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    2021-2022学年福建省漳州市重点名校中考数学仿真试卷含解析
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    2021-2022学年福建省漳州市重点名校中考数学仿真试卷含解析

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    这是一份2021-2022学年福建省漳州市重点名校中考数学仿真试卷含解析,共21页。试卷主要包含了函数y=mx2+等内容,欢迎下载使用。

    2021-2022中考数学模拟试卷
    注意事项:
    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

    一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
    1.若,代数式的值是  
    A.0 B. C.2 D.
    2.已知点A(0,﹣4),B(8,0)和C(a,﹣a),若过点C的圆的圆心是线段AB的中点,则这个圆的半径的最小值是(  )
    A. B. C. D.2
    3.某一公司共有51名员工(包括经理),经理的工资高于其他员工的工资,今年经理的工资从去年的200000元增加到225000元,而其他员工的工资同去年一样,这样,这家公司所有员工今年工资的平均数和中位数与去年相比将会( )
    A.平均数和中位数不变 B.平均数增加,中位数不变
    C.平均数不变,中位数增加 D.平均数和中位数都增大
    4.一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是( )

    A. B. C. D.
    5.据相关报道,开展精准扶贫工作五年以来,我国约有55000000人摆脱贫困,将55000000用科学记数法表示是( )
    A.55×106 B.0.55×108 C.5.5×106 D.5.5×107
    6.如图,点A,B在反比例函数的图象上,点C,D在反比例函数的图象上,AC//BD//y轴,已知点A,B的横坐标分别为1,2,△OAC与△ABD的面积之和为,则k的值为(    )

    A.4 B.3 C.2 D.
    7.函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,则m的值为(  )
    A.0 B.0或2 C.0或2或﹣2 D.2或﹣2
    8.我国古代数学著作《九章算术》卷七“盈不足”中有这样一个问题:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四,问人数、物价各几何?”意思是:几个人合伙买一件物品,每人出8元,则余3元;若每人出7元,则少4元,问几人合买?这件物品多少钱?若设有x人合买,这件物品y元,则根据题意列出的二元一次方程组为(  )
    A. B. C. D.
    9.如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,﹣1),C(﹣2,﹣1),D(﹣1,1).以A为对称中心作点P(0,2)的对称点P1,以B为对称中心作点P1的对称点P2,以C为对称中心作点P2的对称点P3,以D为对称中心作点P3的对称点P4,…,重复操作依次得到点P1,P2,…,则点P2010的坐标是(  )

    A.(2010,2) B.(2010,﹣2) C.(2012,﹣2) D.(0,2)
    10. “五一”期间,某市共接待海内外游客约567000人次,将567000用科学记数法表示为( )
    A.567×103 B.56.7×104 C.5.67×105 D.0.567×106
    11.下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是(  )
    A. B. C. D.
    12.甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进,A、B两地间的路程为20km.他们前进的路程为s(km),甲出发后的时间为t(h),甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示.根据图象信息,下列说法正确的是( )

    A.甲的速度是4km/h B.乙的速度是10km/h
    C.乙比甲晚出发1h D.甲比乙晚到B地3h
    二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
    13.分解因式:x2y﹣xy2=_____.
    14.如图,在平面直角坐标系中,已知A(﹣2,1),B(1,0),将线段AB绕着点B顺时针旋转90°得到线段BA′,则A′的坐标为_____.

    15.若与是同类项,则的立方根是 .
    16.如图,点A在双曲线上,AB⊥x轴于B,且△AOB的面积S△AOB=2,则k=______.

    17.ABCD为矩形的四个顶点,AB=16 cm,AD=6 cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3 cm/s的速度向点B移动,一直到达B为止,点Q以2 cm/s的速度向D移动,P、Q两点从出发开始到__________秒时,点P和点Q的距离是10 cm.

    18.小明用一个半径为30cm且圆心角为240°的扇形纸片做成一个圆锥形纸帽(粘合部分忽略不计),那么这个圆锥形纸帽的底面半径为_____cm.
    三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    19.(6分)已知P是⊙O外一点,PO交⊙O于点C,OC=CP=2,弦AB⊥OC,∠AOC的度数为60°,连接PB.
    求BC的长;求证:PB是⊙O的切线.
    20.(6分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点,已知点A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0).
    (1)求此抛物线的解析式.
    (2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点,(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D.动点P在什么位置时,△PDE的周长最大,求出此时P点的坐标.

