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    第3章 §3.1 3.1.1 第2课时 椭圆的标准方程的综合问题教案

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    2021学年3.1 椭圆第2课时教案及反思

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    这是一份2021学年3.1 椭圆第2课时教案及反思,共14页。教案主要包含了椭圆方程的设法,椭圆定义的应用,与椭圆有关的轨迹问题等内容,欢迎下载使用。
    一、椭圆方程的设法
    例1 求下列椭圆的方程.
    (1)过(-3,2)且与eq \f(x2,9)+eq \f(y2,4)=1有相同的焦点;
    (2)经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3),\f(1,3))),Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,-\f(1,2))).
    解 (1)方法一 由方程eq \f(x2,9)+eq \f(y2,4)=1可知,其焦点的坐标为(±eq \r(5),0),即c=eq \r(5).
    设所求椭圆方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0),则a2=b2+5,因为过点(-3,2),代入方程为eq \f(9,a2)+eq \f(4,a2-5)=1(a>b>0),
    解得a2=15(a2=3舍去),b2=10,
    故椭圆的标准方程为eq \f(x2,15)+eq \f(y2,10)=1.
    方法二 设椭圆方程为eq \f(x2,9+m)+eq \f(y2,4+m)=1(m>-4).
    将点(-3,2)代入方程得eq \f(9,9+m)+eq \f(4,4+m)=1,解得m=6.
    故椭圆的标准方程为eq \f(x2,15)+eq \f(y2,10)=1.
    (2)方法一 ①当椭圆的焦点在x轴上时,
    设标准方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0),
    依题意,有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,a2)+\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,b2)=1,,0+\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)))2,b2)=1,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2=\f(1,5),,b2=\f(1,4),))
    因为a>b>0,所以方程组无解.
    ②当椭圆的焦点在y轴上时,
    设标准方程为eq \f(y2,a2)+eq \f(x2,b2)=1(a>b>0),
    依题意,有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,a2)+\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,b2)=1,,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)))2,a2)+0=1,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2=\f(1,4),,b2=\f(1,5),))
    所以所求方程为eq \f(y2,\f(1,4))+eq \f(x2,\f(1,5))=1.
    方法二 设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n),
    依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,9)m+\f(1,9)n=1,,\f(1,4)n=1,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m=5,,n=4,))
    故所求方程为5x2+4y2=1,即eq \f(y2,\f(1,4))+eq \f(x2,\f(1,5))=1.
    反思感悟 求椭圆方程时,如果明确椭圆的焦点在x轴上,那么设所求的椭圆方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0);
    如果明确椭圆的焦点在y轴上,那么设所求的椭圆方程为eq \f(y2,a2)+eq \f(x2,b2)=1(a>b>0);
    如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上,还是在y轴上,那么方程可以设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),进而求解.
    跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
    (1)经过两点(2,-eq \r(2)),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,\f(\r(14),2)));
    (2)过点(eq \r(3),-eq \r(5)),且与椭圆eq \f(y2,25)+eq \f(x2,9)=1有相同的焦点.
    解 (1)方法一 (分类讨论法)若焦点在x轴上,
    设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0).
    由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)+\f(2,b2)=1,,\f(1,a2)+\f(14,4b2)=1,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2=8,,b2=4.))
    所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)+eq \f(y2,4)=1.
    若焦点在y轴上,
    设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)+eq \f(x2,b2)=1(a>b>0).
    由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,b2)+\f(2,a2)=1,,\f(1,b2)+\f(14,4a2)=1,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b2=8,,a2=4.))
    则a2b>0矛盾,舍去.
    综上,所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)+eq \f(y2,4)=1.
    方法二 (待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).将两点(2,-eq \r(2)),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,\f(\r(14),2)))代入,得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4A+2B=1,,A+\f(14,4)B=1,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A=\f(1,8),,B=\f(1,4),))
    所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)+eq \f(y2,4)=1.
    (2)方法一 因为所求椭圆与椭圆eq \f(y2,25)+eq \f(x2,9)=1的焦点相同,所以其焦点在y轴上,且c2=25-9=16.
    设它的标准方程为eq \f(y2,a2)+eq \f(x2,b2)=1(a>b>0).
