2022年山东省枣庄市薛城区北临城中学中考数学模拟试卷（含答案解析）

这是一份2022年山东省枣庄市薛城区北临城中学中考数学模拟试卷（含答案解析），共24页。试卷主要包含了93×108B，上述说法正确的是，【答案】C，3×107，【答案】D，【答案】B，【答案】A等内容，欢迎下载使用。

2022年山东省枣庄市薛城区北临城中学中考数学模拟试卷

1. 12的倒数的相反数是( )
A. 12 B. 2 C. −2 D. −12
2. 下列计算正确的是( )
A. (−a+b)(−a−b)=b2−a2 B. x+2y=3xy
C. 18−32=0 D. (−a3)2=−a6
3. 近年来，国家重视精准扶贫，收效显著.据统计截至2020年底约有9300万人脱贫，把9300万用科学记数法表示，正确的是( )
A. 0.93×108 B. 9.3×108 C. 9.3×107 D. 93×106
4. 如图所示的几何体的俯视图是( )


A. B. C. D.
5. 如图，将直尺与30∘角的三角尺叠放在一起，若∠1=40∘，则∠2的大小是( )

A. 40∘ B. 60∘ C. 70∘ D. 80∘
6. 如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式( )

A. x2−2x+1=(x−1)2 B. x2−1=(x+1)(x−1)
C. x2+2x+1=(x+1)2 D. x2−x=x(x−1)
7. 如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为( )


A. 12 B. 22 C. 2 D. 22
8. 如图，△ABC中，顶点A、B均在第二象限，点C的坐标是(−1,0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC的位似比为2：1，设点B的对应点B′的横坐标是3，则点B的横坐标是( )
A. −32 B. −2 C. −52 D. −3
9. 如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：
①分别以点C和点D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；
②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE.
则下列说法错误的是( )
A. ∠ABC=60∘ B. S△ABE=2S△ADE
C. 若AB=4，则BE=47 D. sin∠CBE=2114
10. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，将D边绕点A顺时针旋转，使点D正好落在BC边上的点D′处，则阴影部分的扇形面积为( )
A. π B. π2 C. π3 D. 4π3
11. 如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A、点C在双曲线y=kx(k>0,x>0)上．若直线BC的解析式为y=12x−2，则k的值为( )


A. 24 B. 12 C. 6 D. 4
12. 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为x=12，且经过点(2,0)，有下列说法：①abc<0；②a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(0,y1)，(1,y2)是抛物线上的两点，则y1=y2.上述说法正确的是( )

A. ①②④ B. ③④ C. ①③④ D. ①②
13. 数轴上点A、B的位置如图所示，若点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为______.

14. 已知关于x的一元二次方程(m−2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个实数根，则m的取值范围是______.
15. 已知a+2b=103，3a+4b=163，则a+b的值为______.
16. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=4x(x>0)与y=x−1的图象交于点P(a,b)，则代数式1a−1b的值为______ .





17. 如图，已知矩形ABCD，AB=2，AD=23，点E为对角线AC上一点(不与A、C重合)，过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF，则DEEF的值等于______ .
18. 如图，在Rt△AOB中，OA=OB=42.⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ长的最小值为______.



19. 先化简再求值：求代数式(2x−1x−1−x−1)÷x−2x2−2x+1的值，其中x=2+1.







20. 九(1)班针对“你最向往的研学目标”的问题对全班学生进行了调查(共提供A、B、C、D四个研学目标，每名学生从中分别选一个目标)，并根据调查结果列出统计表绘制扇形统计图.
男、女生最向往的研学目标人数统计表
目标
A
B
C
D
男生(人数)
7
m
2
5
女生(人数)
9
4
2
n
根据以上信息解决下列问题：
(1)m=______ ，n=______ ；
(2)扇形统计图中A所对应扇形的圆心角度数为______ ；
(3)从最向往的研学目标为C的4名学生中随机选取2名学生参加竞标演说，求所选取的2名学生中恰好有一名男生、一名女生的概率.








