高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第3章 圆锥曲线与方程3.1 椭圆第1课时教案

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第3章 圆锥曲线与方程3.1 椭圆第1课时教案，共12页。教案主要包含了椭圆的定义，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系等内容，欢迎下载使用。
§3.1 椭 圆
3．1.1 椭圆的标准方程
第1课时 椭圆的标准方程
学习目标 1.理解并掌握椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程的推导.3.会求简单的椭圆的标准方程.4.会判断直线与椭圆的位置关系．
导语
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？
一、椭圆的定义
问题1 在画板上取两个定点F1和F2，把一条长度为定值且大于F1F2的细绳的两端固定在F1，F2两点，如图，用笔尖把细绳拉紧并使笔尖在画板上移动一周，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示 椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数．
知识梳理
椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆(ellipse)，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点(fcus)，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距(fcal distance)．
注意点：
(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．
(2)定值必须大于两定点的距离．
(3)当距离的和等于F1F2时，点的轨迹是线段．
(4)当距离的和小于F1F2时，点的轨迹不存在．
例1 命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a>0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则PA＋PB＝2a(a>0，常数)，∴甲是乙的必要条件．
反过来，若PA＋PB＝2a(a>0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．
这是因为仅当2a>AB时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝AB时，P点轨迹是线段AB；当2a0，所以可设a2－c2＝b2(b>0)，
于是得b2x2＋a2y2＝a2b2，两边同除以a2b2，得eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1.
由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x，y)都满足上面这个方程，可以证明以上面这个方程的解为坐标的点(x，y)都在已知的椭圆上．
这样，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)的椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
类似地，在如图所示的直角坐标系中，我们可以得到焦点F1(0，－c)，F2(0，c)的椭圆的方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．以上两种方程都叫作椭圆的标准方程．
知识梳理
椭圆的标准方程
注意点：
焦点位置由a2，b2的大小确定．
例2 根据下列条件，求椭圆的标准方程．
(1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26；
(2)经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上；
(3)椭圆的焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝eq \r(6).
解 (1)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5.
∴b2＝a2－c2＝144.
∴所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,169)＋eq \f(x2,144)＝1.
(2)设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
∵焦点在x轴上，2c＝2，∴a2＝b2＋1，
又椭圆经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，
∴eq \f(1,b2＋1)＋eq \f(\f(9,4),b2)＝1，解得b2＝3，∴a2＝4.
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(3)∵c＝eq \r(6)，∴a2－b2＝c2＝6.①
又由a∶b＝2∶1，得a＝2b，代入①得4b2－b2＝6，
∴b2＝2，∴a2＝8.
又∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.
反思感悟 利用待定系数法求椭圆的标准方程
(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．
提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论．
跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在x轴上，且a＝4，c＝2；
(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(5,2))).
解 (1)∵a2＝16，c2＝4，∴b2＝16－4＝12，
且焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
(2)椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义，知2a＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋2))2)＋eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－2))2)＝eq \f(3\r(10),2)＋eq \f(\r(10),2)＝2eq \r(10)，
∴a＝eq \r(10).
又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.
∴椭圆的标准方程为eq \f(y2,10)＋eq \f(x2,6)＝1.
三、直线与椭圆的位置关系
知识梳理
直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程：
注意点：
设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况．
例3 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点？
解 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x＋m， ①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1， ②))
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③
关于x的一元二次方程的判别式
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)由Δ>0，得－3eq \r(2)0.又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以eq \f(π,4)0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