北师大版初中数学八年级下册期中测试卷（困难）（含答案解析）

这是一份北师大版初中数学八年级下册期中测试卷（困难）（含答案解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北师大版初中数学八年级下册期中测试卷考试范围：第一二三章； 考试时间：100分钟；总分120分，学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）如图，在中，，，，平分，于，与相交于，则的长是
A.  B.  C.  D. 已知如图等腰，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：
；；是等边三角形；其中正确的是
A.  B.  C.  D. 如果不等式只有三个正整数解，那么的取值范围是  A.  B.  C.  D. 若不等式组，只有三个整数解，则的取值范围为        A.  B.  C.  D. 如图，在平面直角坐标系中，点点第次向上跳动个单位至点，紧接着第次向左跳动个单位至点，第次向上跳动个单位至点，第次向右跳动个单位至点，第次又向上跳动个单位至点，第次向左跳动个单位至点，照此规律，点第次跳动至点的坐标是
A.  B.  C.  D. 如图，在中，，，直线于点，是上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接，则在点的运动过程中，的最小值是A.
B.
C.
D. 若关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是A.  B.  C.  D. 如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，与正比例函数交于点，已知点的横坐标为，下列结论：关于的方程的解为；对于直线，当时，；对于直线，当时，；方程组的解为，其中正确的是
A.  B.  C.  D. 如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，若，则的边长为A.  B.  C.  D. 同学们，手拉手模型是全等证明中常见的类型．如图，，均为为等边三角形，，，三点在一条直线上，下列结论中正确的有几个≌≌垂直
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个如图，∽，，，为的中点，，将绕点旋转一周，直线，交于点，连接，则的最小值是
A.  B.  C.  D. 在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点中心对称，再作与关于点中心对称，如此作下去，则是正整数的顶点的坐标是
A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）如图，已知中，，，斜边，点是三角形内的一动点，则的最小值是______．
  如图，在中，，把绕点逆时针旋转得到，连接当旋转角为______度时，．
若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是______．如图，一次函数的图象过点，且与轴相交于点若点是轴上的一点，且满足是等腰三角形，则点的坐标可以是      ．


    三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）已知直线，点、分别为，上的动点，且，平分交于．

若，，如图，求与的度数？
延长交直线于，这时，如图，平分交于点，问是否为定值？若是，请求值；若不是，请说明理由．






 如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点已知，． 求证：；求的长．






 解不等式组，并求它的整数解．






 已知不等式的负整数解是方程的解，试求出不等式组的解集．






 如图，已知，是等边三角形，点为射线上任意一点点与点不重合，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交直线于．
如图，猜想______；
如图，若当是锐角时，其他条件不变，猜想的度数，并证明；
如图，若，，且，求的长．







 在中，，，为中点，点为延长线上一点，，连接，，．
如图将射线绕点逆时针旋转交延长线于点，且
在图中找出与相等的角，并加以证明
求的值；
如图若将射线绕点顺时针旋转交延长线于点，求的长用含有，的式子表示







 如图，等腰中，，，以为旋转中心，顺时针旋转到位置，使点落在边的延长线上的处，连接和．
求证：≌；
请判断的形状，并证明你的结论．






 春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要很长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，售票时售票厅每分钟新增购票人数人，每分钟每个售票窗口出售票数张．某一天售票厅开始用四个窗口售票，过了分钟售票厅大约还有人排队等候规定每人只购一张票．求的值；若要在开始售票后半小时内让所有排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到随购，现在至少还需要增加几个售票窗口？







答案和解析 1.【答案】
 【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理、角平分线的性质定理及等腰三角形的判定等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
过点作于点，由，，可得  ，由平行线的性质可得；在中，由勾股定理求得的值；由判定≌，由全等三角形的性质可得及的值，进而可判定设，则，在中，由勾股定理得关于的方程，解得的值即为的长．
【解答】
解：过点作于点，如图：

于，
  ，
，
在中，，
，
又平分，，
．
在中，，，，
．
在和中，
，
≌，
，，
，，
．
设，则，
在中，由勾股定理得：
，
解得
的长是．
故选：．  2.【答案】
 【解析】【分析】
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解；因为点是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断；证明且，即可证得是等边三角形；首先证明≌，则，．
【解答】
解：如图，连接，

，，
，，
，
，
，
，，
；故正确；
由知：，，
点是线段上一点，
与不一定相等，则与不一定相等，故不正确；
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；故正确；
如图，在上截取，连接，

