第17题 概率与统计——【新课标全国卷（理）】2023届高考数学二轮复习考点题号一对一

这是一份第17题 概率与统计——【新课标全国卷（理）】2023届高考数学二轮复习考点题号一对一，共20页。
1.已知羽毛球单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，下一回合继续发球；若接球方胜，则接球方得1分，且下一回合成为发球方.现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，则甲胜的概率为；若乙发球，则甲胜的概率为.比赛开始的第一回命，由甲先发球.
（1）求第四回合由甲发球的概率；
（2）若比赛采取3分制，即先得到3分的人胜出，最后比赛以的比分结束，求.
2.某大型超市为了了解节假日当天的消费情况，随机抽取了2021年元旦当天100名(男、女各50名)消费者的消费额度，并将数据整理如下：
(1)试判断是否有99%的把握认为2021年元旦当天消费者的消费额度与性别有关？
(2)现从抽取的50名女性中任意抽取3人，记表示3人中消费额度不少于300元的人数，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
参考数据：
3.随着直播电商的迅速兴起，许多农民通过短视频或直播销售，让新鲜的农产品快速直接地送到消费者手中，这种新的销售形式推动了农民收入的增加.某农副产品超市从一家电商农户购进一批总质量为1000千克的西瓜，从中随机抽取40个西瓜统计其质量，得到的结果如下表所示：
（1）以组中值为代表，试估计该批西瓜的数量是多少；（所得结果四舍五入保留整数）
（2）以频率估计概率，某顾客在这批西瓜中随机挑选3个，记这3个西瓜的质量在之间的数量为随机变量X，求X的分布列与数学期望.
4.“双减”政策明确指出要通过阅读等活动，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间.某家庭有小明和小红两个孩子，父母每天为他们安排了自由阅读的时间，约定周一到周日每天的阅读时间不能比前一天少.为了调查两人自由阅读时间的情况，父亲记录了两人某周每天的阅读时间（单位：min），如下表所示，其中小明周日的阅读时间a忘了记录，但知道，.
（1）求小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间的概率；
（2）根据小明这一周前6天的阅读时间，求其阅读时间y关于序号x的线性回归方程，并估计小明周日阅读时间a的值.
参考公式：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，.
5.2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年.某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：
（1）请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y关于x的线性回归方程.
（2）假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴.
（ⅰ）若该市E区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额；
（ⅱ）若A区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为p，，该市政府对甲、乙两人的补贴总金额的期望不超过1500元，求p的取值范围.
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
6.“五项管理”（中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质五个方面的管理）是教育部旨在推进立德树人，促进学生身体健康、全面发展的重大举措.为了解家长对“五项管理”的认知情况，某机构对该市800名在校学生的家长（不同学历）进行了问卷调查，结果如下：
（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为家长是否了解“五项管理”与学历有关；
（2）若从被调查的高中及高中以下学历的家长中，按对“五项管理”的认知情况采用分层抽样的方法抽取8人，然后从这8人中随机抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对“五项管理”了解的概率.
附：，其中.
7.在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.假设每人回答问题正确与否是相互独立的.
（1）求乙答对这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.
8.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕，A市某质量检测部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如图所示：
(1)求所抽取的100包速冻水饺的该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(2)(ⅰ)由频率分布直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布，利用该正态分布，求Z落在内的概率；
(ⅱ)将频率视为概率，若某人从该市某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中该项质量指标值位于内的包数为X，求X的分布列和数学期望.
附：计算得所抽取的这100包速冻水饺的该项质量指标值的标准差.
若，则，.
9.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)
附：.
10.2021年10月16日，搭载“神州十三号”的火箭发射升空，这是一件让全国人民普遍关注的大事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻.某机构将每天关注这件大事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表(单位：人)：
附：，其中.
(1)将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？
(2)现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为X，求X的分布列和数学期望.
11.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，规定成绩为80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）.
（1）求图中a的值；
（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有85%的把握认为能否晋级成功与性别有关：
附：
（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望.
12.随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提髙，某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数量(单位：万辆)的情况如下表.
其中，2，3，…，时间变量对应的机动车纯增数量为，且通过数据分析得到时间变量x与对应的机动车纯增数量y(单位：万辆)具有线性相关关系.
(1)求机动车纯增数量y关于时间变量x的回归方程，并预测2025~2030年间该市机动车纯增数量的值；
(2)该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到的2×2列联表如下表.
根据列联表判断，能否有99%的把握认为对限行是否赞同与拥有私家车有关？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
，.
13.每年的12月4日为我国的“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480、360、360.为检查该学校组织学生学习的效果，现采用分层随机抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：每名被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行回答，所抽取的4个问题全部答对的学生将给予表彰.
（1）求各个年级应选取的学生人数；
（2）若从被选取的10名学生中任选3名学生，求这3名学生分别来自三个年级的概率；
（3）若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题，记X表示该名学生答对问题的道数，求随机变量X的分布列及数学期望.