    21.(6分)如图,小明今年国庆节到青城山游玩,乘坐缆车,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它经过了200m,缆车行驶的路线与水平夹角∠α=16°,当缆车继续由点B到达点D时,它又走过了200m,缆车由点B到点D的行驶路线与水平面夹角∠β=42°,求缆车从点A到点D垂直上升的距离.(结果保留整数)(参考数据:sin16°≈0.27,cos16°≈0.77,sin42°≈0.66,cos42°≈0.74)

    22.(8分)如图,AB为⊙O的直径,AC、DC为弦,∠ACD=60°,P为AB延长线上的点,∠APD=30°.
    求证:DP是⊙O的切线;若⊙O的半径为3cm,求图中阴影部分的面积.
    23.(8分)如图,在正方形ABCD的外侧,作两个等边三角形ABE和ADF,连结ED与FC交于点M,则图中≌,可知,求得______.如图,在矩形的外侧,作两个等边三角形ABE和ADF,连结ED与FC交于点M.
    求证:.
    若,求的度数.

    24.(10分)如图,在△ABC中,点D在边BC上,联结AD,∠ADB=∠CDE,DE交边AC于点E,DE交BA延长线于点F,且AD2=DE•DF.
    (1)求证:△BFD∽△CAD;
    (2)求证:BF•DE=AB•AD.

    25.(10分)某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒.2014年,该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完;2016年,这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒,该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完,礼盒的售价均为60元/盒.
    (1)2014年这种礼盒的进价是多少元/盒?
    (2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同,问年增长率是多少?
    26.(12分)已知:如图,梯形ABCD,DC∥AB,对角线AC平分∠BCD,点E在边CB的延长线上,EA⊥AC,垂足为点A.
    (1)求证:B是EC的中点;
    (2)分别延长CD、EA相交于点F,若AC2=DC•EC,求证:AD:AF=AC:FC.

    27.(12分)化简:.



    参考答案

    一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
    1、D
    【解析】
    由可得,整体代入到原式即可得出答案.
    【详解】
    解:,

    则原式.
    故选:D.
    【点睛】
    本题主要考查整式的化简求值,熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及代数式的求值是解题的关键.
    2、B
    【解析】
    首先求得AB的中点D的坐标,然后求得经过点D且垂直于直线y=-x的直线的解析式,然后求得与y=-x的交点坐标,再求得交点与D之间的距离即可.
    【详解】
    AB的中点D的坐标是(4,-2),
    ∵C(a,-a)在一次函数y=-x上,
    ∴设过D且与直线y=-x垂直的直线的解析式是y=x+b,
    把(4,-2)代入解析式得:4+b=-2,
    解得:b=-1,
    则函数解析式是y=x-1.
    根据题意得:,
    解得:,
    则交点的坐标是(3,-3).
    则这个圆的半径的最小值是:=.
    故选:B
    【点睛】
    本题考查了待定系数法求函数的解析式,以及两直线垂直的条件,正确理解C(a,-a),一定在直线y=-x上,是关键.
    3、B
    【解析】
    本题考查统计的有关知识,找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数,平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.
    【详解】
    解:设这家公司除经理外50名员工的工资和为a元,则这家公司所有员工去年工资的平均数是元,今年工资的平均数是元,显然