    因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=16.①
    又点(eq \r(3),-eq \r(5))在椭圆上,所以eq \f(-\r(5)2,a2)+eq \f(\r(3)2,b2)=1,
    即eq \f(5,a2)+eq \f(3,b2)=1.②
    由①②得b2=4,a2=20,
    所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)+eq \f(x2,4)=1.
    方法二 设椭圆方程为eq \f(y2,25+m)+eq \f(x2,9+m)=1(m>-9),
    将(eq \r(3),-eq \r(5))代入方程,解得m=-5,
    ∴椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)+eq \f(x2,4)=1.
    二、椭圆定义的应用
    例2 设P是椭圆eq \f(x2,25)+eq \f(y2,\f(75,4))=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,若∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
    解 由椭圆方程知,a2=25,b2=eq \f(75,4)∴c2=eq \f(25,4),
    ∴c=eq \f(5,2),2c=5.
    在△PF1F2中,
    F1Feq \\al(2,2)=PFeq \\al(2,1)+PFeq \\al(2,2)-2PF1·PF2cs 60°,
    即25=PFeq \\al(2,1)+PFeq \\al(2,2)-PF1·PF2.①
    由椭圆的定义,得10=PF1+PF2,
    即100=PFeq \\al(2,1)+PFeq \\al(2,2)+2PF1·PF2.②
    由②-①,得3PF1·PF2=75,
    所以PF1·PF2=25,
    所以=eq \f(1,2)PF1·PF2·sin 60°=eq \f(25\r(3),4).
    延伸探究
    1.将本例中的“∠F1PF2=60°”改为“∠F1PF2=30°”,其余条件不变,求△F1PF2的面积.
    解 由椭圆方程知,a2=25,b2=eq \f(75,4),
    ∴c2=eq \f(25,4),
    ∴c=eq \f(5,2),2c=5.
    在△PF1F2中,
    F1Feq \\al(2,2)=PFeq \\al(2,1)+PFeq \\al(2,2)-2PF1·PF2·cs 30°,
    即25=PFeq \\al(2,1)+PFeq \\al(2,2)-eq \r(3)PF1·PF2.①
    由椭圆的定义得10=PF1+PF2,
    即100=PFeq \\al(2,1)+PFeq \\al(2,2)+2PF1·PF2.②
    由②-①,得(2+eq \r(3))PF1·PF2=75,
    所以PF1·PF2=75(2-eq \r(3)),
    所以=eq \f(1,2)PF1·PF2·sin 30°=eq \f(75,4)(2-eq \r(3)).
    2.将椭圆的方程改为“eq \f(x2,100)+eq \f(y2,64)=1”其余条件不变,求△F1PF2的面积.
    解 PF1+PF2=2a=20,又F1F2=2c=12.
    由余弦定理知,
    (2c)2=PFeq \\al(2,1)+PFeq \\al(2,2)-2PF1·PF2·cs 60°,
    即144=(PF1+PF2)2-3PF1·PF2,
    所以PF1·PF2=eq \f(256,3),
    所以=eq \f(1,2)PF1·PF2·sin 60°=eq \f(64\r(3),3).
    反思感悟 椭圆定义的应用技巧
    (1)椭圆的定义具有双向作用,即若PF1+PF2=2a(2a>F1F2),则点P的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a.
    (2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化,简化解题过程.因此,解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时,应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解.
    跟踪训练2 (1)已知椭圆eq \f(x2,16)+eq \f(y2,12)=1的左焦点是F1,右焦点是F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么PF1∶PF2等于( )
    A.3∶5 B.3∶4
    C.5∶3 D.4∶3
    (2)已知椭圆eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1中,点P是椭圆上一点,F1,F2是椭圆的焦点,且∠PF1F2=120°,则△PF1F2的面积为________.
    答案 (1)C (2)eq \f(3\r(3),5)
    解析 (1)依题意知,线段PF1的中点在y轴上,又原点为F1F2的中点,易得y轴∥PF2,所以PF2⊥x轴,则有PFeq \\al(2,1)-PFeq \\al(2,2)=4c2=16,又根据椭圆定义知PF1+PF2=8,所以PF1-PF2=2,
    从而PF1=5,PF2=3,即PF1∶PF2=5∶3.
    (2)由eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1,可知a=2,b=eq \r(3),所以c=eq \r(a2-b2)=1,从而F1F2=2c=2.
