高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.3 两条直线的平行与垂直第2课时教学设计

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.3 两条直线的平行与垂直第2课时教学设计，共12页。教案主要包含了两条直线垂直关系的判定，求与已知直线垂直的直线方程， 直线平行与垂直的综合应用等内容，欢迎下载使用。

导语
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理．过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？
一、两条直线垂直关系的判定
知识梳理
注意点：
(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在．
(2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2.
(3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率．
例1 (1)l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直；
(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．
解 (1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2.
(2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在．
当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0，
则l1⊥l2，满足题意．
当l1的斜率k1存在时，a≠5，
由斜率公式，得k1＝eq \f(3－a,a－2－3)＝eq \f(3－a,a－5)，
k2＝eq \f(a－2－3,－1－2)＝eq \f(a－5,－3).
由l1⊥l2，知k1k2＝－1，
即eq \f(3－a,a－5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－5,－3)))＝－1，解得a＝0.
综上所述，a的值为0或5.
反思感悟 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步．
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．
跟踪训练1 分别判断下列两直线是否垂直．
(1)直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A(10,2)，B(20,3)．
(2)直线l1经过A(3,4)，B(3,7)，直线l2经过点P(－2,4)，Q(2,4)．
(3)直线l1的斜率为eq \f(1,3)，直线l2与直线2x＋3y＋1＝0平行．
解 (1)直线l1的斜率为k1＝－10，直线l2的斜率为k2＝eq \f(3－2,20－10)＝eq \f(1,10)，k1·k2＝－10×eq \f(1,10)＝－1.所以直线l1与l2垂直．
(2)直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1与l2垂直．
(3)直线l1的斜率为k1＝eq \f(1,3)，直线l2的斜率为k2＝－eq \f(2,3)，k1·k2＝－eq \f(2,9)≠－1，所以直线l1与l2不垂直．
二、求与已知直线垂直的直线方程
例2 求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
解 方法一 设直线l的斜率为k，
∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，
∴k·(－2)＝－1，
∴k＝eq \f(1,2)，
又∵直线l经过点A(2,1)，
∴所求直线l的方程为y－1＝eq \f(1,2)(x－2)，即x－2y＝0.
方法二 设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.
∵直线l经过点A(2,1)，
∴2－2×1＋m＝0，
∴m＝0.
∴所求直线l的方程为x－2y＝0.
反思感悟 求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若存在，利用斜率乘积等于－1求斜率，若不存在，则所求斜率为0，然后点斜式求直线方程．
跟踪训练2 (1)与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )
A．y＝eq \f(1,2)x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－eq \f(1,2)x＋4
答案 D
解析 直线y＝2x＋1的斜率k＝2，则与直线y＝2x＋1垂直的直线的斜率k＝－eq \f(1,2)，因为在y轴上的截距为4，所以直线方程为y＝－eq \f(1,2)x＋4.
(2)已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上的高所在直线的斜截式方程为____________．
答案 y＝eq \f(3,5)x＋3
解析 设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，
所以kAD·kBC＝－1，
因为kBC＝eq \f(2＋3,0－3)＝－eq \f(5,3)，
所以－eq \f(5,3)·kAD＝－1，解得kAD＝eq \f(3,5)，
所以BC边上的高所在直线的方程为y－0＝eq \f(3,5)(x＋5)，
即y＝eq \f(3,5)x＋3.
三、 直线平行与垂直的综合应用
问题1 已知△ABC的三个顶点坐标A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，你能判断△ABC的形状吗？
提示 如图，AB边所在的直线的斜率kAB＝－eq \f(1,2)，BC边所在直线的斜率kBC＝2.由kAB·kBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°.
∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形．
问题2 若已知Rt△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，你能求出m的值吗？
提示 若∠A为直角，则AC⊥AB，
所以kAC·kAB＝－1，即eq \f(m＋1,2－5)·eq \f(1＋1,1－5)＝－1，得m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，
即eq \f(1＋1,1－5)·eq \f(m－1,2－1)＝－1，得m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
即eq \f(m＋1,2－5)·eq \f(m－1,2－1)＝－1，得m＝±2.
综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.
例3 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状．
解 由斜率公式得kOP＝eq \f(t－0,1－0)＝t，
kQR＝eq \f(2－2＋t,－2t－1－2t)＝eq \f(－t,－1)＝t，
kOR＝eq \f(2－0,－2t－0)＝－eq \f(1,t)，
kPQ＝eq \f(2＋t－t,1－2t－1)＝eq \f(2,－2t)＝－eq \f(1,t).所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ.