    由于这51个数据按从小到大的顺序排列的次序完全没有变化,所以中位数不变.
    故选B.
    【点睛】
    本题主要考查了平均数,中位数的概念,要掌握这些基本概念才能熟练解题.同时注意到个别数据对平均数的影响较大,而对中位数和众数没影响.
    4、C
    【解析】
    由主视图和左视图可得此几何体为柱体,根据俯视图为三角形可得此几何体为三棱柱.故选C.
    5、D
    【解析】
    试题解析:55000000=5.5×107,
    故选D.
    考点:科学记数法—表示较大的数
    6、B
    【解析】
    首先根据A,B两点的横坐标,求出A,B两点的坐标,进而根据AC//BD// y 轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D两点的坐标,从而得出AC,BD的长,根据三角形的面积公式表示出S△OAC,S△ABD的面积,再根据△OAC与△ABD的面积之和为,列出方程,求解得出答案.
    【详解】
    把x=1代入得:y=1,
    ∴A(1,1),把x=2代入得:y=,
    ∴B(2, ),
    ∵AC//BD// y轴,
    ∴C(1,K),D(2,)
    ∴AC=k-1,BD=-,
    ∴S△OAC=(k-1)×1,
    S△ABD= (-)×1,
    又∵△OAC与△ABD的面积之和为,
    ∴(k-1)×1+ (-)×1=,解得:k=3;
    故答案为B.
    【点睛】
    :此题考查了反比例函数系数k的几何意义,以及反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键.
    7、C
    【解析】
    根据函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,利用分类讨论的方法可以求得m的值,本题得以解决.
    【详解】
    解:∵函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,
    ∴当m=0时,y=2x+1,此时y=0时,x=﹣0.5,该函数与x轴有一个交点,
    当m≠0时,函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,
    则△=(m+2)2﹣4m(m+1)=0,解得,m1=2,m2=﹣2,
    由上可得,m的值为0或2或﹣2,
    故选:C.
    【点睛】
    本题考查抛物线与x轴的交点,解答本题的关键是明确题意,利用分类讨论的数学思想解答.
    8、D
    【解析】
    根据题意可以找出题目中的等量关系,列出相应的方程组,从而可以解答本题.
    【详解】
    由题意可得:,
    故选D.
    【点睛】
    本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程组.
    9、B
    【解析】
    分析:根据题意,以A为对称中心作点P(0,1)的对称点P1,即A是PP1的中点,结合中点坐标公式即可求得点P1的坐标;同理可求得其它各点的坐标,分析可得规律,进而可得答案.
    详解:根据题意,以A为对称中心作点P(0,1)的对称点P1,即A是PP1的中点,
    又∵A的坐标是(1,1),
    结合中点坐标公式可得P1的坐标是(1,0);
    同理P1的坐标是(1,﹣1),记P1(a1,b1),其中a1=1,b1=﹣1.
    根据对称关系,依次可以求得:
    P3(﹣4﹣a1,﹣1﹣b1),P4(1+a1,4+b1),P5(﹣a1,﹣1﹣b1),P6(4+a1,b1),
    令P6(a6,b1),同样可以求得,点P10的坐标为(4+a6,b1),即P10(4×1+a1,b1),
    ∵1010=4×501+1,
    ∴点P1010的坐标是(1010,﹣1),
    故选:B.
    点睛:本题考查了对称的性质,坐标与图形的变化---旋转,根据条件求出前边几个点的坐标,得到规律是解题关键.
    10、C
    【解析】
    科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥1时,n是非负数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
    【详解】
    567000=5.67×105,
    【点睛】
    此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
    11、A
    【解析】
    【分析】根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可得.
    【详解】A、是中心对称图形,故此选项正确;
    B、不是中心对称图形,故此选项错误;
    C、不是中心对称图形,故此选项错误;
    D、不是中心对称图形,故此选项错误,
    故选A.
    【点睛】本题主要考查了中心对称图形,熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键;把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.
    12、C
    【解析】
    甲的速度是:20÷4=5km/h;
    乙的速度是:20÷1=20km/h;
    由图象知,甲出发1小时后乙才出发,乙到2小时后甲才到,
    故选C.

    二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
    13、xy(x﹣y)
    【解析】
    原式=xy(x﹣y).
    故答案为xy(x﹣y).
    14、 (2,3)
    【解析】
    作AC⊥x轴于C,作A′C′⊥x轴,垂足分别为C、C′,证明△ABC≌△BA′C′,可得OC′=OB+BC′=1+1=2,A′C′=BC=3,可得结果.
    【详解】
    如图,作AC⊥x轴于C,作A′C′⊥x轴,垂足分别为C、C′,

    ∵点A、B的坐标分别为(-2,1)、(1,0),
    ∴AC=2,BC=2+1=3,
    ∵∠ABA′=90°,
    ∴ABC+∠A′BC′=90°,
    ∵∠BAC+∠ABC=90°,
    ∴∠BAC=∠A′BC′,
    ∵BA=BA′,∠ACB=∠BC′A′,
    ∴△ABC≌△BA′C′,
    ∴OC′=OB+BC′=1+1=2,A′C′=BC=3,
    ∴点A′的坐标为(2,3).
    故答案为(2,3).
    【点睛】
    此题考查旋转的性质,三角形全等的判定和性质,点的坐标的确定.解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形.
    15、2.
    【解析】
    试题分析:若与是同类项,则:,解方程得:.∴=2﹣3×(﹣2)=8.8的立方根是2.故答案为2.
    考点:2.立方根;2.合并同类项;3.解二元一次方程组;4.综合题.
    16、-4
    【解析】
    :由反比例函数解析式可知:系数,
    ∵S△AOB=2即,∴;
    又由双曲线在二、四象限k<0,∴k=-4
    17、或
    【解析】
    作PH⊥CD,垂足为H,设运动时间为t秒,用t表示线段长,用勾股定理列方程求解.
    【详解】