    在△PF1F2中,由余弦定理得PFeq \\al(2,2)=PFeq \\al(2,1)+F1F22-2PF1·F1F2cs∠PF1F2,即PFeq \\al(2,2)=PFeq \\al(2,1)+4+2PF1.①
    由椭圆定义得PF1+PF2=2a=4.②
    由①②联立可得PF1=eq \f(6,5).
    所以=eq \f(1,2)PF1·F1F2sin∠PF1F2=eq \f(1,2)×eq \f(6,5)×2×eq \f(\r(3),2)=eq \f(3\r(3),5).
    三、与椭圆有关的轨迹问题
    例3 点B是椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1上的动点,A(2a,0)为定点,求线段AB的中点M的轨迹方程.
    解 设动点M的坐标为(x,y),B点坐标为(x0,y0),则由M为线段AB的中点,可得
    eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x0+2a,2)=x,,\f(y0+0,2)=y))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0=2x-2a,,y0=2y,))
    即点B的坐标可表示为(2x-2a,2y).
    又点B(x0,y0)在椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1上,
    ∴eq \f(x\\al(2,0),a2)+eq \f(y\\al(2,0),b2)=1,从而有eq \f(2x-2a2,a2)+eq \f(2y2,b2)=1.
    整理得动点M的轨迹方程为eq \f(4x-a2,a2)+eq \f(4y2,b2)=1.
    反思感悟 相关点代入法求轨迹方程的一般步骤
    (1)建立平面直角坐标系,设所求动点的坐标为(x,y),其相关动点的坐标为(x0,y0).
    (2)找出(x,y)与(x0,y0)之间的等量关系,用x,y表示x0,y0.
    (3)将x0,y0代入其所在的曲线方程.
    (4)化简方程得所求方程.
    跟踪训练3 已知中心在坐标原点的椭圆,经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.
    (1)求椭圆的标准方程;
    (2)若P是(1)中所求椭圆上的动点,求PF的中点Q的轨迹方程.
    解 (1)依题意,可设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0),
    若点F(2,0)为其右焦点,则其左焦点为F′(-2,0),
    从而有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c=2,,2a=AF+AF′=3+5=8,))
    解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c=2,,a=4,))
    又a2=b2+c2,∴b2=12,
    故椭圆C的方程为eq \f(x2,16)+eq \f(y2,12)=1.
    (2)设P(x0,y0),Q(x,y),
    ∵Q为PF的中点,
    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=\f(x0+2,2),,y=\f(y0,2)))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0=2x-2,,y0=2y,))
    又P是eq \f(x2,16)+eq \f(y2,12)=1上的动点,
    ∴eq \f(2x-22,16)+eq \f(4y2,12)=1,
    即Q点的轨迹方程是eq \f(x-12,4)+eq \f(y2,3)=1.
    1.知识清单:
    (1)椭圆方程的设法.
    (2)椭圆定义的应用.
    (3)与椭圆有关的轨迹.
    2.方法归纳:数形结合、待定系数法、分类讨论法.
    3.常见误区:漏掉验证曲线方程的完备性.
    1.已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的标准方程为( )
    A.eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1 B.eq \f(x2,4)+y2=1
    C.eq \f(y2,4)+eq \f(x2,3)=1 D.eq \f(y2,4)+x2=1
    答案 A
    解析 由椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0)可知,
    椭圆的焦点在x轴上,且c=1.
    又点P(2,0)在椭圆上,
    ∴a=2.
    由a2=b2+c2可得,b=eq \r(a2-c2)=eq \r(22-12)=eq \r(3),
    ∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1.
    2.已知椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是( )
    A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线
    答案 B
    解析 设椭圆的右焦点为F2,
    由题意,知PO=eq \f(1,2)MF2,PF1=eq \f(1,2)MF1,
    又MF1+MF2=2a,
    所以PO+PF1=a>F1O=c,
    故由椭圆的定义,知P点的轨迹是椭圆.
    3.椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,若△PF1F2的面积最大值为12,则椭圆方程为____________________.
    答案 eq \f(x2,25)+eq \f(y2,9)=1
    解析 如图,当P在y轴上时
    △PF1F2的面积最大,
    ∴eq \f(1,2)×8b=12,∴b=3.
