苏教版 (2019)选择性必修第一册第1章 直线与方程1.5 平面上的距离第3课时教学设计及反思

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册第1章 直线与方程1.5 平面上的距离第3课时教学设计及反思，共12页。教案主要包含了几类常见的对称问题，光的反射问题，利用对称解决有关最值问题等内容，欢迎下载使用。

一、几类常见的对称问题
例1 已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．
解 (1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y′＋5,2)＝3×\f(x′＋4,2)＋3，,\f(y′－5,x′－4)×3＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝－2，,y′＝7.))
∴点P′的坐标为(－2,7)．
(2)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝3x＋3，,y＝x－2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(5,2)，,y＝－\f(9,2)，))
则点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，－\f(9,2)))在所求直线上．
在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)，
设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y0,2)＝3×\f(x0＋2,2)＋3，,\f(y0,x0－2)×3＝－1，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－\f(17,5)，,y0＝\f(9,5).))
点M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,5)，\f(9,5)))也在所求直线上．
由两点式得直线方程为eq \f(y＋\f(9,2),\f(9,5)＋\f(9,2))＝eq \f(x＋\f(5,2),－\f(17,5)＋\f(5,2))，
化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程．
(3)在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)，
则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7,4)．
因为点E′，F′在所求直线上，
所以由两点式得所求直线方程为eq \f(y－1,4－1)＝eq \f(x－6,7－6)，
即3x－y－17＝0.
反思感悟 对称问题的解决方法
(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式．
点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x,2b－y)．
(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求．
设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，点P(x0，y0)，
则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.
(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”．
设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得．
(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题．
跟踪训练1 已知P(－1,2)，M(1,3)，直线l：y＝2x＋1.
(1)求点P关于直线l的对称点R的坐标；
(2)求直线PM关于直线l的对称直线方程．
解 (1)设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2＋y,2)＝2×\f(－1＋x,2)＋1，,\f(y－2,x＋1)×2＝－1，))解得 Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,5)，\f(4,5))) .
(2)因为M(1,3)的坐标满足直线l的方程，
又点P关于直线l的对称点为Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,5)，\f(4,5)))，
则直线MR为所求的直线，方程为11x＋2y－17＝0.
二、光的反射问题
例2 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．
解 设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，
由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝－1，,8×\f(a,2)＋6×\f(b,2)＝25，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝3，))
∴点A的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，A，P两点纵坐标相等，
故反射光线所在直线的方程为y＝3.
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝3，,8x＋6y＝25，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(7,8)，,y＝3，))
由于反射光线为射线，
故反射光线的方程为y＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≤\f(7,8))).
由光的性质可知，
光线从O到P的路程即为AP的长度AP，
由A(4,3)，P(－4,3)知，AP＝4－(－4)＝8，
即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
反思感悟 根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解．
跟踪训练2 如图所示，已知点A(4，0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是( )
A．2eq \r(10) B．6 C．3eq \r(3) D．2eq \r(5)
答案 A
解析 由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.如图，点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程为CD＝2eq \r(10).
三、利用对称解决有关最值问题
例3 在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得：
(1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大；
(2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小．
解 (1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，则kBB′·kl＝－1，即eq \f(b－4,a)×1＝－1，
∴a＋b－4＝0，①
∵BB′的中点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(b＋4,2)))在直线l上，
∴eq \f(a,2)－eq \f(b＋4,2)－1＝0，即a－b－6＝0.②
由①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－1，))
∴点B′的坐标为(5，－1)．
于是AB′所在直线的方程为eq \f(y－1,－1－1)＝eq \f(x－4,5－4)，
即2x＋y－9＝0.
易知|PB－PA|＝|PB′－PA|，当且仅当P，B′，A三点共线时，|PB′－PA|最大．
∴联立直线l与AB′的方程，解得x＝eq \f(10,3)，y＝eq \f(7,3)，
即l与AB′的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，\f(7,3))).
故点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，\f(7,3))).
(2)如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1,2)，
∴AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0.
易知QA＋QC＝QA＋QC′，当且仅当Q，A，C′三点共线时，QA＋QC′最小．
∴联立直线AC′与l的方程，解得x＝eq \f(5,2)，y＝eq \f(3,2)，
即AC′与l的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(3,2))).
故点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(3,2))).
反思感悟 利用对称性求距离的最值问题
由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．
跟踪训练3 在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3,4)，则MA＋AB＋BM的最小值是( )
A．10 B．11 C．12 D．13
答案 A
解析 如图，设点M(3,4)关于y轴的对称点为P(－3,4)，关于x轴的对称点为Q(3，－4)，
则MB＝PB，MA＝AQ.
当A与B重合于坐标原点O时，
MA＋AB＋BM＝PO＋OQ＝PQ
＝eq \r([3－－3]2＋－4－42)＝10；
当A与B不重合时，MA＋AB＋BM＝AQ＋AB＋PB>PQ＝10.
综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，MA＋AB＋BM取得最小值，最小值为10.