    设P,Q两点从出发经过t秒时,点P,Q间的距离是10cm,
    作PH⊥CD,垂足为H,
    则PH=AD=6,PQ=10,
    ∵DH=PA=3t,CQ=2t,
    ∴HQ=CD−DH−CQ=|16−5t|,
    由勾股定理,得
    解得
    即P,Q两点从出发经过1.6或4.8秒时,点P,Q间的距离是10cm.
    故答案为或.
    【点睛】
    考查矩形的性质,勾股定理,解一元二次方程等,表示出HQ=CD−DH−CQ=|16−5t|是解题的关键.
    18、20
    【解析】
    先求出半径为30cm且圆心角为240°的扇形纸片的弧长,再利用底面周长=展开图的弧长可得.
    【详解】
    =40π.
    设这个圆锥形纸帽的底面半径为r.
    根据题意,得40π=2πr,
    解得r=20cm.
    故答案是:20.
    【点睛】
    解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系,然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值.

    三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    19、(1)BC=2;(2)见解析
    【解析】
    试题分析:(1)连接OB,根据已知条件判定△OBC的等边三角形,则BC=OC=2;
    (2)欲证明PB是⊙O的切线,只需证得OB⊥PB即可.
    (1)解:如图,连接OB.
    ∵AB⊥OC,∠AOC=60°,
    ∴∠OAB=30°,
    ∵OB=OA,
    ∴∠OBA=∠OAB=30°,
    ∴∠BOC=60°,
    ∵OB=OC,
    ∴△OBC的等边三角形,
    ∴BC=OC.
    又OC=2,
    ∴BC=2;
    (2)证明:由(1)知,△OBC的等边三角形,则∠COB=60°,BC=OC.
    ∵OC=CP,
    ∴BC=PC,
    ∴∠P=∠CBP.
    又∵∠OCB=60°,∠OCB=2∠P,
    ∴∠P=30°,
    ∴∠OBP=90°,即OB⊥PB.
    又∵OB是半径,
    ∴PB是⊙O的切线.

    考点:切线的判定.
    20、(1)y=﹣x2﹣2x+1;(2)(﹣ ,)
    【解析】
    (1)将A(-1,0),B(0,1),C(1,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c,运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式;
    (2)先证明△AOB是等腰直角三角形,得出∠BAO=45°,再证明△PDE是等腰直角三角形,则PE越大,△PDE的周长越大,再运用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+1,则可设P点的坐标为(x,-x2-2x+1),E点的坐标为(x,x+1),那么PE=(-x2-2x+1)-(x+1)=-(x+)2+,根据二次函数的性质可知当x=-时,PE最大,△PDE的周长也最大.将x=-代入-x2-2x+1,进而得到P点的坐标.
    【详解】
    解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣1,0),B(0,1),C(1,0),
    ∴,
    解得,
    ∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+1;
    (2)∵A(﹣1,0),B(0,1),
    ∴OA=OB=1,
    ∴△AOB是等腰直角三角形,
    ∴∠BAO=45°.
    ∵PF⊥x轴,
    ∴∠AEF=90°﹣45°=45°,
    又∵PD⊥AB,
    ∴△PDE是等腰直角三角形,
    ∴PE越大,△PDE的周长越大.
    设直线AB的解析式为y=kx+b,则
    ,解得,
    即直线AB的解析式为y=x+1.
    设P点的坐标为(x,﹣x2﹣2x+1),E点的坐标为(x,x+1),
    则PE=(﹣x2﹣2x+1)﹣(x+1)=﹣x2﹣1x=﹣(x+)2+,
    所以当x=﹣时,PE最大,△PDE的周长也最大.
    当x=﹣时,﹣x2﹣2x+1=﹣(﹣)2﹣2×(﹣)+1=,
    即点P坐标为(﹣,)时,△PDE的周长最大.

    【点睛】
    本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式,等腰直角三角形的判定与性质,二次函数的性质,三角形的周长,综合性较强,难度适中.
    21、缆车垂直上升了186 m.
    【解析】
    在Rt中,米,在Rt中,即可求出缆车从点A到点D垂直上升的距离.
    【详解】
    解:

    在Rt中,斜边AB=200米,∠α=16°,
    (m),
    在Rt中,斜边BD=200米,∠β=42°,

    因此缆车垂直上升的距离应该是BC+DF=186(米).
    答:缆车垂直上升了186米.
    【点睛】
    本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题,锐角三角函数的定义,结合图形理解题意是解决问题的关键.
    22、(1)证明见解析;(2).
    【解析】
    (1)连接OD,求出∠AOD,求出∠DOB,求出∠ODP,根据切线判定推出即可.
    (2)求出OP、DP长,分别求出扇形DOB和△ODP面积,即可求出答案.
    【详解】
    解:(1)证明:连接OD,

