苏教版 (2019)选择性必修第一册3.2 双曲线第2课时教案

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册3.2 双曲线第2课时教案，共13页。教案主要包含了双曲线方程的设法， 双曲线定义的应用，直线与双曲线的位置关系等内容，欢迎下载使用。
一、双曲线方程的设法
例1 (1)与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，且经过点(3eq \r(2)，2)；
(2)过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(15,4)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16,3)，5))且焦点在坐标轴上．
解 (1)方法一 ∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.①
∵双曲线经过点(3eq \r(2)，2)，
∴eq \f(18,a2)－eq \f(4,b2)＝1.②
由①②得a2＝12，b2＝8，
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1.
方法二 设所求双曲线的方程为eq \f(x2,16－λ)－eq \f(y2,4＋λ)＝1(－41)
答案 B
解析 PM－PN＝BM－BN＝21)．
4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2，则cs∠F1PF2等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(3,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,5)
答案 C
解析 由双曲线的定义知，PF1－PF2＝2eq \r(2)，
又PF1＝2PF2，
所以PF2＝2eq \r(2)，PF1＝4eq \r(2)，F1F2＝2c＝2eq \r(a2＋b2)＝4.
所以cs∠F1PF2＝eq \f(PF\\al(2,1)＋PF\\al(2,2)－F1F\\al(2,2),2PF1·PF2)
＝eq \f(32＋8－16,2×4\r(2)×2\r(2))＝eq \f(24,32)＝eq \f(3,4).
5．已知F是双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为( )
A．5 B．6 C．8 D．9
答案 D
解析 对于双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1，a＝2，b＝2eq \r(3)，c＝4，如图所示，
设双曲线的右焦点为M，则M(4,0)，
由双曲线的定义可得PF－PM＝4，
则PF＝4＋PM，
所以PF＋PA＝PM＋PA＋4≥AM＋4＝eq \r(1－42＋4－02)＋4＝9，
当且仅当A，P，M三点共线时，等号成立．
因此PF＋PA的最小值为9.
6.若A，B，C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6 km，C在A的北偏东30°，两地相距4 km，在某一时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为1 km/s,4 s后A，C两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点P的坐标是( )
A．(8,5eq \r(3)) B．(－8,5eq \r(3))
C．(8，－5eq \r(3)) D．(－8，－5eq \r(3))
答案 B
解析 由题意知，点A(3,0)，B(－3,0)，C(5,2eq \r(3))，
则线段AC的中点为(4，eq \r(3))，
直线AC的斜率kAC＝eq \f(2\r(3),5－3)＝eq \r(3)，
所以线段AC的垂直平分线的斜率k＝－eq \f(\r(3),3)，
所以线段AC的垂直平分线的方程为y－eq \r(3)＝－eq \f(\r(3),3)(x－4)，
即y＝－eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(7\r(3),3)，
设P(x，y)，由PA＝PC可得点P在线段AC的垂直平分线上，
又PA－PB＝42)．
10．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
解 双曲线方程可化为x2－eq \f(y2,3)＝1，
故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，
∴c＝2.∴F2(2,0)，又直线l的倾斜角为45°，
∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直线l的方程为y＝x－2，
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵x1·x2＝－eq \f(7,2)2c＝10>PF2＝eq \f(13,3).且cs∠PF2F1＝eq \f(PF\\al(2,2)＋F1F\\al(2,2)－PF\\al(2,1),2PF2·F1F2)＝－eq \f(5,13)1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足PF1＋PF2＝2eq \r(n＋2)，则△PF1F2的面积为( )
A．1 B.eq \f(1,2) C．2 D．4
答案 A
解析 设点P在双曲线的右支上，
则PF1－PF2＝2eq \r(n)，已知PF1＋PF2＝2eq \r(n＋2)，
解得PF1＝eq \r(n＋2)＋eq \r(n)，PF2＝eq \r(n＋2)－eq \r(n)，
PF1·PF2＝2.又F1F2＝2eq \r(n＋1)，
则PFeq \\al(2,1)＋PFeq \\al(2,2)＝F1Feq \\al(2,2)，
所以△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°，
于是＝eq \f(1,2)PF1·PF2＝eq \f(1,2)×2＝1.
15.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线C′：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为________．
答案 2k(a－m)
解析 光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图，
BF2＝2m＋BF1，
BF1＋BA＋AF1＝BF2－2m＋BA＋AF1＝AF2＋AF1－2m＝2a－2m，
所以光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k(a－m)．
16．已知△ABC的一边的两个顶点B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形．
解 设顶点A的坐标为(x，y)，则
kAB＝eq \f(y,x＋a)，kAC＝eq \f(y,x－a).
由题意，得eq \f(y,x＋a)·eq \f(y,x－a)＝m，
即eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,ma2)＝1(y≠0)．
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
当m