高中数学第4章 数列4.3 等比数列说课课件ppt

这是一份高中数学第4章 数列4.3 等比数列说课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了学习目标，随堂演练，课时对点练，内容索引，an＝fn，证明等比数列的方法，an－1an＋1，a1qn－1，1求a1a2，证明当n≥2时等内容，欢迎下载使用。

1.体会等比数列与指数函数的关系.2.掌握等比数列的判断及证明方法.3.掌握等比数列中的项的设法.
一、等比数列的通项公式与函数的关系
二、等比数列的判定与证明
三、等比数列中项的设法
问题1　观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
等比数列的通项公式与指数型函数的关系(1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝ ·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即 .(2)任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)，则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为 ，公比为 .
例1　已知数列 是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是数列 是递增数列”的A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件
延伸探究　1.若 为等比数列，则“a12.设 是等比数列，则“a1反思感悟　判断等比数列的单调性的方法(1)当q>1，a1>0或01，a1<0或00时，{an}是递减数列.(3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列.
解析　∵a4·a17＝6，a4＋a17＝5，∴a4与a17为方程x2－5x＋6＝0的两个根，解得a4＝2，a17＝3或a4＝3，a17＝2，∵an>an＋1，∴a4＝3，a17＝2，
问题2　若数列 的前三项成等比数列，能说明这个数列是等比数列吗？
提示　不能，要证明一个数列是等比数列，一定要体现出任意性.
3.通项公式法：an＝ .
(2)求证：数列{an}是等比数列.
反思感悟　判断一个数列是等比数列的常用方法
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列.(3)等比中项法：若 ＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列.
得(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
例3　有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数.
所以a3＝216.所以a＝6.
由题意知第4个数为12q－6.所以6＋6q＋12q－6＝12，
故所求的四个数为9,6,4,2.
方法二　设后三个数为4－d,4,4＋d，
解得4－d＝6.所以d＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.
反思感悟　几个数成等比数列的设法
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.
跟踪训练3　有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是______.
解析　设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列.
解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.
1.知识清单：(1)等比数列与函数的关系.(2)等比数列的判定与证明.(3)等比数列中项的设法.2.方法归纳：定义法、分类讨论.3.常见误区：四个数成等比数列时设成 aq，aq3，未考虑公比为负的情况.
1.已知等比数列 的公比为q，首项a1>0，则“q<1”是“等比数列为递减数列”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
若a1>0，则an＝a1qn－1>0，由an＋12.在数列 中，如果an＝32－n(n＝1,2,3，…)，那么这个数列是A.公比为2的等比数列 B.公差为3的等差数列C.首项为3的等比数列 D.首项为3的等差数列
解析　因为an＝32－n(n＝1,2,3，…)，
3.在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于A.(－2)n－1 B.－(－2)n－1C.(－2)n D.－(－2)n
解析　设公比为q，则a1q4＝－8a1q，又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，从而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1.
A.递增数列 B.递减数列C.常数列 D.摆动数列
解析　由公比q<0可知，该等比数列是摆动数列.
A.－2 B.2 C.4 D.－4
解析　由an＋1＋2an＝0知an＋1＝－2an，
A.an＝2n B.an＝2n－1C.an＝n D.无法确定
首项a1＝1，公比q＝2，所以an＝2n－1.
4.等比数列 不具有单调性，且a5是a4和3a3的等差中项，则数列 的公比q等于A.－1 B.1 C.－2 D.－3
解析　∵a5是a4和3a3的等差中项，∴2a5＝a4＋3a3，得2a1q4＝a1q3＋3a1q2，
A.22n－1 B.2n C.22n＋1 D.22n－3
得(an＋1－4an)·(an＋1＋an)＝0.又{an}是正项数列，
由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式，得an＝2×4n－1＝22n－1.
6.(多选)设等比数列 的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1， <0.则下列结论正确的是A.01C.a8>1 D.Tn的最大项为T7
∴a7>1,0解析　因为an＋1＝3an且a1＝2，
所以an＝2×3n－1.
8.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为______.
9.有四个数，前三个数成等差数列，它们的和为12，后三个数成等比数列，它们的和为19，求这四个数.
解　由于前三个数成等差数列，且它们的和为12，则第二个数为4，设前三个数分别为4－d,4,4＋d，由于后三个数成等比数列，
整理得d2＋12d－28＝0，解得d＝2或d＝－14.若d＝2，则这四个数分别为2,4,6,9；若d＝－14，则这四个数分别为18,4，－10,25.因此，这四个数分别为2,4,6,9或18,4，－10,25.
10.已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列.
证明　由已知，得2a2＝a1＋a3， ①
即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3).
又a1，a3，a5均不为0，∴a1，a3，a5成等比数列.
11.等比数列{an}的公比|q|>1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18,36,81}中，则q等于
解析　∵{an}中的项必然有正有负，∴q<0.又|q|>1，∴q<－1.由此可得{an}的连续四项为－24,36，－54,81.
令y＝lgax，可得x＝ay，故对A，有an＝ ，非等比数列；对B，an＝ ，非等比数列；对C，an＝ ，为等比数列；对D，an＝ ，非等比数列.
13.在等比数列 中，首项a1<0，则 是递增数列的充要条件是公比q满足A.q>1 B.q<1 C.0则此时公比q满足0＜q＜1；再证充分性：∵a1<0,014.在各项为正的递增等比数列 中，a1a2a6＝64，a1＋a3＋a5＝21，则an＝_______.
∵a1＋a3＋a5＝21，
∴q＝2，∴an＝a3qn－3＝4×2n－3＝2n－1.
15.已知数列 的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn，若an∈(0,2 022)，则称项an为“和谐项”，则数列 的所有“和谐项”的项数为A.10 B.11 C.12 D.13
解析　由a1＝1，an＋1＝Sn，可得a2＝S1＝a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－1，又由an＋1＝Sn，两式相减，可得an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，即an＋1＝2an，
又由an∈(0,2 022)，即2n－2<2 022，可得n<13，n∈N*，所以“和谐项”共有12项.
16.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；
解　设数列{an}的公比为q.由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1.由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2，