    ∵∠ACD=60°,
    ∴由圆周角定理得:∠AOD=2∠ACD=120°.
    ∴∠DOP=180°﹣120°=60°.
    ∵∠APD=30°,
    ∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°.
    ∴OD⊥DP.
    ∵OD为半径,
    ∴DP是⊙O切线.
    (2)∵∠ODP=90°,∠P=30°,OD=3cm,
    ∴OP=6cm,由勾股定理得:DP=3cm.
    ∴图中阴影部分的面积
    23、阅读发现:90°;(1)证明见解析;(2)100°
    【解析】
    阅读发现:只要证明,即可证明.
    拓展应用:欲证明,只要证明≌即可.
    根据即可计算.
    【详解】
    解:如图中,四边形ABCD是正方形,
    ,,
    ≌,






    故答案为
    为等边三角形,
    ,.
    为等边三角形,
    ,.
    四边形ABCD为矩形,
    ,.

    ,,

    在和中,

    ≌.

    ≌,


    【点睛】
    本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形,利用全等三角形的寻找解决问题,属于中考常考题型.
    24、见解析
    【解析】
    试题分析:(1), ,可得∽ ,从而得,
    再根据∠BDF=∠CDA 即可证;
    (2)由∽ ,可得,从而可得,再由∽,可得从而得,继而可得 ,得到.
    试题解析:(1)∵,∴,
    ∵ ,∴∽ ,
    ∴,
    又∵∠ADB=∠CDE ,∴∠ADB+∠ADF=∠CDE+∠ADF,
    即∠BDF=∠CDA ,
    ∴∽;
    (2)∵∽ ,∴,
    ∵ ,∴,
    ∵∽,∴,∴,
    ∴ , ∴.
    【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,能结合图形以及已知条件灵活选择恰当的方法进行证明是关键.
    25、(1)35元/盒;(2)20%.
    【解析】
    试题分析:(1)设2014年这种礼盒的进价为x元/盒,则2016年这种礼盒的进价为(x﹣11)元/盒,根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;
    (2)设年增长率为m,根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量,再根据2014年的销售利润×(1+增长率)2=2016年的销售利润,即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出结论.
    试题解析:(1)设2014年这种礼盒的进价为x元/盒,则2016年这种礼盒的进价为(x﹣11)元/盒,根据题意得:,解得:x=35,经检验,x=35是原方程的解.
    答:2014年这种礼盒的进价是35元/盒.
    (2)设年增长率为m,2014年的销售数量为3500÷35=100(盒).
    根据题意得:(60﹣35)×100(1+a)2=(60﹣35+11)×100,解得:a=0.2=20%或a=﹣2.2(不合题意,舍去).
    答:年增长率为20%.
    考点:一元二次方程的应用;分式方程的应用;增长率问题.
    26、(1)详见解析;(2)详见解析.
    【解析】
    (1)根据平行线的性质结合角平分线的性质可得出∠BCA=∠BAC,进而可得出BA=BC,根据等角的余角相等结合等角对等边,即可得出AB=BE,进而可得出BE=BA=BC,此题得证;
    (2)根据AC2=DC•EC结合∠ACD=∠ECA可得出△ACD∽△ECA,根据相似三角形的性质可得出∠ADC=∠EAC=90°,进而可得出∠FDA=∠FAC=90°,结合∠AFD=∠CFA可得出△AFD∽△CFA,再利用相似三角形的性质可证出AD:AF=AC:FC.
    【详解】
    (1)∵DC∥AB,∴∠DCA=∠BAC.
    ∵AC平分∠BCD,∴∠BCA=∠BAC=∠DCA,∴BA=BC.
    ∵∠BAC+∠BAE=90°,∠ACB+∠E =90°,∴∠BAE=∠E,∴AB=BE,∴BE=BA=BC,∴B是EC的中点;
    (2)∵AC2=DC•EC,∴.
    ∵∠ACD=∠ECA,∴△ACD∽△ECA,∴∠ADC=∠EAC=90°,∴∠FDA=∠FAC=90°.
    又∵∠AFD=∠CFA,∴△AFD∽△CFA,∴AD:AF=AC:FC.

    【点睛】
    本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质,解题的关键是:(1)利用等角对等边找出BA=BC、BE=BA;(2)利用相似三角形的判定定理找出△AFD∽△CFA.
    27、
    【解析】
    原式第一项利用完全平方公式化简,第二项利用单项式乘多项式法则计算,去括号合并即可得到结果.
    【详解】
    解:原式.

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