21. 某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1//l2，点A、B分别在l1、l2上，斜坡AB的长为18米，过点B作BC⊥l1于点C，且线段AC的长为26米．

(1)求该斜坡的坡高BC；(结果用最简根式表示)
(2)为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60∘，过点M作MN⊥l1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？







22. 如图，一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=kx(k为常数且k≠0)的图象相交于A(−1,m)，B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0)，使平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，求b的值．







23. 在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．

(1)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是______，CE与AD的位置关系是______；
(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理)；
(3)如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=23，BE=219，求四边形ADPE的面积．







24. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点P是⊙O上一点，且PA=PC，PD//AC，与BA的延长线交于点D.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)若tan∠PAC=23，AC=12，求直径AB的长．








25. 如图所示，抛物线y=x2−2x−3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
(1)求点C及顶点M的坐标．
(2)若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．
(3)直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．







答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：12的倒数是2，2的相反数是−2.
故选C.
首先求得12的倒数，再求得相反数即可．
主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

2.【答案】C

【解析】解：A、(−a+b)(−a−b)=a2−b2，计算错误，不符合题意；
B、x和2y不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；
C、18−32=0，计算正确，符合题意；
D、(−a3)2=a6，计算错误，不符合题意．
故选：C.
根据平方差公式、合并同类项和积的乘方判断即可．
此题考查平方差公式、合并同类项和积的乘方，关键是根据法则计算解答．

3.【答案】C

【解析】解：9300万=93000000=9.3×107.
故选：C.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4.【答案】C

【解析】解：从上面看，是一行两个矩形，且左边的矩形的长比右边的矩形的长大得多．
故选：C.
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

5.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．首先根据平角的定义求出∠3=80∘，再由平行线的性质求解即可．
【解答】
解：如图，

由题意得∠4=60∘，
∵∠1=40∘，
∴∠3=180∘−60∘−40∘=80∘，
∵AB//CD，
∴∠3=∠2=80∘，
故选D.  
6.【答案】B

【解析】解：由图可知，
图1的面积为：x2−12，
图2的面积为：(x+1)(x−1)，
所以x2−1=(x+1)(x−1).
故选：B.
根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可．
本题考查列代数式平方差公式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．

7.【答案】A

【解析】解：如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，


AD=22+22=22，BD=12+12=2，
∴tanA=BDAD=222=12，
故选：A.
根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根据三角函数的意义可求出tanA的值．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．

8.【答案】D

【解析】解：过点B作BE⊥x轴于E，过点B′作BF⊥x轴于F，
则BE//B′F，
∴△CBE∽△CB′F，
∴CECF=CBCB′，
∵点C的坐标是(−1,0)，
∴OC=1，
∴CF=4，
∵△A′B′C′与△ABC的位似比为2：1，
∴CBCB′=12，
∴CE4=12，
∴CE=2，
∴点B的横坐标是−3，
故选：D.
过点B作BE⊥x轴于E，过点B′作BF⊥x轴于F，根据相似三角形的性质得到CECF=CBCB′，根据位似比出去CE，根据坐标与图形性质求出点B的横坐标．
本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形、相似三角形的性质是解题的关键．

9.【答案】C

【解析】解：由作法得AE垂直平分CD，即CE=DE，AE⊥CD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD=2DE，AB//DE，
在Rt△ADE中，cosD=DEAD=12，
∴∠D=60∘，
∴∠ABC=60∘，所以A选项的结论正确；
∵S△ABE=12AB⋅AE，S△ADE=12DE⋅AE，
而AB=2DE，
∴S△ABE=2S△ADE，所以B选项的结论正确；
若AB=4，则DE=2，
∴AE=23，
在Rt△ABE中，BE=42+(23)2=27，所以C选项的结论错误；
作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，
设AB=4a，则CE=2a，BC=4a，BE=27a，
在△CHE中，∠ECH=∠D=60∘，
∴CH=a，EH=3a，
∴sin∠CBE=EHBE=3a27a=2114，所以D选项的结论正确．
故选：C.
利用基本作图得到AE垂直平分CD，再根据菱形的性质得到AD=CD=2DE，AB//DE，利用三角函数求出∠D=60∘，则可对A选项进行判断；利用三角形面积公式可对B选项进行判断；当AB=4，则DE=2，先计算出AE=23，再利用勾股定理计算出BE=27，则可对C选项进行判断；作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，设AB=4a，则CE=2a，BC=4a，BE=27a，先计算出CH=a，EH=3a，则可根据正弦的定义对D选项进行判断．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了菱形的性质和解直角三角形．

10.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查的是矩形的性质，旋转的性质，扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
先根据图形旋转的性质得出AD′的长，再根据直角三角形的性质得出∠AD′B的度数，进而得出∠DAD′的度数，由扇形的面积公式S=nπR2360即可得出结论．
【解答】
解：∵线段AD′由线段AD旋转而成，AD=4，
∴AD′=AD=4.
∵AB=2，∠ABD′=90∘，
∴sin∠AD′B=ABAD′=12，
∴∠AD′B=30∘.
∵AD//BC，
∴∠DAD′=∠AD′B=30∘，