所以四边形OPQR为平行四边形．
又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，
故四边形OPQR为矩形．
延伸探究
1．将本例中的四个点，改为“A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)，顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状．”
解 由题意得A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图，
由斜率公式可得kAB＝eq \f(5－3,2－－4)＝eq \f(1,3)，
kCD＝eq \f(0－3,－3－6)＝eq \f(1,3)，
kAD＝eq \f(0－3,－3－－4)＝－3，kBC＝eq \f(3－5,6－2)＝－eq \f(1,2).
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝eq \f(1,3)×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．
2．将本例改为“已知矩形OPQR中按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，试求顶点R的坐标．”
解 因为四边形OPQR为矩形，所以OQ的中点也是PR的中点，设R(x，y)，
则由中点坐标公式知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(0＋1－2t,2)＝\f(1＋x,2)，,\f(0＋2＋t,2)＝\f(t＋y,2)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2t，,y＝2，))所以R点的坐标是(－2t,2)．
反思感悟 (1)利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤
(2)判定几何图形形状的注意点
①在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标．
②证明两直线平行时，仅仅有k1＝k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况．
③判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况．
跟踪训练3 已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．
解 设所求点D的坐标为(x，y)，
如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0，
∴kAB·kBC＝0≠－1，
即AB与BC不垂直，
故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰．
(1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD，
∵kBC＝0，∴直线CD的斜率不存在，从而有x＝3.
又kAD＝kBC，
∴eq \f(y－3,x)＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行，
故所求点D的坐标为(3,3)．
(2)若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD，
∵kAD＝eq \f(y－3,x)，kCD＝eq \f(y,x－3)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－3,x)·3＝－1，,\f(y－3,x)·\f(y,x－3)＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(18,5)，,y＝\f(9,5)，))
∴D点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,5)，\f(9,5))).
综上，D点坐标为(3,3)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,5)，\f(9,5))).
1．知识清单：
(1)两直线垂直的条件．
(2)求垂直直线方程．
(3)直线平行与垂直的综合应用．
2．方法归纳：分类讨论、数形结合．
3．常见误区：研究两直线垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况．
1．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋2y－2＝0互相垂直，则实数a的值是( )
A．1 B．－1 C．4 D．－4
答案 D
解析 两直线的斜率分别为－eq \f(a,2)，－eq \f(1,2)，依题意得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－1，解得a＝－4，故选D.
2．(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为( )
A.eq \f(1,a) B．－eq \f(1,a) C．a D．不存在
答案 BD
解析 当a≠0时，由k1·k2＝－1知，k2＝－eq \f(1,a)，
当a＝0时，l2的斜率不存在．
3．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为__________时，AB⊥CD.
答案 (－9,0)
解析 设点D(x,0)，因为kAB＝eq \f(－1－3,1－2)＝4≠0，
所以直线CD的斜率存在．
则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，
所以4·eq \f(－2－0,－1－x)＝－1，解得x＝－9.
4．已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝__________.
答案 eq \f(5,2)
解析 设直线AD，BC的斜率分别为kAD，kBC，由题意，得AD⊥BC，则有kAD·kBC＝－1，所以有eq \f(1－2,m－2)·eq \f(3－1,4－0)＝－1，解得m＝eq \f(5,2).
课时对点练
1．直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为( )
A．－eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),3) C．－eq \r(3) D.eq \r(3)
答案 C
解析 如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°，
∴l2的斜率为tan 120°＝－tan 60°＝－eq \r(3).
2．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．可能重合 D．无法确定
答案 B
解析 由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．
故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2，故选B.
3．若直线l1的斜率k1＝eq \f(3,4)，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为( )
A．1 B．3
C．0或1 D．1或3
答案 D
解析 因为l1⊥l2，
所以k1·k2＝－1，
即eq \f(3,4)×eq \f(a2＋1－－2,0－3a)＝－1，
解得a＝1或a＝3.