    又∵c=4,∴a2=b2+c2=25.
    ∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)+eq \f(y2,9)=1.
    4.已知椭圆eq \f(x2,9)+eq \f(y2,2)=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若PF1=4,则∠F1PF2=________.
    答案 120°
    解析 由椭圆的定义知a2=9,b2=2,
    ∴a=3,c2=a2-b2=7,即c=eq \r(7),
    ∴F1F2=2eq \r(7).
    ∵PF1=4,
    ∴PF2=2a-PF1=2.
    ∴cs∠F1PF2=eq \f(PF\\al(2,1)+PF\\al(2,2)-F1F\\al(2,2),2×PF1×PF2)
    =eq \f(42+22-2\r(7)2,2×4×2)=-eq \f(1,2),
    又0°0,∴m=3;
    若焦点在y轴上,则c2=5-m2=4,
    又m>0,∴m=1.
    因此“m=3”是“椭圆eq \f(x2,m2)+eq \f(y2,5)=1的焦距为4”的充分不必要条件,故选A.
    3.已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是( )
    A.eq \f(x2,36)+eq \f(y2,20)=1(x≠0) B.eq \f(x2,20)+eq \f(y2,36)=1(x≠0)
    C.eq \f(x2,6)+eq \f(y2,20)=1(x≠0) D.eq \f(x2,20)+eq \f(y2,6)=1(x≠0)
    答案 B
    解析 由△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),可得AB+AC=12>BC,所以顶点A的轨迹为椭圆,其中2a=12,2c=8,所以a=6,c=4.所以b2=a2-c2=20,方程为eq \f(x2,20)+eq \f(y2,36)=1.因为A,B,C三点构成三角形,三点不能共线,所以x≠0,故点A的轨迹方程为eq \f(x2,20)+eq \f(y2,36)=1(x≠0).
    4.已知椭圆过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5),-4))和点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,5),3)),则此椭圆的标准方程是( )
    A.eq \f(y2,25)+x2=1 B.eq \f(x2,25)+y2=1或x2+eq \f(y2,25)=1
    C.eq \f(x2,25)+y2=1 D.以上都不对
    答案 A
    解析 设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B),
    由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,25)A+16B=1,,\f(16,25)A+9B=1,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A=1,,B=\f(1,25).))
    所以此椭圆的标准方程为eq \f(y2,25)+x2=1.
    5.椭圆eq \f(x2,12)+eq \f(y2,3)=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标为( )
    A.±eq \f(3,4) B.±eq \f(\r(2),2) C.±eq \f(\r(3),2) D.±eq \f(\r(3),4)
    答案 D
    解析 如图,当点P在x轴上方时,OM为△PF1F2的中位线,所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3,\f(\r(3),2))),所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(\r(3),4))).同理,当点P在x轴下方时,Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,-\f(\r(3),4))),故选D.
    6.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-2eq \r(5),0)为C的左焦点,P为C上一点,满足OP=OF,且PF=4,则椭圆C的方程为( )
    A.eq \f(x2,25)+eq \f(y2,5)=1 B.eq \f(x2,36)+eq \f(y2,16)=1
    C.eq \f(x2,30)+eq \f(y2,10)=1 D.eq \f(x2,45)+eq \f(y2,25)=1
    答案 B
    解析 设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0),焦距为2c,右焦点为F′,连接PF′,如图所示.因为F(-2eq \r(5),0)为C的左焦点,所以c=2eq \r(5).由OP=OF=OF′知,∠FPF′=90°,即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得PF′=eq \r(FF′2-PF2)=eq \r(4\r(5)2-42)=8.由椭圆定义,得PF+PF′=2a=4+8=12,所以a=6,a2=36,于是b2=a2-c2=36-(2eq \r(5))2=16,所以椭圆C的方程为eq \f(x2,36)+eq \f(y2,16)=1.
    7.P是椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1上的任意一点,F1,F2是它的两个焦点,O为坐标原点,有一动点Q满足eq \(OQ,\s\up6(→))=eq \(PF1,\s\up6(→))+eq \(PF2,\s\up6(→)),则动点Q的轨迹方程是________.