故选D.  
11.【答案】C

【解析】解：分别过点A、B作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则∠BMA=∠CNB=90∘，
∵正方形ABCD，
∴∠ABC=90∘，AB=BC，
∴∠MBA+∠BAM=90∘，∠MBA+∠CBN=90∘，
∴∠BAM=∠CBN.
在△ABM和△BCN中，
∠BAM=∠CBN∠AMB=∠BNCAB=BC，
∴△ABM≌△BCN(AAS)，
∴BN=AM，BM=CN，
由直线y=12x−2可知B(4,0)，E(0,−2)，
∵∠OBE=∠NBC，∠BOE=∠BNC=90∘，
∴△BOE∽△BNC，
∴BNCN=OBOE=42=2，
∴BN=2CN，
∴设C(4+2a,a)，则B(4−a,2a)，
都在y=y=kx(k>0,x>0)上，
∴k=(4+2a)⋅a=(4−a)⋅2a，
解得a=1.
∴C(6,1)，
∴k=6×1=6，
故选：C.
过点A、B作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，可证明△ABM≌△BNC，得到BN=AM，BM=CN，可证明△BOE∽△BNC，得到BN=2CN，设C(4+2a,a)，则B(4−a,2a)，得到k=(4+2a)⋅a=(4−a)⋅2a，求得a的值，得到C的坐标，从而求得k的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、正方形的性质，构造三角形全等求得C点坐标是解题的关键．

12.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a>0时，二次函数的图象开口向上，当a<0时，二次函数的图象开口向下．
①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；
②根据对称轴求出b=−a；
③把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系；
④求出点(0,y1)关于直线x=12的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小．
【解答】
解：①∵二次函数的图象开口向下，
∴a<0，
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，
∴c>0，
∵对称轴是直线x=12，
∴−b2a=12，
∴b=−a>0，
∴abc<0.
故①正确；
②∵由①中知b=−a，
∴a+b=0，
故②正确；
③把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，
∵抛物线经过点(2,0)，
∴当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0.
故③错误；
④∵(0,y1)关于直线x=12的对称点的坐标是(1,y1)，
∴y1=y2.
故④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故选A.  
13.【答案】−5

【解析】解：如图，点A表示的数是−1，点B表示的数是3，所以，|AB|=4；
又点B关于点A的对称点为C，所以，点C到点A的距离|AC|=4，
设点C表示的数为x，
则，−1−x=4，
x=−5；
故答案为：−5.
点A表示的数是−1，点B表示的数是3，所以，|AB|=4；点B关于点A的对称点为C，所以，点C到点A的距离|AC|=4，即，设点C表示的数为x，则，−1−x=4，解出即可解答；
此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．

14.【答案】m≥34且m≠2

【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m−2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个实数根，
∴△=(2m+1)2−4(m−2)2≥0m−2≠0，解得m≥34且m≠2.
故答案为：m≥34且m≠2.
先根据关于x的一元二次方程(m−2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个实数根得出△=0，m−2≠0，求出m的取值范围即可．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac的关系是解答此题的关键．

15.【答案】1

【解析】解：a+2b=103①，3a+4b=163②，
②-①得2a+2b=2，
解得a+b=1.
故答案为：1.
用方程3a+4b=163减去a+2b=103，即可得出2a+2b=2，进而得出a+b=1.
此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键．

16.【答案】−14

【解析】解：函数y=4x(x>0)与y=x−1的图象交于点P(a,b)，
∴ab=4，b=a−1，
∴b−a=−1，
∴1a−1b=b−aab=−14=−14.
故答案为−14.
由题意得，函数y=4x(x>0)与y=x−1的图象交于点P(a,b)，则ab=4，b=a−1，进而求解．
本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．

17.【答案】3

【解析】解：过点E作EM⊥BC，EN⊥DC于点M和N，
∴EM//AB，EN//AD，

∴ENAD=CECA，EMAB=CECA，
∴EN23=EM2，
∴ENEM=232=3，
∵∠MEN=∠FED=90∘，
∴∠MEF=∠NED，
∵∠EMF=∠END=90∘，
∴△END∽△EMF，
∴DEEF=ENEM，
∴DEEF=3.
故答案为：3.
过点E作EM⊥BC，EN⊥DC于点M和N，根据EM//AB，EN//AD，对应边成比例，再证明△END∽△EMF，即可求出结果．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．

18.【答案】23

【解析】解：连接OQ.
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2=OP2−OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=42，
∴AB=2OA=8，
∴OP=OA⋅OBAB=4，
∴PQ=OP2−OQ2=23.
故答案为23.
首先连接OQ，根据勾股定理知PQ2=OP2−OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．
本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键．

19.【答案】解：(2x−1x−1−x−1)÷x−2x2−2x+1
=[2x−1x−1−(x+1)]÷x−2(x−1)2
=(2x−1)−(x+1)(x−1)x−1⋅(x−1)2x−2
=2x−x2x−1⋅(x−1)2x−2
=−x(x−2)x−1⋅(x−1)2x−2
=−x(x−1)，
当x=2+1时，
原式=−(2+1)×(2+1−1)
=−(2−1)×2
=−2+2.

