中学生标准学术能力诊断性测试2022届高三下学期3月诊断性考试 数学（理科）

中学生标准学术能力诊断性测试2022年3月测试

理科数学试卷

本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A＝{x|(x＋1)(x－1)<0}，B＝{y|y>0}，则A∩(∁RB)＝

A.      B.[0，1)     C.(－1，0)     D.(－1，0]

2.已知双曲线的一条渐近线过点(2，1)，则此双曲线的离心率为

A.     B.     C.     D.

3.若复数z满足z(1＋i)＝2i－1(i为虚数单位)，则下列说法正确的是

A.z的虚部为i    B.|z|＝    C.z＋＝3    D.z在复平面内对应的点在第二象限

4.设a>0，b>0，则“9a＋b≤4”是“ab≤”的

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件    C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

5.已知函数f(x)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是

A.f(x)＝ln(1＋cosx2)     B.f(x)＝x·ln(1－cosx2)

C.f(x)＝ln(1＋sinx2)     D.f(x)＝x·ln(1－sinx2)

6.为了得到函数y＝sin(2x＋)的图象，可以将函数y＝cos(2x＋)的图象

A.向左平移个单位     B.向右平移个单位

C.向左平移个单位      D.向右平移个单位

7.已知(ax＋)6(a>0)的展开式中含x－2的系数为60，则(ax－)6的展开式中的常数项为

A.－160     B.160     C.80     D.－80

8.如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30°的直角三角形ACD拼接而成，将△ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中不可能成立的是

A.CD⊥AB     B.BC⊥AD     C.BD⊥AB     D.BC⊥CD

9.已知随机变量ζ的分布列如下表所示，且满足E(ζ)＝0，则下列方差值中最大的是

A.D(ζ)     B.D(|ζ|)     C.D(2ζ＋1)     D.D(3|ζ|－2)

10.已知椭圆的离心率为，过左焦点F作一条斜率为k(k>0)的直线，与椭圆交于A，B两点，满足|AF|＝2|FB|，则实数k的值为

A.1     B.     C.     D.2

11.对任意的x1，x2∈(1，2]，当x1<x2时，x2－x1＋<0恒成立，则实数a的取值范围是

A.(2，＋∞)     B.[2，＋∞)     C.(4，＋∞)     D.[4，＋∞)

12.设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝(n∈N*)，则下列说法正确的是

A.a2021·a2022<1     B.a2021·a2022>1     C.a2022<－2     D.a2022>2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝t，若在线段AB上存在点E，使得EC1⊥ED，则实数t的取值范围是           。

14.平面向量，满足：||＝1，|＋2|＝－3·，设向量，的夹角为θ，则sinθ的最大值为           。

15.已知实数a，b满足2a＋2b＋1＝4a＋4b，则t＝2a＋2b的取值范围是           。

16.电影院一排有八个座位，甲、乙、丙、丁四位同学相约一起观影，他们要求坐在同一排，问恰有两个连续的空座位的情况有           种。

三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b＝2，且cosC＝。

(1)求角B的大小；

(2)若△ABC是锐角三角形，求△ABC面积的取值范围。

18.(12分)已知数列{an}满足a1＝1，且a1·a2·a3……an＝n(n∈N*)。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设，且数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn≥3－λ(n＋2)恒成立，求λ的取值范围。

19.(12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝120°，PB＝1，PB⊥AB。

(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；

(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小。

20.(12分)已知实数x，y满足x2＋(ex－y)2＋e2y＝2。

(1)若x＝0时，试问上述关于y的方程有几个实根？

(2)证明：使方程x2＋(ex－y)2＋e2y＝2有解的必要条件为：－2≤x≤0。

21.(12分)如图所示，已知抛物线E：y2＝2px，其焦点与准线的距离为6，过点M(4，0)作直线l1，l2与E相交，其中l1与E交于A，B两点，l2与E交于C，D两点，直线AD过E的焦点F，若AD，BC的斜率为k1，k2。

(1)求抛物线E的方程；

(2)问是否为定值？如是，请求出此定值；如不是，请说明理由。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。

22.(10分)[选修：坐标系与参数方程]

以直角坐标系的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为(t为参数，0≤α<)，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝8sinθ。

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值。

23.(10分)[选修：不等式选讲]

设函数f(x)＝x2－x＋2。

(1)若|f(x)－x2＋4x＋4|>3，求x的取值范围；

(2)若|x－a|≤2，求证：|f(x)－f(a)|≤6＋4|a|。