    答案 eq \f(x2,4a2)+eq \f(y2,4b2)=1
    解析 设Q(x,y),
    ∵eq \(OQ,\s\up6(→))=eq \(PF1,\s\up6(→))+eq \(PF2,\s\up6(→)),
    ∴eq \(OP,\s\up6(→))=-eq \f(1,2)eq \(OQ,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(x,2),-\f(y,2))),
    ∵P是椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1上的任意一点,
    ∴eq \f(\f(x2,4),a2)+eq \f(\f(y2,4),b2)=1,∴eq \f(x2,4a2)+eq \f(y2,4b2)=1.
    8.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状,最大拱高h为6米(如图所示),路面设计是双向车道,车道总宽为8eq \r(7) 米,如果限制通行车辆的高度不超过4.5米,那么隧道设计的拱宽d至少应是________米.
    答案 32
    解析 设椭圆方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,36)=1,
    当点(4eq \r(7),4.5)在椭圆上时,eq \f(16×7,a2)+eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))2,36)=1,
    解得a=16,
    ∵车辆高度不超过4.5米,
    ∴a≥16,d=2a≥32,
    故拱宽至少为32米.
    9.已知椭圆eq \f(y2,a2)+eq \f(x2,b2)=1(a>b>0)的焦点分别是F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.
    (1)求椭圆的标准方程;
    (2)设点P在这个椭圆上,且PF1-PF2=1,求∠F1PF2的余弦值.
    解 (1)依题意,知c2=1,又c2=a2-b2,且3a2=4b2,
    所以a2-eq \f(3,4)a2=1,即eq \f(1,4)a2=1,所以a2=4,b2=3,
    故椭圆的标准方程为eq \f(y2,4)+eq \f(x2,3)=1.
    (2)由于点P在椭圆上,所以PF1+PF2=2a=2×2=4.又PF1-PF2=1,所以PF1=eq \f(5,2),PF2=eq \f(3,2).又F1F2=2c=2,所以由余弦定理得cs ∠F1PF2=eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2-22,2×\f(5,2)×\f(3,2))=eq \f(3,5).
    故∠F1PF2的余弦值等于eq \f(3,5).
    10.设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.证明EA+EB为定值,并写出点E的轨迹方程.
    解 圆A的方程整理可得(x+1)2+y2=16,点A的坐标为(-1,0),如图所示,
    因为AD=AC,所以∠ACD=∠ADC.
    因为EB∥AC,所以∠EBD=∠ACD,
    故∠EBD=∠ACD=∠ADC.
    所以EB=ED,
    故EA+EB=EA+ED=AD.
    又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而AD=4,
    所以EA+EB=4.
    由题设得A(-1,0),B(1,0).AB=2,
    由椭圆定义可得点E的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,且2a=4,c=1,
    所以a2=4,b2=3,
    所以点E的轨迹方程为eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1(y≠0).
    11.椭圆eq \f(x2,25)+eq \f(y2,9)=1的焦点为F1,F2,P为椭圆上的一点,已知eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))=0,则△F1PF2的面积为( )
    A.9 B.12 C.10 D.8
    答案 A
    解析 ∵eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))=0,∴PF1⊥PF2.
    ∴PFeq \\al(2,1)+PFeq \\al(2,2)=F1Feq \\al(2,2)且PF1+PF2=2a.
    又a=5,b=3,∴c=4,
    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(PF\\al(2,1)+PF\\al(2,2)=64, ①,PF1+PF2=10. ②))
    由②2-①,得2PF1·PF2=36,
    ∴PF1·PF2=18,
    ∴△F1PF2的面积为S=eq \f(1,2)·PF1·PF2=9.
    12.已知F是椭圆C:eq \f(x2,9)+eq \f(y2,5)=1的左焦点,P为C上一点,Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(4,3))),则PA+PF的最小值为( )
    A.eq \f(10,3) B.eq \f(11,3) C.4 D.eq \f(13,3)
    答案 D
    解析 由椭圆的方程可知,a=3,c=eq \r(a2-b2)=2.如图所示,设F2是椭圆的右焦点,由椭圆的定义可知,PF+PF2=2a=6,所以PA+PF=PA+6-PF2=6-(PF2-PA),所以求PA+PF的最小值,也就是求PF2-PA的最大值.由图易知,当P,A,F2三点共线时,PF2-PA取得最大值,此时(PF2-PA)max=AF2=eq \f(5,3),所以PA+PF的最小值为6-eq \f(5,3)=eq \f(13,3).
