣∠BCF，
即∠OCE＝∠GCF，
∴△OCE≌△GCF（ASA），
∴FG＝OE＝，
∴BF＝BG﹣FG＝3﹣＝，
∴F（3，﹣），
设直线CF解析式为y＝k1x+e1，
∵C（0，﹣3），F（3，﹣），
∴，
解得：，
∴直线CF解析式为y＝x﹣3，
结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝x﹣3，
解得：x1＝0（舍），x2＝，
∴P2（，﹣），
综上所述，符合条件的P点坐标为：（4，5）或（，﹣）；

(3)
解：（3）设直线AC解析式为y＝m1x+n1，直线BC解析式为y＝m2x+n2，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴直线BC解析式为y＝x﹣3，
设M（t，t﹣3），则N（t，t2﹣2t﹣3），
∴MN＝|t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2﹣3t|，
①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠NMQ＝90°，MN＝MQ，如图2，
∵MQ∥x轴，
∴Q（﹣t，t﹣3），
∴|t2﹣3t|＝|t﹣（﹣t）|，
∴t2﹣3t＝±t，
解得：t＝0（舍）或t＝或t＝，
∴，；，；
②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ＝90°，MN＝NQ，如图3，
∵NQ∥x轴，
∴Q（，t2﹣2t﹣3），
∴NQ＝|t﹣|＝|t2+t|，
∴|t2﹣3t|＝|t2+t|，
解得：t＝0（舍）或t＝5或t＝2，
∴M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；
③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，
此时∠MQN＝90°，MQ＝NQ，如图4，
过点Q作QH⊥MN于H，则MH＝HN，
∴H（t，），
∴Q（，），
∴QH＝|t﹣|＝|t2+5t|，
∵MQ＝NQ，
∴MN＝2QH，
∴|t2﹣3t|＝2×|t2+5t|，
解得：t＝7或1，
∴M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）；
综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：
，；，；M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）．



16．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）-3或-4
【详解】
解：（1）将点（﹣1，0）、（0，﹣3）分别代入y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）得，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）对直线y＝x﹣6，当x＝0时，y＝﹣6，当y＝0时，x＝6，
∴A（6，0），B（0，﹣6），
过点P作x轴的垂线交直线AB于点D，连接PA和PB，如图，

设P（x，x2﹣2x﹣3），则D（x，x﹣6），
∴PD＝x2﹣2x﹣3﹣（x﹣6）＝x2﹣3x+3，
∴S△PAB＝S△PBD+S△PAD＝•x•PD+•（6﹣x）•PD
＝3（x2﹣3x+3）＝，
∴x＝时，S△PAB有最小值，
∴△PAB的面积最小时，点P的横坐标为．
（3）由题意可设，E（m，m2﹣2m﹣3），F（m，m﹣6），
∴EF＝m2﹣2m﹣3﹣（m﹣6）＝m2﹣3m+3，
由y＝x2﹣2x﹣3可知抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，点C在抛物线对称轴上，
∴点C的横坐标为1，m≠1，
当点E为直角顶点时，CE＝EF，C（1，m2﹣2m﹣3），
∴CE＝|m﹣1|，
∴|m﹣1|＝m2﹣3m+3，
①或②
解①得：m＝2，方程②无解
∴点C的纵坐标为22﹣2×2﹣3＝﹣3；
当点F为直角顶点时，CF＝EF，C（1，m﹣6），
∴CF＝|m﹣1|，
∴|m﹣1|＝m2﹣3m+3，
①或②
解①得：m＝2，方程②无解
∴点C的纵坐标为2﹣6＝﹣4；
综上所述，点C的纵坐标为﹣3或﹣4．
17．(1)y＝x2﹣2x﹣3
(2)1或0
(3)h＝
(1)
解：∵抛物线过和两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
故答案为：；
(2)
解：∵轴，轴，
如图所示：

∴，
，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∴a的值为1或0；
(3)
解：∵，抛物线开口向上，对称轴为直线，
①当点M，N在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，此时，
∴，
∴，
②当点M，N在对称轴左右两侧时，
若，则，
∴，
此时最低点为顶点，最低点的纵坐标为﹣4．
当时，最高点为M，
∴，
当时，最高点为N，
∴；
③当点M，N在对称轴右侧时，此时，y随x的增大而增大，
∴；
综上所述可得：
．