，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，

≌，
，
；故正确；
本题正确的结论有：，
故选A．  3.【答案】
 【解析】【分析】本题考查一元一次不等式的整数解的应用，能得出关于的不等式是解此题的关键．【解答】解：，
，
，
不等式只有三个正整数解，
三个正整数解为，，，
，
，
故选C．  4.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，能根据已知不等式组的解集和整数解确定的取值范围是解此题的关键．先确定不等式组的整数解，再求出的范围即可．
【解答】
解：
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
又不等式组只有三个整数解，
，
故选A．  5.【答案】
 【解析】解：设第次跳动至点，
观察发现：，，，，，，，，，，，
，，，为自然数．
，
，即．
故选：．
设第次跳动至点，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，”，依此规律结合即可得出点的坐标．
本题考查了规律型中点的坐标，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，为自然数”是解题的关键．
 6.【答案】
 【解析】解：取线段的中点，连接，如图所示．
，，
为等边三角形，且为的对称轴，
，，
，
．
在和中，
，
≌，
．
当时，最小，
点为的中点，
此时．
故选：．
取线段的中点，连接，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出以及，由旋转的性质可得出，由此即可利用全等三角形的判定定理证出≌，进而即可得出，再根据点为的中点，即可得出的最小值，此题得解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出．
 7.【答案】
 【解析】解：，
由解得：，
由解得：，
故不等式组的解集为，
由不等式组的整数解有个，得到整数解为，，，
则的范围为．
故选：．
分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有个，即可得到的范围．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集，根据题意找出整数解是解本题的关键．
 8.【答案】
 【解析】【分析】
此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程可以化成一次函数．
根据已知条件得到，把代入得到，当时，，当时，，求得，，于是得到结论．
【解答】
解：点的横坐标为，
当时，，
，
把代入得，，
，
当时，，当时，，
，，
关于的方程的解为，正确；
对于直线，当时，，正确；
对于直线，当时，，故错误；
，
方程组的解为，正确；
故选B．  9.【答案】
 【解析】【分析】
此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出，，，进而发现规律是解题关键．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，进而得到，，再根据勾股定理即可解答．
【解答】
解：

是等边三角形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
、是等边三角形，
，，
，
，，
，，
，，
，，，
以此类推：，，
是直角三角形，，
，
故选C．  10.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，角平分线的判定，有一定难度．
根据等边三角形边相等、角相等，利用易证得≌，得到，进而利用证得≌，于是，从而得到是等边三角形，因此；作，，证明，可判定平分，从而求出，而不能证明，即可解答．
【解答】
解：，均为为等边三角形，
，，，
，，
，
，故正确．
，均为等边三角形，
，，
，，三点在一条直线上，
，
，
，
，
，故正确．
，
，
，
是等边三角形，
，故正确．
，
，
，
，，
，
，
如图，作，，

，
，且，
，
，
平分，
，故正确．
证明垂直条件不足，故错误．
故选C．  11.【答案】
 【解析】【分析】
 本题考查的是旋转的性质、相似三角形的判定和性质，掌握旋转前、后的图形全等以及全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理证明∽，得到，得到，求出和，根据三角形三边关系解答即可．
【解答】
解：取的中点，连接、，则，

，，，
，，
，
，
∽，
：：，
∽，
，
 ，
，，
，
又是的中点，
，
为的中点，是的中点，
，
的最小值是．
故选A．  12.【答案】
 【解析】【分析】
此题主要考查了坐标与图形变化旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出的横坐标、纵坐标的变化规律．
首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，求出的坐标是多少即可．
【解答】
解：是边长为的等边三角形，
的坐标为，的坐标为，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，的坐标为，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，的坐标为，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，
，
，，，，，
的横坐标是，的横坐标是，
当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是，
顶点的纵坐标是，
是正整数的顶点的坐标是
故选：．  13.【答案】
 【解析】解：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，过点作的垂线，交的延长线于，

，，，
，，
将绕点顺时针旋转，得到，
≌，
，，，，，
是等边三角形，
，
，
当点，点，点，点共线时，有最小值，最小值为，
，
，
，
，
，，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
将绕点顺时针旋转，得到，连接，，过点作的垂线，交的延长线于，可证，则当点，点，点，点共线时，有最小值，最小值为，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是利用旋转变换添加辅助线，用转化的思想思考问题并解决问题．
 14.【答案】或
 【解析】解：如图中，过点作于点，根点作于点．

