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2020-2021学年第5章 导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用示范课课件ppt
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这是一份2020-2021学年第5章 导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用示范课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了学习目标，随堂演练，课时对点练，内容索引，极大值，极小值，课堂小结，基础巩固，解得a＝－1，综合运用等内容，欢迎下载使用。
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数 的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
同学们，前面我们通过对函数的求导，摸清了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以展开想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.这就是我们今天要研究的函数的极值.
一、函数极值概念的理解
二、求函数的极值(点)
三、由极值求参数的值或范围
问题1 如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？
提示 在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷.
问题2 你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？
提示 以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f′(x)>0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，且有f′(x)<0，函数图象是连续不断的，f′(x)的变化也是连续不断的，并且有f′(x1)＝0.
极值的概念一般地，若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个 ；当x∈(x2－δ，x2＋δ)时，都有f(x)≥f(x2)，则称f(x2)为函数f(x)的一个 .函数的极大值、极小值统称为函数的 .
注意点：(1)把函数取得极大值时的x的值称为极大值点，把函数取得极小值时的x的值称为极小值点，极大值点与极小值点统称为极值点，故极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点.
例1 函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间(3,5)上是增函数；②函数y＝f(x)在区间 上是减函数；③函数y＝f(x)在区间(－2,2)上是增函数；④当x＝ 时，函数y＝f(x)有极大值；⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值.则上述判断中正确的序号是______.
解析 对于①，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，所以①错误；
当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，所以②错误；对于③，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，所以③正确；对于④，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确.
反思感悟 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值.
跟踪训练1 已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间 内的极小值点的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 由图象，设f′(x)与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c，d，
其中c
(2)求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值.
解 函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.
反思感悟 函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域.(2)求方程f′(x)＝0的根.(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
跟踪训练2 (1)“a>2”是“函数f(x)＝ 上有极值”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
令f′(x)＝0，可得x＝a－1.当xa－1时，f′(x)>0.∴函数y＝f(x)在x＝a－1处取得极小值.
(2)求函数f(x)＝x3－x的极值.
解 函数f(x)的定义域为R.
当x变化时，f(x)和f′(x)变化情况如下表：
例3 (1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝_____，b＝_____.
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由题意知，－1,3是3x2＋2ax＋b＝0的两个根，∴a＝－3，b＝－9.
(2)已知函数f(x)＝ (m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围.
解 f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示.
解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞).
反思感悟 已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件.(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.
跟踪训练3 若函数f(x)＝ x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是_________.
∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2).令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
且f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数.根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，
1.知识清单：(1)函数极值的定义.(2)函数极值的判定及求法.(3)函数极值的应用.2.方法归纳：方程思想、分类讨论.3.常见误区：容易混淆为导数值等于零时此点为极值点.
1.(多选)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是A.在(1,2)上函数f(x)是增函数B.在(3,4)上函数f(x)是减函数C.在(1,3)上函数f(x)有极大值D.x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
解析 根据导函数图象知，x∈(1,2)时，f′(x)>0；x∈(2,4)时，f′(x)<0，x∈(4,5)时，f′(x)>0.∴f(x)在(1,2)，(4,5)上是增函数，在(2,4)上是减函数，x＝2是f(x)在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点.
2.(多选)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个增区间是A.(－∞，2) B.(3，＋∞)C.(2，＋∞) D.(－∞，3)
解析 ∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.
3.设函数f(x)＝xex，则A.x＝1为f(x)的极大值点B.x＝1为f(x)的极小值点C.x＝－1为f(x)的极大值点D.x＝－1为f(x)的极小值点
解析 令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f′(x)＜0；当x＞－1时，f′(x)＞0.故x＝－1为f(x)的极小值点.
4.已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则a＝____，b＝_____.
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
1.下列函数中存在极值的是A.y＝ B.y＝x－exC.y＝2 D.y＝x3
解析 对于y＝x－ex，y′＝1－ex，令y′＝0，得x＝0.在区间(－∞，0)上，y′>0；在区间(0，＋∞)上，y′<0.故当x＝0时，函数y＝x－ex取得极大值.
2.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.
3.函数f(x)＝(x－1)ex的极小值点为A.(0，－1) B.(0,0) C.－1 D.0
解析 由题意得f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，故f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故当x＝0时，f(x)的极小值为f(0)＝－1，故极小值点为0.
4.已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于A.－4 B.－2 C.4 D.2
解析 ∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)＞0，则f(x)是增函数；当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，则f(x)是减函数，∴f(x)的极小值点为a＝2.
5.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2＋a在x＝1处有极值为7，则a等于A.－3或3 B.3或－9 C.3 D.－3
当a＝3，b＝－9时，f′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x－1)(x＋3)，当－31时，f′(x)>0，x＝1是极小值点；当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，x＝1不是极值点.∴a＝3.
