数学选择性必修第一册5.2 导数的运算背景图ppt课件

这是一份数学选择性必修第一册5.2 导数的运算背景图ppt课件，共58页。PPT课件主要包含了学习目标，随堂演练，课时对点练，求复合函数的导数，内容索引，y′u·a，课堂小结，基础巩固，综合运用，因为ex0等内容，欢迎下载使用。

1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则 进行一些复合函数的求导.
同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数.
一、复合函数概念的理解
三、复合函数的导数的应用
问题1　函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？
提示　y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位置，f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数和外层函数复合而成，是复合函数.
复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).注意点：内、外层函数通常为基本初等函数.
例1　(多选)下列哪些函数是复合函数A.y＝xln x B.y＝(3x＋6)2
解析　A不是复合函数；BCD都是复合函数.
反思感悟　若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数，而f(x)，g(x)不是复合函数.
跟踪训练1　(多选)下列哪些函数是复合函数
问题2　如何求函数y＝sin 2x的导数？
提示　y＝2sin xcs x，由两个函数相乘的求导法则可知：y′＝2cs2x－2sin2x＝2cs 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y′＝cs u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u′＝2，发现y′x＝y′u·u′x.
复合函数的求导法则一般地，我们有，若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝_______.注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导.
例2　求下列函数的导数：
所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.
(3)y＝lg2(2x＋1)；
解　设y＝lg2u，u＝2x＋1，
(4)y＝e3x＋2.
解　设y＝eu，u＝3x＋2，则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.
反思感悟　(1)求复合函数的导数的步骤
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.
跟踪训练2　求下列函数的导数：
解　y＝ ，设y＝ ，u＝1－2x，则y′x＝
(2)y＝5lg2(1－x)；
解　函数y＝5lg2(1－x)可看作函数y＝5lg2u和u＝1－x的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝5(lg2u)′·(1－x)′
例3　已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝ 相切，求a的值.
∴f′(1)＝2a－2，又f(1)＝a＋2ln 1＝a，∴切线l的方程为y－a＝2(a－1)(x－1)，即2(a－1)x－y－a＋2＝0.
反思感悟　正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.
跟踪训练3　曲线y＝f(x)＝e2x·cs 3x在点(0,1)处的切线与平行直线l的距离为 ，求直线l的方程.
解　y＝e2x·cs 3x的导数为y′＝2e2x·cs 3x＋(－3sin 3x)·e2x＝e2x·(2cs 3x－3sin 3x).曲线在点(0,1)处的切线斜率为e0·(2cs 0－3sin 0)＝2，则曲线在点(0,1)处的切线方程为y＝2x＋1，
解得t＝6或－4.则直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
1.知识清单：(1)复合函数的概念.(2)复合函数的求导法则.(3)复合函数的导数的应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化.
1.(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是A.y＝un，u＝x2－1 B.y＝(u－1)n，u＝x2C.y＝tn，t＝(x2－1)n D. t＝x2－1, y＝tn
2.已知函数f(x)＝ln(ax－1)的导函数是f′(x)，且f′(2)＝2，则实数a的值为
3.设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)等于
4.设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝_____.
解析　易知y′＝aeax，k＝ae0＝a，
1.(多选)下列函数是复合函数的是
解析　A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，
D由y＝u4，u＝2x＋3复合而成.
2.设f(x)＝lg3(x－1)，则f′(2)等于
3.函数y＝xln(2x＋5)的导数为
4.函数y＝f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f′(2)＝5，则a等于A.1 B.－1 C.2 D.－2
解析　y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则f′(2)＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1(舍负).
5.曲线y＝2xex－2在点(2,4)处切线的斜率等于A.2e B.e C.6 D.2
解析　∵y＝2xex－2，∴y′＝2ex－2＋2xex－2，∴k＝2e0＋4e0＝6，故选C.
6.(多选)下列结论中不正确的是
对于B，y＝sin x2，则y′＝2xcs x2，故正确；对于C，y＝cs 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误；
7.已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＋f(x0)＝1，则x0的值为_____.
解析　因为f′(x)＝ln x＋1.所以由f′(x0)＋f(x0)＝1，得ln x0＋1＋x0ln x0＝1.解得x0＝1.
8.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为____.
解析　设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，
又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.
9.求下列函数的导数：(1)y＝ln(ex＋x2)；
解　令u＝ex＋x2，则y＝ln u.
(2)y＝102x＋3；
解　令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2ln 10·102x＋3.
解　设y＝ ，u＝1－x2，则y′x＝ 
解　∵y＝sin 2xcs 3x，∴y′＝(sin 2x)′cs 3x＋sin 2x(cs 3x)′＝2cs 2xcs 3x－3sin 2xsin 3x.
(4)y＝sin 2xcs 3x.
10.曲线y＝e2x＋1在点 处的切线与直线l平行，且与l的距离为 ，求直线l的方程.
解　因为y＝e2x＋1，所以y′＝2e2x＋1，所以k＝2，
设直线l的方程为2x－y＋m＝0(m≠2)，
所以直线l的方程为2x－y＋7＝0或2x－y－3＝0.
11.曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为
解析　依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，k＝－2e－2×0＝－2.所以曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在平面直角坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x的图象，如图所示.
直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，所以结合图象可得，
12.曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是
解析　设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行.
解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0).
13.(多选)已知点P在曲线y＝ 上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是
所以y′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0).又因为α∈[0，π)，
14.设函数f(x)＝cs( x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝_____.
15.若曲线y＝ 在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线互相垂直，则|x1－x2|的最小值为
∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1.不妨设在A点处切线的斜率为1，
解　∵f(x)＝eπxsin πx，∴f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcs πx＝πeπx(sin πx＋cs πx).