1．知识清单：
(1)关于点点、点线、线线的对称问题．
(2)反射问题．
(3)利用对称解决有关最值问题．
2．方法归纳：转化化归、数形结合．
3．常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆．
1．点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是( )
A．(－1，－3) B．(17，－9)
C．(－1,3) D．(－17,9)
答案 A
解析 设点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为(a，b)，
则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3＋a,2)＋3×\f(b＋9,2)－10＝0，,\f(b－9,a－3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－3，))
所以该点的坐标为(－1，－3)．
2．若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则( )
A．a＝1，b＝－2 B．a＝2，b＝－1
C．a＝4，b＝3 D．a＝5，b＝2
答案 D
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－4,a－3)＝－1，,\f(a＋3,2)－\f(b＋4,2)－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝2.))
3．直线x－2y＋1＝0 关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
答案 D
解析 在直线 x－2y＋1＝0上任取两点，如：(1,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，
这两点关于直线x＝1对称的点分别为 (1,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，
两对称点所在直线的方程为 y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，即 x＋2y－3＝0.
4．已知A(3,0)，B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为( )
A．2eq \r(10) B．6 C．3eq \r(3) D.eq \r(26)
答案 D
解析 由题易知直线AB的方程为x＋y＝3，点P(0,2)关于x轴的对称点为P1(0，－2)，设点P(0,2)关于直线AB的对称点为P2(a，b)，如图，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－2,a)×－1＝－1，,\f(a,2)＋\f(2＋b,2)＝3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3.))∴P2(1,3)，
∴光线所经过的路程为PQ＋QM＋MP＝P1P2＝eq \r(12＋3＋22)＝eq \r(26).
课时对点练
1．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A．4 B.eq \r(13) C.eq \r(15) D.eq \r(17)
答案 D
解析 根据中点坐标公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－2,2)＝1，,\f(5－3,2)＝y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝1.))
所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝eq \r(4－02＋1－02)＝eq \r(17).
2．点P(2,5)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为( )
A．(6，－3) B．(3，－6)
C．(－6，－3) D．(－6,3)
答案 C
解析 设点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(x，y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－5,x－2)＝1，,\f(x＋2,2)＋\f(y＋5,2)＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－6，,y＝－3，))
故点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(－6，－3)．
3．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A．2x＋3y＋7＝0 B．3x－2y＋2＝0
C．2x＋3y＋8＝0 D．3x－2y－12＝0
答案 C
解析 ∵直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线斜率不变，
∴设对称后的直线方程l′为2x＋3y＋c＝0，
又点(1，－1)到两直线的距离相等，
∴eq \f(|2－3＋c|,\r(22＋32))＝eq \f(|2－3－6|,\r(22＋32))，
化简得|c－1|＝7，解得c＝－6 或c＝8，
∴l′的方程为2x＋3y－6＝0(舍)或 2x＋3y＋8＝0，
即直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x＋3y＋8＝0.
4．已知直线l：ax＋by＋c＝0与直线l′关于直线x＋y＝0对称，则l′的方程为( )
A．bx＋ay－c＝0 B．bx－ay＋c＝0
C．bx＋ay＋c＝0 D．bx－ay－c＝0
答案 A
5．过点(2,1)且与点(1,3)距离最大的直线方程是( )
A．2x－y－3＝0 B．2x＋y－5＝0
C．x－2y＝0 D．x＋2y－4＝0
答案 C
解析 过点(2,1)与点(1,3)的直线的斜率为eq \f(1－3,2－1)＝－2，
故过点(2,1)且与点(1,3)距离最大的直线和这两点所在直线垂直，
故所求直线的斜率为eq \f(1,2)，
故其方程为y－1＝eq \f(1,2)(x－2)，即x－2y＝0.
6．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的路程为( )
A．5eq \r(2) B．2eq \r(5) C．5eq \r(10) D．10eq \r(5)
答案 C
解析 点A(－3,5)关于x轴的对称点A′(－3，－5)，
则光线从A到B的路程即A′B的长，
A′B＝eq \r(－5－102＋－3－22)＝5eq \r(10).
即光线从A到B的路程为5eq \r(10).
7．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得MA＋MB取最小值，则点M的坐标为________．
答案 (1,0)
解析 如图，作点A关于x轴的对称点A′(－3，－8)，连接A′B，则A′B与x轴的交点即为M，连接AM.因为B(2，2)，所以直线A′B的方程为eq \f(y－2,－8－2)＝eq \f(x－2,－3－2)，即2x－y－2＝0.令y＝0，得x＝1，所以点M的坐标为(1,0)．
8．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
答案 6x－y－6＝0
解析 设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，
则反射光线所在直线过点M′，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－4,a－－3)＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0.))即点M′(1,0)．
又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为eq \f(y－0,6－0)＝eq \f(x－1,2－1)，即6x－y－6＝0.
9．已知点M(3,5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小．
解 由点M(3,5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5,1)．同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(－3,5)．由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0.
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－7＝0，,x－2y＋2＝0，))得交点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(9,4))).令x＝0，得M1M2与y轴的交点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,2))).所以当P和Q的坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(9,4)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,2)))时，△MPQ的周长最小．
10．已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A.