6.(多选)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的值可以是A.－4 B.－3 C.6 D.8
解析 由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不相等的根，所以Δ＝4a2－12(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.
7.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_______________________.
解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函数f(x)既有极大值又有极小值，∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.
(－∞，－1)∪(2，＋∞)
8.已知关于x的函数f(x)＝ x3＋bx2＋cx＋bc，如果函数f(x)在x＝1处取得极值 ，则b＝_____，c＝_____.
解析 f′(x)＝－x2＋2bx＋c，
若b＝1，c＝－1，则f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，此时f(x)没有极值；
若b＝－1，c＝3，则f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，当－30，当x>1时，f′(x)<0，
故b＝－1，c＝3即为所求.
9.设函数f(x)＝aln x＋ ＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴.(1)求a的值；
由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，
(2)求函数f(x)的极值.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上是减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上是增函数.故f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3，无极大值.
10.设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的极值；
解 f′(x)＝3x2－2x－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
极小值是f(1)＝a－1.
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
解 函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点.
f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
11.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是
解析 因为f(x)在x＝－2处取得极小值，所以当x＜－2时，f(x)为减函数，即f′(x)＜0；当x＞－2时，f(x)为增函数，即f′(x)＞0.所以当x＜－2时，y＝xf′(x)＞0；当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；当－2＜x＜0时，y＝xf′(x)＜0；当x＝0时，y＝xf′(x)＝0；当x＞0时，y＝xf′(x)＞0.结合选项中的图象知选C.
12.若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是A.(－1,0) B.(0,1)C.(－∞，－1) D.(1，＋∞)
解析 由题意知f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上为增函数，不符合题意；当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln a，∴当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.可知x＝ln a为f(x)的极值点，∴ln a<0，∴a∈(0,1).
A.3 B.2 C.3或2 D.－3或－2
∴f′(x)＝2x2－5ax＋3a2，
整理得a2－5a＋6＝0，解得a＝2或a＝3.
令f′(x)>0，得x<2或x>3；令f′(x)<0，得2
14.若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________.
解析 ∵f′(x)＝3x2＋2x－a，函数f(x)在区间(－1,1)上恰有一个极值点，即f′(x)＝0在(－1,1)内恰有一个根.
15.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定A.等于0 B.大于0C.小于0 D.小于或等于0
解析 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.令f′(x)＝0，则x0和2是该方程的根.
由题图知，f′(x)<0的解集为(x0,2)，∴3a>0，则b>0，∵f(1)＋f(－1)＝2b，∴f(1)＋f(－1)>0.
16.已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠ 时，求函数f(x)的单调区间与极值.
解 f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
①若a> ，则－2a
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数 的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
同学们，前面我们通过对函数的求导，摸清了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以展开想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.这就是我们今天要研究的函数的极值.
一、函数极值概念的理解
二、求函数的极值(点)
三、由极值求参数的值或范围
问题1 如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？
提示 在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷.
问题2 你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？
提示 以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f′(x)>0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，且有f′(x)<0，函数图象是连续不断的，f′(x)的变化也是连续不断的，并且有f′(x1)＝0.
极值的概念一般地，若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个 ；当x∈(x2－δ，x2＋δ)时，都有f(x)≥f(x2)，则称f(x2)为函数f(x)的一个 .函数的极大值、极小值统称为函数的 .
注意点：(1)把函数取得极大值时的x的值称为极大值点，把函数取得极小值时的x的值称为极小值点，极大值点与极小值点统称为极值点，故极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点.
例1 函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间(3,5)上是增函数；②函数y＝f(x)在区间 上是减函数；③函数y＝f(x)在区间(－2,2)上是增函数；④当x＝ 时，函数y＝f(x)有极大值；⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值.则上述判断中正确的序号是______.
解析 对于①，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，所以①错误；
当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，所以②错误；对于③，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，所以③正确；对于④，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确.
反思感悟 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值.
跟踪训练1 已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间 内的极小值点的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 由图象，设f′(x)与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c，d，
其中c
(2)求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值.
解 函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.
反思感悟 函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域.(2)求方程f′(x)＝0的根.(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
跟踪训练2 (1)“a>2”是“函数f(x)＝ 上有极值”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
令f′(x)＝0，可得x＝a－1.当x
(2)求函数f(x)＝x3－x的极值.
解 函数f(x)的定义域为R.
当x变化时，f(x)和f′(x)变化情况如下表：
例3 (1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝_____，b＝_____.
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由题意知，－1,3是3x2＋2ax＋b＝0的两个根，∴a＝－3，b＝－9.
(2)已知函数f(x)＝ (m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围.
解 f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示.
解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞).
反思感悟 已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件.(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.
跟踪训练3 若函数f(x)＝ x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是_________.
∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2).令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
且f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数.根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，
1.知识清单：(1)函数极值的定义.(2)函数极值的判定及求法.(3)函数极值的应用.2.方法归纳：方程思想、分类讨论.3.常见误区：容易混淆为导数值等于零时此点为极值点.
1.(多选)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是A.在(1,2)上函数f(x)是增函数B.在(3,4)上函数f(x)是减函数C.在(1,3)上函数f(x)有极大值D.x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
解析 根据导函数图象知，x∈(1,2)时，f′(x)>0；x∈(2,4)时，f′(x)<0，x∈(4,5)时，f′(x)>0.∴f(x)在(1,2)，(4,5)上是增函数，在(2,4)上是减函数，x＝2是f(x)在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点.
2.(多选)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个增区间是A.(－∞，2) B.(3，＋∞)C.(2，＋∞) D.(－∞，3)
解析 ∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.
3.设函数f(x)＝xex，则A.x＝1为f(x)的极大值点B.x＝1为f(x)的极小值点C.x＝－1为f(x)的极大值点D.x＝－1为f(x)的极小值点
解析 令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f′(x)＜0；当x＞－1时，f′(x)＞0.故x＝－1为f(x)的极小值点.
4.已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则a＝____，b＝_____.
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
1.下列函数中存在极值的是A.y＝ B.y＝x－exC.y＝2 D.y＝x3
解析 对于y＝x－ex，y′＝1－ex，令y′＝0，得x＝0.在区间(－∞，0)上，y′>0；在区间(0，＋∞)上，y′<0.故当x＝0时，函数y＝x－ex取得极大值.
2.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2
3.函数f(x)＝(x－1)ex的极小值点为A.(0，－1) B.(0,0) C.－1 D.0
解析 由题意得f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，故f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故当x＝0时，f(x)的极小值为f(0)＝－1，故极小值点为0.
4.已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于A.－4 B.－2 C.4 D.2
解析 ∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)＞0，则f(x)是增函数；当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，则f(x)是减函数，∴f(x)的极小值点为a＝2.
5.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2＋a在x＝1处有极值为7，则a等于A.－3或3 B.3或－9 C.3 D.－3
当a＝3，b＝－9时，f′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x－1)(x＋3)，当－3
6.(多选)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的值可以是A.－4 B.－3 C.6 D.8
解析 由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不相等的根，所以Δ＝4a2－12(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.
7.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_______________________.
解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函数f(x)既有极大值又有极小值，∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.
(－∞，－1)∪(2，＋∞)
8.已知关于x的函数f(x)＝ x3＋bx2＋cx＋bc，如果函数f(x)在x＝1处取得极值 ，则b＝_____，c＝_____.
解析 f′(x)＝－x2＋2bx＋c，
若b＝1，c＝－1，则f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，此时f(x)没有极值；
若b＝－1，c＝3，则f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，当－3
故b＝－1，c＝3即为所求.
9.设函数f(x)＝aln x＋ ＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴.(1)求a的值；
由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，
(2)求函数f(x)的极值.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上是减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上是增函数.故f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3，无极大值.
10.设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的极值；
解 f′(x)＝3x2－2x－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
极小值是f(1)＝a－1.
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
解 函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点.
f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
11.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是
解析 因为f(x)在x＝－2处取得极小值，所以当x＜－2时，f(x)为减函数，即f′(x)＜0；当x＞－2时，f(x)为增函数，即f′(x)＞0.所以当x＜－2时，y＝xf′(x)＞0；当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；当－2＜x＜0时，y＝xf′(x)＜0；当x＝0时，y＝xf′(x)＝0；当x＞0时，y＝xf′(x)＞0.结合选项中的图象知选C.
12.若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是A.(－1,0) B.(0,1)C.(－∞，－1) D.(1，＋∞)
解析 由题意知f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上为增函数，不符合题意；当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln a，∴当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.可知x＝ln a为f(x)的极值点，∴ln a<0，∴a∈(0,1).
A.3 B.2 C.3或2 D.－3或－2
∴f′(x)＝2x2－5ax＋3a2，
整理得a2－5a＋6＝0，解得a＝2或a＝3.
令f′(x)>0，得x<2或x>3；令f′(x)<0，得2
14.若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________.
解析 ∵f′(x)＝3x2＋2x－a，函数f(x)在区间(－1,1)上恰有一个极值点，即f′(x)＝0在(－1,1)内恰有一个根.
15.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定A.等于0 B.大于0C.小于0 D.小于或等于0
解析 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.令f′(x)＝0，则x0和2是该方程的根.
由题图知，f′(x)<0的解集为(x0,2)，∴3a>0，则b>0，∵f(1)＋f(－1)＝2b，∴f(1)＋f(－1)>0.
16.已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠ 时，求函数f(x)的单调区间与极值.
解 f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
①若a> ，则－2a
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