，，
，
，
，，，
，
，
，
，
如图中，当时，同法可证，

，
故答案为：或．
分两种情形：如图中，过点作于点，根点作于点证明，可得，如图中，当时，同法可证，
此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定，直角三角形角的判定等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．
 15.【答案】
 【解析】解：解不等式得，
都能使不等式成立，
当，即时，则都能使恒成立；
当，则不等式的解要改变方向，
，即，
不等式的解集为，
都能使成立，
，
，
，
综上所述，的取值范围是．
故答案为：．
解不等式得，据此知都能使不等式成立，再分和两种情况分别求解．
本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及不等式的基本性质．
 16.【答案】，，，
 【解析】略
 17.【答案】解：如图，作．

，
，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，
，
，
．
为定值．
理由：如图中，设，．

则有：
可得：．
 【解析】如图，作证明即可解决问题．
结论：为定值．如图中，设，构建方程组即可解决问题．
本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，是中档题．
 18.【答案】证明：已知，
两直线平行，内错角相等，
是的中点已知，
中点的定义．
在与中，
 ，
≌，
；
≌，
，，
是线段的垂直平分线，
，
，，．
．
 【解析】本题主要考查了全等三角形的判定及线段垂直平分线的性质．根据可知，再根据是的中点可求出≌，根据全等三角形的性质即可解答． 
根据线段垂直平分线的性质判断出即可．
 19.【答案】解：，解不等式得，解不等式得，所以不等式组的解集为，满足条件的整数解为，，，．
 【解析】本题主要考查一元一次不等式组的解法及求特殊解，可分别求解两不等式的解集，再取其公共部分即可求不等式组的解集，进而可找出符合条件的整数解．
 20.【答案】解：，
，
，
，
不等式得负整数解，
把代入得：，
解得：，
把代入不等式组得，
解不等式组得：．
 【解析】求出不等式得负整数解，求出的值，代入不等式组，求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，解不等式组的应用，主要考查学生的计算能力．
 21.【答案】解：；
．
理由如下：如图，

是等边三角形，
，，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
；
作于，如图，

与一样可证明≌，
，
，，
，，
由，
为等腰直角三角形，，
则，即，
解答，
，
在中，，
，由勾股定理可得，
，
．
 【解析】解：；
证明：如图，与的交点记为，

，且，
是等边三角形，
，，
则和中，
，
≌，
，
在和中，，
．
故答案为：；

见答案；
见答案．
先利用等边三角形和旋转性质，判断出≌，依次可得出度数；
同也根据“”可证明≌，得到，然后利用三角形内角和定理可得到；
作于，与一样可证明≌，则，由，，利用勾股定理依次求得得出长度，长度即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质和判定，判断出≌是解本题的关键．
 22.【答案】解：结论：．
理由：如图中，连接．

，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．

如图中，连接、作交于．

，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
或舍弃，
．

如图中，连接、作交于．

，
，
，
，
∽，
，
，
．
 【解析】由，推出，由，推出；
如图中，连接、作交于首先证明≌，推出，由，可得，推出，根据，可得，整理得：，推出即可解决问题；
如图中，连接、作交于由∽，可得，即可解决问题；
本题考查几何变换综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
 23.【答案】解：证明：等腰中，，，
，
由旋转可得：≌，
，，，
又、、三点共线，
，
，
，
又，
，
，
，
在和中，，
≌；
为等腰三角形，理由为：
证明：≌，
，又，
，即、、三点共线，
又，，
，
，即为等腰三角形．
 【解析】由等腰中，，，理由等边对等角得到一对底角相等，再利用内角和定理求出底角的度数，再由顺时针旋转到位置，利用旋转的性质得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等及对应角相等得到，，，由得到三角形为等腰三角形，由三角形的内角和定理求出为，与相等，利用等角对等边得到，而，故得到，利用可得出三角形与三角形全等；
为等腰三角形，理由为：由第一问得出的三角形与全等，利用全等三角形的对应角相等得到，而，得出两角互补，即为邻补角，进而确定出、、三点共线，由求出的度数，发现与的度数相等，利用等角对等边可得出，即三角形为等腰三角形．
此题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及旋转的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
 24.【答案】解：由题意，得， 
解得．设还需要增加个售票窗口． 
由题意，得，  解得 
因为为正整数，所以的最小值为 
故现在至少还需要增加个售票窗口．
 【解析】略