4．(多选)设平面内四点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，则下面四个结论正确的是( )
A．PQ∥SR B．PQ⊥PS
C．PS∥QS D．PR⊥QS
答案 ABD
解析 由斜率公式知，
kPQ＝eq \f(－4－2,6＋4)＝－eq \f(3,5)，kSR＝eq \f(12－6,2－12)＝－eq \f(3,5)，kPS＝eq \f(12－2,2＋4)＝eq \f(5,3)，kQS＝eq \f(12＋4,2－6)＝－4，kPR＝eq \f(6－2,12＋4)＝eq \f(1,4)，
∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，
∴PS与QS不平行，故ABD正确．
5．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则D点的坐标为( )
A．(－1,0) B．(0，－1)
C．(1,0) D．(0,1)
答案 D
解析 设D(x，y)，
则kCD＝eq \f(y－0,x－3)＝eq \f(y,x－3)，kAD＝eq \f(y＋1,x－1).
kAB＝eq \f(2＋1,2－1)＝3，kCB＝eq \f(2－0,2－3)＝－2，
又CD⊥AB，CB∥AD，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kCD·kAB＝－1，,kAD＝kCB，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y,x－3)·3＝－1，,\f(y＋1,x－1)＝－2，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3y＝3，,2x＋y＝1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1，))即D(0,1)．
6．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为( )
A．－12 B．－2 C．0 D．10
答案 A
解析 由2m－20＝0，得m＝10.
由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得p＝－2，
∴垂足坐标为(1，－2)．
又垂足在直线2x－5y＋n＝0上，代入得n＝－12.
7．已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，若l1⊥l2，则a＝______，若l1∥l2，则a＝______.
答案 0或－3 －1或2
解析 因为l1⊥l2，所以a×1＋(a＋2)a＝0，
解得a＝0或a＝－3；当l1∥l2时，
由题意知a≠0，eq \f(a,1)＝eq \f(a＋2,a)≠eq \f(1,2)，
解得a＝－1或a＝2.
8．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，其中a＋b≠3，则线段PQ的垂直平分线的斜率为____．
答案 －1
解析 由过两点的直线的斜率公式可得kPQ＝eq \f(3－a－b,3－b－a)＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
9．当实数a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
解 由l1⊥l2，得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.
∴当a＝1或a＝－1时，l1⊥l2.
10．已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．
(1)求点D的坐标；
(2)试判定▱ABCD是否为菱形？
解 (1)设D点坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(0－2,5－1)＝\f(b－4,a－3)，,\f(b－2,a－1)＝\f(4－0,3－5)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝6.))
所以D(－1,6)．
(2)因为kAC＝eq \f(4－2,3－1)＝1，kBD＝eq \f(6－0,－1－5)＝－1，
所以kAC·kBD＝－1，
所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形．
11．已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m＞0，n＞0)互相垂直，则eq \f(m,n)的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
解析 因为l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋2m，因为m＞0，所以eq \f(m,n)＝eq \f(m,m2＋2m)＝eq \f(1,m＋2)，则012．已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为______________．
答案 1或0
解析 l1的斜率k1＝eq \f(3a－0,1－－2)＝a.
当a≠0时，l2的斜率k2＝eq \f(－2a－－1,a－0)＝eq \f(1－2a,a).
因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，
即a·eq \f(1－2a,a)＝－1，解得a＝1.
当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(－2,0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2.
综上可知，实数a的值为1或0.
13．已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为________．
答案 (－19，－62)
解析 设A(x，y)，
因为AC⊥BH，AB⊥CH，
且kBH＝－eq \f(1,5)，kCH＝－eq \f(1,3)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－3,x＋6)＝5，,\f(y－1,x－2)＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－19，,y＝－62.))
所以A(－19，－62)．
14．已知点A(－1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．
答案 (1,0)或(2,0)
解析 以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.
设C(x,0)，则kAC＝eq \f(－3,x＋1)，kBC＝eq \f(－2,x－4)，
所以eq \f(－3,x＋1)·eq \f(－2,x－4)＝－1，
解得x＝1或x＝2，
所以交点C的坐标是(1,0)或(2,0)．
15．直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝________.
答案 4＋eq \r(3)
解析 如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝eq \r(3).
由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝eq \r(3).
∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－eq \f(1,k2)＝－eq \f(\r(3),3).
∴eq \f(m－1－2,1－m)＝eq \f(m－3,1－m)＝－eq \f(\r(3),3)，
解得m＝4＋eq \r(3).
16．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解 (1)∵l1⊥l2，
∴a(a－1)－b＝0.
又∵直线l1过点(－3，－1)，
∴－3a＋b＋4＝0.
故a＝2，b＝2.
(2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直线l1的斜率存在，
∴k1＝k2，即eq \f(a,b)＝1－a.
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即eq \f(4,b)＝b.
故a＝2，b＝－2或a＝eq \f(2,3)，b＝2.对应关系
l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1
l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示