高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.1 直线的斜率与倾斜角教案

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.1 直线的斜率与倾斜角教案，共12页。教案主要包含了直线的斜率，直线的倾斜角等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．
导语
我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数多条直线a，b，c，…我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？
一、直线的斜率
问题1 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝eq \f(上升高度,水平距离)＝eq \f(DB,AD).若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？
提示 坡度越大道路越陡峭，坡度越小道路越平坦．
问题2 若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当x1≠x2时，你能用一个量反应直线l的倾斜程度吗？
提示 可以用eq \f(y2－y1,x2－x1)的符号及大小反应直线l的倾斜程度．
问题3 运用k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)计算直线AB的斜率时，需要考虑A，B的顺序吗？
提示 kAB＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝kBA＝eq \f(y1－y2,x1－x2)，所以直线AB的斜率与A，B两点的顺序无关．
知识梳理
对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
(1)如果x1≠x2：
①由相似三角形的知识可知，eq \f(y2－y1,x2－x1)是一个定值，我们将其称为直线l的斜率．k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)．
②直线的斜率也可以看作k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(纵坐标的增量,横坐标的增量)＝eq \f(Δy,Δx).
(2)如果x1＝x2，那么直线l的斜率不存在．
注意点：
直线与x轴垂直时，斜率不存在，不能用斜率公式．
例1 如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)．
(1)试计算直线l1，l2，l3的斜率；
(2)若还存点Q4(a,3)，试求直线PQ4的斜率．
解 (1)由已知得，直线l1，l2，l3的斜率都存在．
设它们的斜率分别为k1，k2，k3.
则由斜率公式得k1＝eq \f(－1－2,－2－3)＝eq \f(3,5)，
k2＝eq \f(－2－2,4－3)＝－4，
k3＝eq \f(2－2,－3－3)＝0.
(2)当a＝3时，直线PQ4与x轴垂直，此时其斜率不存在．
当a≠3时，其斜率k＝eq \f(3－2,a－3)＝eq \f(1,a－3).
反思感悟 (1)若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”．
(2)由例题中图可以看出：①当直线的斜率为正时(l1)，直线从左下方向右上方倾斜；②当直线的斜率为负时(l2)，直线从左上方向右下方倾斜；③当直线的斜率为0时(l3)，直线与x轴平行或重合．
跟踪训练1 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．
(1)A(2,3)，B(4,5)；
(2)C(－2,3)，D(2，－1)；
(3)P(－3,1)，Q(－3,10)；
(4)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率．
解 (1)存在．直线AB的斜率kAB＝eq \f(5－3,4－2)＝1.
(2)存在．直线CD的斜率kCD＝eq \f(－1－3,2－－2)＝－1.
(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，
所以直线PQ的斜率不存在．
(4)当a＝3时，斜率不存在；
当a≠3时，直线的斜率k＝eq \f(4,3－a).
二、直线的倾斜角
知识梳理
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角．
(2)当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为0.
(3)倾斜角α的范围为[0，π)．
2．直线的倾斜角与斜率
一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则：
(1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝0°.
(2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝90°.
(3)当x1≠x2且y1≠y2时，tan θ＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
例2 (1)(多选)下列命题中，正确的是( )
A．任意一条直线都有唯一的倾斜角
B．一条直线的倾斜角可以为－30°
C．倾斜角为0°的直线有无数条
D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)
答案 AC
解析 任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确．
D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误．
(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为( )
A．α＋45° B．α－135°
C．135°－α D．α－45°
答案 AB
解析 根据题意，画出图形，如图所示．
通过图象可知，
当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
反思感悟 直线倾斜角的概念和范围
(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
(2)注意倾斜角的范围．
跟踪训练2 已知直线l1的倾斜角为α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，如图所示，求直线l2的倾斜角．
解 ∵l1与l2向上的方向之间所成的角为120°，l2与x轴交于点B，
∴倾斜角∠ABx＝120°＋15°＝135°.
三 、倾斜角和斜率的应用
问题4 当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？为什么？
提示 当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大．
知识梳理
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
注意点：
正切函数在[0，π)上不单调．
例3 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
解 如图，由题意可知kPA＝eq \f(4－0,－3－1)＝－1，
kPB＝eq \f(2－0,3－1)＝1，
(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
反思感悟 倾斜角和斜率的应用
(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．
(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解．
跟踪训练3 已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
解 (1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝eq \f(2－3,－4－3)＝eq \f(1,7).直线AC的斜率kAC＝eq \f(－2－3,0－3)＝eq \f(5,3).故直线AB的斜率为eq \f(1,7)，直线AC的斜率为eq \f(5,3).
(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,7)，\f(5,3))).
1．知识清单：
(1)直线斜率的定义和斜率公式．
(2)直线的倾斜角及其范围．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清．
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B．若k是直线的斜率，则k∈R
C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
答案 ABC
2．若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于( )
A．2 B．1 C．－1 D．－2
答案 A
解析 由题意知，tan 45°＝eq \f(2－3,1－m)，得m＝2.
3．若A(2,3)，B(3,2)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，m))三点共线，则实数m的值为________．
答案 eq \f(9,2)
解析 设直线AB，BC的斜率分别为kAB·kBC，则由斜率公式，得kAB＝eq \f(3－2,2－3)＝－1，kBC＝eq \f(m－2,\f(1,2)－3)＝－eq \f(2,5)(m－2)．
∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，
即－1＝－eq \f(2,5)(m－2)，解得m＝eq \f(9,2).
4．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1)
答案 0°<α≤90°
解析 当m＝1时，倾斜角α＝90°；当m>1时，tan α＝eq \f(3－2,m－1)>0，∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.