【解析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．

20.【答案】83144∘

【解析】解：(1)样本容量=(2+2)÷30%=40，
依据题意得：(4+m)=40×30%，
解得：m=8；
n=40−7−8−2−5−9−4−2=3；
故答案为：8、3；

(2)(7+9)÷40×360∘=144∘；
故答案为：144∘.
(3)列表得：

男1
男2
女1
女2
男1
--
男2男1
女1男1
女2男1
男2
男1男2
--
女1男2
女2男2
女1
男1女1
男2女1
--
女2女1
女2
男1女2
男2女2
女1女2
--
由表格可知，共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，
所以恰好选中1男1女的概率P=812=23.
(1)先根据C组男女生人数及其所占百分比求出样本容量，再根据B组对应百分比及女生B组人数求解可得m的值，最后根据各组人数之和等于总人数求出n的值；
(2)用360∘乘以A组人数所占比例即可；
(3)应用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，BC=AB2−AC2=324−24=103(米)；
(2)∵∠α=60∘，
∴∠AMN=30∘，
∴AM=2AN，
∵在Rt△ABC中，AN2+MN2=AM2，
∴AN2+300=4AN2
∴AN=10，
∴AM=20，
∴AM−AB=20−18=2(米).
综上所述，长度增加了2米．

【解析】(1)运用勾股定理解题即可；
(2)根据勾股定理列出方程，求出AM，问题得解．
本题考查了解直角三角形，题目难度不大，理解好题意运用勾股定理解题是关键．

22.【答案】解：(1)∵一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=kx(k为常数且k≠0)的图象相交于A(−1,m)，
∴m=4，
∴k=−1×4=−4，
∴反比例函数解析式为：y=−4x；
(2)∵一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0)，
∴y=x+5−b，
∵平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，
∴x+5−b=−4x，
∴x2+(5−b)x+4=0，
∵Δ=(5−b)2−16=0，
解得b=9或1，
答：b的值为9或1.

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质．
(1)根据一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=kx(k为常数且k≠0)的图象相交于A(−1,m)，可得m=4，进而可求反比例函数的表达式；
(2)根据一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0)，可得y=x+5−b，根据平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，联立方程根据判别式等于0即可求出b的值．

23.【答案】(1)BP=CE；AD⊥CE；
 (2)结论仍然成立．

理由：选图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H.
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60∘，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30∘，
∴AB=AC，∠BAC=60∘，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60∘，
∴∠BAP=∠CAE.
AB=AC∠BAP=∠CAEAP=AE，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP=CE，∠BAP=∠CAE=30∘，
∵∠CAH=60∘，
∴∠CAH+∠ACH=90∘，
∴∠AHC=90∘，即CE⊥AD.
选图3，连接AC交BD于O，设CE交AD于H.
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60∘，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30∘，
∴AB=AC，∠BAC=60∘，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60∘，
∴∠BAP=∠CAE.
AB=AC∠BAP=∠CAEAP=AE，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30∘，
∵∠CAH=60∘，
∴∠CAH+∠ACH=90∘，
∴∠AHC=90∘，即CE⊥AD；

(3)△BAP≌△CAE，

由(2)可知EC⊥AD，CE=BP，
在菱形ABCD中，AD//BC，
∴EC⊥BC，
∵BC=AB=23，BE=219，
在Rt△BCE中，EC=(219)2−(23)2=8，
∴BP=CE=8，
∵AC与BD是菱形的对角线，
∴∠ABD=12∠ABC=30∘，AC⊥BD，
∴BD=2BO=2AB⋅cos30∘=6，
∴OA=12AB=3，DP=BP−BD=8−6=2，
∴OP=OD+DP=5，
在Rt△AOP中，AP=AO2+OP2=27，


【解析】解：(1)如图1中，结论：PB=EC，CE⊥AD.
理由：连接AC.

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60∘，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30∘，
∴AB=AC，∠BAC=60∘，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60∘，
∵∠BAC=∠PAE，
∴∠BAP=∠CAE，
AB=AC∠BAP=∠CAEAP=AE，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30∘，
延长CE交AD于H，
∵∠CAH=60∘，
∴∠CAH+∠ACH=90∘，
∴∠AHC=90∘，即CE⊥AD.
故答案为PB=EC，CE⊥AD.
(2)见答案；
(3)见答案.