(1)试判断由此得到的△ABC的个数；
(2)求直线BC的方程．
解 (1)如图，设B(m,0)，点A关于x轴的对称点为A′(1，－2)，点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B′(－3，m＋3)．
根据光学知识，知点C在直线A′B上，点C又在直线B′A上，且直线A′B的方程为y＝eq \f(2,m－1)(x－m)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(2,m－1)x－m，,x－y＋3＝0，))得x＝eq \f(3－5m,m－3).
又直线AB′的方程为y－2＝eq \f(－m－1,4)(x－1)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－2＝\f(－m－1,4)x－1，,x－y＋3＝0，))得x＝eq \f(m－3,m＋5).
所以eq \f(3－5m,m－3)＝eq \f(m－3,m＋5)，即3m2＋8m－3＝0，
解得m＝eq \f(1,3)或－3.
当m＝eq \f(1,3)时，符合题意；
当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形．综上，符合题意的△ABC只有1个．
(2)由(1)得m＝eq \f(1,3)，
则直线A′B的方程为3x＋y－1＝0，
即直线BC的方程为3x＋y－1＝0.
11．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为( )
A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0
C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0
答案 B
解析 设A(a，b)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b＋1,a－1)＝－1，,\f(b－1,2)＝\f(a＋1,2)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝1，))所以A(－1,1)．
设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，
当d＝AB时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，
又－eq \f(1,kAB)＝－eq \f(1,\f(－1－1,2＋1))＝eq \f(3,2)，
所以直线l2的方程为y－1＝eq \f(3,2)(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.
12．已知A(－2,1)，B(1,2)，点C为直线y＝eq \f(1,3)x上的动点，则AC＋BC的最小值为( )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(3) C．2eq \r(5) D．2eq \r(7)
答案 C
解析 设B关于直线y＝eq \f(1,3)x的对称点为B′(x0，y0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y0－2,x0－1)＝－3，,\f(y0＋2,2)＝\f(1,3)×\f(x0＋1,2)，))解得B′(2，－1)．
由平面几何知识得AC＋BC的最小值即是B′A＝eq \r(2＋22＋－1－12)＝2eq \r(5).故选C.
13．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：eq \r(x－a2＋y－b2)可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝eq \r(x2＋4x＋20)＋eq \r(x2＋2x＋10)的最小值为( )
A．2eq \r(5) B．5eq \r(2) C．4 D．8
答案 B
解析 ∵f(x)＝eq \r(x2＋4x＋20)＋eq \r(x2＋2x＋10)
＝eq \r(x＋22＋0－42)＋eq \r(x＋12＋0－32)，
∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和，
设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′，
则A′(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可转化为求MA＋MB的最小值，
利用对称思想可知MA＋MB≥A′B＝eq \r(－1＋22＋3＋42)＝5eq \r(2)，
即f(x)＝eq \r(x2＋4x＋20)＋eq \r(x2＋2x＋10)的最小值为5eq \r(2).
14．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(－1，－4)，若将军从点A(－1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3.则“将军饮马“的最短总路程为( )
A.eq \r(13) B.eq \r(17) C．2eq \r(17) D．10
答案 C
解析 如图所示，
设点B关于直线x＋y＝3的对称点为C(a，b)，
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a－1,2)＋\f(b－4,2)＝3，,\f(b＋4,a＋1)＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝7，,b＝4，))即C(7,4)，
在直线x＋y＝3上取点P，由对称性可得PB＝PC，
所以PA＋PB＝PA＋PC≥AC
＝eq \r(－1－72＋2－42)＝2eq \r(17)，
当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马“的最短总路程为2eq \r(17).
15．若函数y＝eq \f(x,x2＋1)的图象上存在两点P，Q关于点(1,0)对称，则直线PQ的方程是________．
答案 x－4y－1＝0
解析 根据题意，设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p，\f(p,p2＋1)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(q，\f(q,q2＋1)))，
又线段PQ的中点是(1,0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(p＋q,2)＝1，,\f(p,p2＋1)＋\f(q,q2＋1)＝0，))
整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＋q＝2，,p·q＝－1，))
所以p，q为方程x2－2x－1＝0的根，
解得x＝1±eq \r(2)，
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(2)，\f(\r(2),4)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\r(2)，－\f(\r(2),4)))
或Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\r(2)，－\f(\r(2),4)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(2)，\f(\r(2),4))).
由两点式得直线PQ的方程为x－4y－1＝0.
16．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使PA＋PB最小；
(2)在直线l上求一点P，使PB－PA最大．
解 (1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－0,m－2)＝－2，,\f(m＋2,2)－2·\f(n＋0,2)＋8＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－2，,n＝8，))
故A′(－2,8)．
因为P为直线l上的一点，
则PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，
当且仅当B，P，A′三点共线时，PA＋PB取得最小值，为A′B，点P即是直线A′B与直线l的交点，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,x－2y＋8＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝3，))
故所求的点P的坐标为(－2,3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则|PB－PA|≤AB，
当且仅当A，B，P三点共线时，|PB－PA|取得最大值，为AB，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－2，,x－2y＋8＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝12，,y＝10，))
故所求的点P的坐标为(12,10)．