14.在微博知名美食视频博主李子柒的引领下，大家越来越向往田园生活，一大型餐饮企业拟对一个生态农家乐进行升级改造，加入量的农耕活动以及自己制作农产品活动，根据市场调研与模拟，得到升级改造投入x（万元）与升级改造直接收益y（万元）的数据统计如下：
当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为：．
（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对生态园升级改造的投入为17万元时的直接收益．
（附：刻画回归效果的相关指数，．）
（2）为鼓励生态创新，当升级改造的投入不少于20万元时，国家给予公司补贴收益10万元，以回归方程为预测依据，比较升级改造投17万元与20万元时公司实际收益的大小；
（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式，）
15.2020年智能化在国内加速跃升，某开发商发布全新健康智能手表 Tic Watch GTH，能够24小时不间断测量体温，用户可随时从腕间轻松获取体温、血氧、心率、呼吸率四大重要健康数据指标.该智能手表内置±0.1℃高精度数字温度传感器，24小时连续监测体表温度，每隔10分钟即可自动完成测温，形成体温变化报告，并在体温异常时发出预警.下表反映某地区2020年1-7月份x与智能手表销售数量y（单位：万部）的数据：
（1）作出1-7月份销售数量y随月份x变化的散点图；
（2）计算y关于x的相关系数r，并根据相关系数说明y与x是否有较强的线性相关性？（当相关系数时，可视为两个变量之间高度线性相关，结果精确到0.001）；
（3）求y关于x的线性回归方程.
附注：
参考数据：，，.
参考公式：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
答案以及解析
1.答案：（1）
（2）
解析：（1）若第四回合由甲发球，则由题意知，第三回合甲胜.
记每回合甲胜为“+”，甲败为“”，则前三回合的所有胜负情况为+++，++，++，+，
故第四回合由甲发球的概率.
（2）X的所有可能取值为0，1，2，
，
当时，甲胜出的概率为，
乙胜出的概率为，
则，
，
故.
2.答案：(1)没有99%的把握认为2021年元旦当天消费者的消费额度与性别有关.
(2)分布列见解析，数学期望为.
解析：(1)由题意，2×2列联表如下：
所以，
故没有99%的把握认为2021年元旦当天消费者的消费额度与性别有关.
(2)由题知，的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列是
.
3.答案：（1）该批西瓜的数量约为222
（2）
解析：（1）由题可得，样本中40个西瓜的平均质量为，
（个），所以该批西瓜的数量约为222.
（2）由表格可知，样本的40个西瓜中质量在之间的频率为，
所以估计农副产品超市购进的这批西瓜中，质量在之间的频率为，
以频率估计概率，随机挑一个西瓜，质量在之间的概率为，
所以该顾客挑选的3个西瓜中，质量在之间的数量，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
且；
；
；
.
所以X的分布列为
所以.
4.答案：（1）小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间的概率为
（2）估计小明周日阅读时间a的值为38
解析：（1）由题意知，，所以a的取值一共有25种情况.
令，解得，
又，，
所以当小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间时，a的取值一共有16种情况.
所以小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间的概率为.
（2）由题可得，
，
，
，
所以，
则，
所以y关于x的线性回归方程为.
当时，.
故估计小明周日阅读时间a的值为38.
5.答案：（1）
（2）（ⅰ）估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额为1750万元
（ⅱ）
解析：（1）由题，，，
，
，
，
所以相关系数，
因为y与x之间的相关系数近似为0.99，说明y与x之间的线性相关程度非常强，所以可用线性回归模型拟合y与x之间的关系.
，
，
故y关于x的线性回归方程为.
（2）（ⅰ）将代入，得，
故估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额为（万元）.
（ⅱ）设甲、乙两人中选择就地过年的人数为X，
则X的所有可能取值为0，1，2，
，
，
.
所以，
所以，
由，得，
又，所以，
故p的取值范围为.
6.答案：（1）列联表见解析，有的把握认为家长是否了解“五项管理”与学历有关
（2）
解析：（1）补全的列联表如下：
根据列联表得，
故有的把握认为家长是否了解“五项管理”与学历有关.
（2）抽取的8人中，不了解“五项管理”的家长有（人），
了解“五项管理”的家长有（人）.
解法一 被选中的2人中至少有1人对“五项管理”了解的概率.
解法二 被选中的2人中至少有1人对“五项管理”了解的概率.
7.答案：（1）
（2）
解析：（1）记甲、乙、丙三人独自答对这道题分别为事件A，B，C，
设乙答对这道题的概率，
由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A，B，C是相互独立事件.
由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，
得，解得.
所以乙答对这道题的概率为.
（2）设丙答对这道题的概率，
由（1），并根据相互独立事件同时发生的概率公式，
得，解得.
甲、乙、丙三人都回答错误的概率为.