(1)如图1中，结论：PB=EC，CE⊥AD.连接AC，想办法证明△BAP≌△CAE即可解决问题；
(2)结论仍然成立．证明方法类似；
(3)首先证明△BAP≌△CAE，解直角三角形求出AP，DP，OA即可解决问题；
本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

24.【答案】解：(1)连接PO，交AC于H，

∵PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
∵∠PCA=∠PBA，
∴∠PAC=∠PCA=∠PBA，
∵DP//AC，
∴∠DPA=∠PAC=∠PCA=∠PBA，
∵OA=OP，
∴∠PAO=∠OPA，
∵AB是直径，
∴∠APB=90∘，
∴∠PAB+∠ABP=90∘，
∴∠OPA+∠DPA=90∘，
∴∠DPO=90∘，
又∵OP是半径，
∴DP是⊙O的切线；
(2)∵DP//AC，∠DPO=90∘，
∴∠DPO=∠AHO=90∘，
又∵PA=PC，
∴AH=HC=12AC=6，
∵tan∠PAC=PHAH=23，
∴PH=23×AH=4，
∵AO2=AH2+OH2，
∴AO2=36+(OA−4)2，
∴OA=132，
∴AB=2OA=13.

【解析】(1)连接PO，交AC于H，由等腰三角形的性质可得∠PAC=∠PCA，∠PAO=∠OPA，由平行线的性质和圆周角定理可得∠DPA=∠PAC=∠PCA=∠PBA，∠APB=90∘，可证∠DPO=90∘，可得结论；
(2)由等腰三角形的性质可求AH=HC=12AC=6，由锐角三角函数可求PH=4，由勾股定理可求AO的长，即可求解．
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

25.【答案】解：(1)令y=x2−2x−3中x=0，此时y=−3，
故C点坐标为(0,−3)，
又∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴抛物线的顶点M的坐标为(1,−4)；
(2)过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1所示：
令y=x2−2x−3=0，
解得：x=3或x=−1，
∴B(3,0)，A(−1,0)，
设直线BC的解析式为：y=ax+b，
将C(0,−3)，B(3,0)代入直线BC的解析式得：−3=b0=3a+b，
解得：a=1b=−3，
∴直线BC的解析式为：y=x−3，
设N点坐标为(n,n2−2n−3)，故Q点坐标为(n,n−3)，其中0 则S△BCN=S△NQC+S△NQB=12⋅QN⋅(xB−xC)，(其中xQ，xC，xB分别表示Q，C，B三点的横坐标)，且QN=(n−3)−(n2−2n−3)=−n2+3n，xB−xC=3，
故S△BCN=−32(n−32)2+278，其中0 当n=32时，S△BCN有最大值为278，
此时点N的坐标为(32,−154)；
(3)存在，理由如下：
连接AC，OP，如图2所示：
设MC的解析式为：y=kx+m，
将C(0,−3)，M(1,−4)代入MC的解析式，得：−3=m−4=k+m，
解得：k=−1m=−3，
∴MC的解析式为：y=−x−3，令y=0，则x=−3，
∴E点坐标为(−3,0)，
∴OE=OB=3，
∵OC⊥BE，
∴CE=CB，
∴∠CBE=∠E，
设P(x,−x−3)，
又∵P点在线段EC上，
∴−3 则EP=(x+3)2+(−x−3)2=2(x+3)，BC=32+32=32，
由题意知：△PEO相似于△ABC，
分情况讨论：
①△PEO∽△CBA，
∴EOBA=EPBC，
∴34=2(x+3)32，
解得x=−34，满足−3 ②△PEO∽△ABC，
∴EOBC=EPBA，
∴332=2(x+3)4，
解得x=−1，满足−3 综上所述，存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似，P点的坐标为(−34,−94)或(−1,−2).

【解析】(1)令抛物线解析式中x=0即可求出C点坐标，写出抛物线顶点式，即可求出顶点M坐标；
(2)过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，设N(n,n2−2n−3)，求出BC解析式，进而得到Q点坐标，最后根据S△BCN=S△NQC+S△NQB即可求解；
(3)连接AC，由CE=CB可知∠EBC=∠E，求出MC的解析式，设P(x,−x−3)，然后根据△PEO相似△ABC，分成EOBA=EPBC和EOBC=EPBA讨论即可求解．
本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求直线的解析式、相似三角形的性质和判定等知识；本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题．