    13.(多选)已知F1,F2为椭圆eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1的左、右焦点,M为椭圆上的动点,则下面四个结论正确的是( )
    A.MF2的最大值大于3
    B.MF1·MF2的最大值为4
    C.∠F1MF2的最大值为60°
    D.若动直线l垂直于y轴,且交椭圆于A,B两点,P为l上满足PA·PB=2的点,则点P的轨迹方程为eq \f(x2,2)+eq \f(2y2,3)=1或eq \f(x2,6)+eq \f(2y2,9)=1
    答案 BCD
    解析 由椭圆方程得a2=4,b2=3,∴c2=1,
    因此F1(-1,0),F2(1,0).
    选项A中,(MF2)max=a+c=3,A错误;
    选项B中,MF1·MF2≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(MF1+MF2,2)))2=4,当且仅当MF1=MF2时取等号,B正确;
    选项C中,当点M在y轴上时,∠F1MF2取得最大值,取M(0,eq \r(3)),则taneq \f(∠F1MF2,2)=eq \f(\r(3),3),
    ∴eq \f(∠F1MF2,2)=30°,
    ∴∠F1MF2的最大值为60°,C正确;
    选项D中,设P(x,y),A(x1,y),B(-x1,y),
    ∵PA·PB=2,
    ∴|x-x1|·|x+x1|=2,
    ∴|x2-xeq \\al(2,1)|=2,即x2=xeq \\al(2,1)+2或x2=xeq \\al(2,1)-2.
    又由题意知eq \f(x\\al(2,1),4)+eq \f(y2,3)=1,
    ∴eq \f(x2-2,4)+eq \f(y2,3)=1或eq \f(x2+2,4)+eq \f(y2,3)=1,
    化简得eq \f(x2,6)+eq \f(2y2,9)=1或eq \f(x2,2)+eq \f(2y2,3)=1,D正确.
    14.已知椭圆C:eq \f(x2,9)+eq \f(y2,4)=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则 AN+BN=________.
    答案 12
    解析 取MN的中点G,G在椭圆C上,因为点M关于C的焦点F1,F2的对称点分别为A,B,故有GF1=eq \f(1,2)AN,GF2=eq \f(1,2)BN,所以AN+BN=2(GF1+GF2)=4a=12.
    15.若点P是椭圆eq \f(x2,9)+eq \f(y2,4)=1上的一动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,则cs∠F1PF2的最小值为( )
    A.-eq \f(5,9) B.-eq \f(1,9)
    C.eq \f(1,9) D.eq \f(1,2)
    答案 B
    解析 由椭圆的定义,可得PF1+PF2=6,F1F2=2eq \r(5),
    ∴cs∠F1PF2=eq \f(PF\\al(2,1)+PF\\al(2,2)-F1F\\al(2,2),2PF1·PF2)
    =eq \f(62-2\r(5)2-2PF1·PF2,2PF1·PF2)
    =eq \f(8,PF1·PF2)-1.
    又PF1+PF2=6≥2eq \r(PF1·PF2),
    ∴PF1·PF2≤9,
    ∴eq \f(8,PF1·PF2)-1≥eq \f(8,9)-1=-eq \f(1,9),当且仅当PF1=PF2=3时等号成立,
    ∴cs∠F1PF2的最小值为-eq \f(1,9),故选B.
    16.(1)已知F1,F2是椭圆eq \f(x2,100)+eq \f(y2,64)=1的两个焦点,P是椭圆上一点,求PF1·PF2的最大值;
    (2)已知A(1,1),F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,点P是椭圆上的动点,求PA+PF1的最大值和最小值.
    解 (1)∵a=10,20=PF1+PF2≥2eq \r(PF1·PF2),当且仅当PF1=PF2时取等号,
    ∴PF1·PF2≤100,当且仅当PF1=PF2时取等号,
    ∴PF1·PF2的最大值为100.
    (2)设F2为椭圆的右焦点,5x2+9y2=45可化为eq \f(x2,9)+eq \f(y2,5)=1,由已知,得PF1+PF2=2a=6,
    ∴PF1=6-PF2,
    ∴PA+PF1=6-(PF2-PA).
    ①当PA>PF2时,有0

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