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
所以所求事件的概率为.
8.答案：(1)
(2)(ⅰ)0.6827；(ⅱ)
解析：(1)所抽取的100包速冻水饺的该项质量指标值的平均数为
.
(2)(ⅰ)服从正态分布，且，，
，落在内的概率是0.6827.
(ⅱ)根据题意得，；
；；
；.
的分布列为
.
9.答案：(1)产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为20%
(2)平均数与标准差的估计值分别为30%，17%
解析：(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为.产值负增长的企业频率为.
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为20%.
(2)，
，
.
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.
10.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)由题意，得列联表如下：
，
所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关.
(2)由题得，抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文爱好者”有20人，“非天文爱好者”有30人，
所以按分层抽样在50个女性人群中抽取5人，则有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”，
再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为X，则X的可能值为0，1，2，
，
，
，
所以X的分布列如下表：
所以数学期望为：.
11.答案：（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，
可知，
解得.
（2）由频率分布直方图，知晋级成功的频率为，
所以晋级成功的人数为，
填表如下：
所以，
所以有85%的把握认为能否晋级成功与性别有关.
（3）由（2）知晋级失败的频率为，
将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，此人晋级失败的概率为，
所以X可视为服从参数为4，的二项分布，即，
故，
，
，
，
.
所以X的分布列为
（或）.
12.答案：(1)，2025~2030年间该市机动车约纯增34.8万辆
(2)有99%的把握认为对限行是否赞同与拥有私家车有关
解析：(1)由机动车的纯增数量表可知
，，
所以，
因为回归直线过样本点的中心，所以，
解得，所以.
当年度周期为2025~2030时，，所以，
所以2025~2030年间该市机动车约纯增34.8万辆.
(2)根据列联表，计算得的观测值.
因为，
所以有99%的把握认为对限行是否赞同与拥有私家车有关.
13.答案：（1）由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为，由于采用分层随机抽样的方法从中选取10名学生，因此，高一年级应选取4名学生，高二年级应选取3名学生，高三年级应选取3名学生.
（2）由（1）知，被选取的10名学生中，高一、高二、高三年级分别有4名、3名、3名学生，所以从这10名学生中任选3名，这3名学生分别来自三个年级的概率为.
（3）由题意知，随机变量X的可能取值为1，2，3，4，且X服从超几何分布，.
所以随机变量X的分布列为
所以.
14.答案：（1）由表格中的数据，有，即，
所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．
所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值为．
（亿元）.
（2）由已知可得：，所以．
，所以．
.
所以当亿元时，y与x满足的线性回归方程为：．
所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值．
所以当亿元时，实际收益的预测值为亿元.
即79.3亿元亿元.
所以技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大．
15.答案：(1)作出散点图如图所示，
(2)，
，
，
因为，故y与x有较强的线性相关性.
(3)，
，
故y关与x的线性回归方程为.
少于300元
不少于300元
男性
13
27
女性
25
25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
质量/千克
数量/个
2
6
10
16
4
2
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
序号x
1
2
3
4
5
6
7
小明的阅读时间y/min
16
20
20
25
30
36
a
小红的阅读时间z/min
6
22
25
26
32
35
35
A区
B区
C区
D区
外来务工人数x/万
3
4
5
6
就地过年人数y/万
2.5
3
4
4.5
家长学历
小学及以下
初中
高中
大学专科
大学本科
硕士研究生及以上
不了解
30
25
45
25
24
1
了解
45
70
185
140
180
30
高中及高中以下学历
高中以上学历
合计
不了解
了解
合计
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
y的分组
企业数
2
24
53
14
7
天文爱好者
非天文爱好者
合计
女
20
50
男
15
合计
100
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
晋级成功
晋级失败
总计
男
16
女
50
总计
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
k
0.780
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
年度周期
1995~2000
2000~2005
2005~2010
2010~2015
2015~2020
时间变量
1
2
3
4
5
纯增数量/万辆
3
6
9
15
27
赞同限行
不赞同限行
合计
没有私家车
90
20
110
有私家车
70
40
110
合计
160
60
220
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
x
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
y
13
22
31
42
50
56
58
68.5
68
67.5
66
66
回归模型
模型①
模型②
回归方程
182.4
79.2
月份x
1
2
3
4
5
6
销售数量y（万部）
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
少于300元
不少于300元
总计
男性
13
37
50
女性
25
25
50
总计
38
62
100
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
高中及高中以下学历
高中以上学历
合计
不了解
100
50
150
了解
300
350
650
合计
400
400
800
X
0
1
2
3
4
P
天文爱好者
非天文爱好者
合计
女
20
30
50
男
35
15
50
合计
55
45
100
X
0
1
2
P
晋级成功
晋级失败
总计
男
16
34
50
女
9
41
50
总计
25
75
100
X
0
1
2
3
4
P
X
1
2
3
4
P