课时对点练
1．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是( )
A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0)
C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5)
答案 D
解析 D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在．
2．(多选)已知直线斜率的绝对值为eq \r(3)，则直线的倾斜角可以为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 BC
解析 由题意得直线的斜率为eq \r(3)或－eq \r(3)，故直线的倾斜角为60°或120°.
3．已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为( )
A．－1 B．1 C．2 D.eq \f(4,3)
答案 D
解析 由eq \f(m－－2,3－m)＝2，得m＝eq \f(4,3).
4．若某直线的斜率k∈(－∞，eq \r(3)]，则该直线的倾斜角α的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))
答案 C
解析 ∵直线的斜率k∈(－∞，eq \r(3)]，
∴k≤tan eq \f(π,3)，
∴该直线的倾斜角α的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).
5．若A(－2,3)，B(3,2)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，m))三点共线，则实数m的值为( )
A．2 B．－2 C.eq \f(5,2) D．－eq \f(1,2)
答案 C
解析 因为A(－2,3)，B(3,2)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，m))三点共线，
所以kAB＝kAC，
即eq \f(3－2,－2－3)＝eq \f(3－m,－2－\f(1,2))，
所以－eq \f(1,5)＝eq \f(3－m,－\f(5,2))，解得m＝eq \f(5,2).
6．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．[0,2] B．[0,1]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))
答案 A
解析 如图所示，当直线l在l1的位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2的位置时，k＝eq \f(2－0,1－0)＝2，故直线l的斜率的取值范围是[0,2]．
7．已知点A(1,2)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为________．
答案 (3,0)或(0,3)
解析 由题意知，kPA＝－1，
若点P在x轴上，设点P的坐标为P(m,0)(m≠1)，
则eq \f(0－2,m－1)＝－1，
解得m＝3，即P(3,0)．
若点P在y轴上，设点P的坐标为P(0，n)，
则eq \f(n－2,0－1)＝－1，
解得n＝3，即P(0,3)．
综上，点P的坐标为(3,0)或(0,3)．
8．若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是________．
答案 (－2,1)
解析 由题意知，kAB＝eq \f(2t－1＋t,3－1－t)＝eq \f(t－1,t＋2).
因为直线的倾斜角为钝角，
所以kAB＝eq \f(t－1,t＋2)<0，
解得－29．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时：
(1)直线l与x轴平行？
(2)直线l与y轴平行？
(3)直线l的方向向量的坐标为(3,1)?
(4)直线的倾斜角为45°？
(5)直线的倾斜角为锐角？
解 (1)若直线l与x轴平行，
则直线l的斜率k＝0，
∴m＝1.
(2)若直线l与y轴平行，
则直线l的斜率不存在，
∴m＝－1.
(3)直线l的方向向量的坐标为(3,1)，故k＝eq \f(1,3)，
即eq \f(1－m,m＋1)＝eq \f(1,3)，解得m＝eq \f(1,2).
(4)由题意可知，直线l的斜率k＝1，
即eq \f(m－1,－1－m)＝1，解得m＝0.
(5)由题意可知，直线l的斜率k>0，
即eq \f(m－1,－1－m)>0，
解得－110.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．
解 在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，
所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，
所以kOD＝kBC＝tan 60°＝eq \r(3).
因为CD∥OB，且OB在x轴上，
所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，
所以kOB＝kCD＝0，
由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，
所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，
所以kOC＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，kBD＝tan 120°＝－eq \r(3).
11．如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 B
解析 设A(a，b)是直线l上任意一点，
则平移后得到点A ′(a－2，b＋2)，
于是直线l的斜率k＝kAA′＝eq \f(b＋2－b,a－2－a)＝－1.
12．已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(k\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,4)2或k<\f(3,4)))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(k\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(k>\f(3,4))))) D．{k|k<2}
答案 A
解析 ∵kAP＝eq \f(3－1,2－1)＝2，kBP＝eq \f(－2－1,－3－1)＝eq \f(3,4)，如图，
∵直线l与线段AB始终没有交点，
∴斜率k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，2)).
13．已知直线l的倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，则直线l的斜率的取值范围是________．
答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析 当倾斜角α＝eq \f(π,2)时，l的斜率不存在；
当α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，l的斜率k＝tan α∈[1，＋∞)；
当α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))时，l的斜率k＝tan α∈(－∞，－1]．
综上，直线l的斜率的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
14．已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一象限，∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为________．
答案 eq \f(\r(3),3)或－eq \r(3)
解析 设直线AB与x轴的交点为C，(图略)
则∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－105°＝30°，
或∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－75°＝60°.
所以kAB＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)或kAB＝tan 120°＝－eq \r(3).
15．已知函数f(x)＝lg3(x＋2)，若a>b>c>0，则eq \f(fa,a)，eq \f(fb,b)，eq \f(fc,c)的大小关系为( )
A.eq \f(fc,c)C.eq \f(fc,c)答案 B
解析 作出函数f(x)＝lg3(x＋2)的大致图象，如图所示．
由图象可知，y轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>b>c>0，所以eq \f(fa,a)16．已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求eq \f(y－1,x－2)的取值范围．
解 eq \f(y－1,x－2)的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率．
因为点M在函数x＋2y＝6的图象上，且1≤x≤3，
所以可设该线段为AB，且Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(3,2)))，
又kNA＝－eq \f(3,2)，kNB＝eq \f(1,2)，
所以eq \f(y－1,x－2)的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).α的大小
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k的范围
k＝0
k>0
不存在
k<0
k的增减性
随α的增大而增大
随α的增大而增大