全等三角形、轴对称和勾股定理学案

这是一份全等三角形、轴对称和勾股定理学案，共7页。学案主要包含了典例精讲，巩固练习等内容，欢迎下载使用。
2、掌握理解线段、角的轴对称性，理解垂直平分线和角平分线的概念及性质；
3、掌握直角三角形、等腰三角形和等边三角形的性质
知识梳理
1、全等三角形的判定
轴对称
线段：
（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．
（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．
角：
（1）在角平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．
等腰三角形：
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.
（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.
等边三角形：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
勾股定理
三、典例精讲
1、如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+b2，其中正确结论是 （填序号）
2、到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
3、如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ．
4、如图，Rt△ABC中，，cm，cm．将△ABC 折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长 = cm．
5、正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则An的坐标是 ．

6、△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是 ．
四、巩固练习
1、如图，点E、F分别在菱形ABCD的边DC、DA上，且CE＝AF．求证：∠ABF＝∠CBE．
2、如图1，BD是等腰的角平分线，.
（1）求证BC=AB+AD；
（2）如图2，于F，交延长线于E，求证：BD=2CE；
A
B
C
D
F
E
图2
3、已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、
当绕点旋转到于时（如图1），易证
A
E
C
F
B
D
图1
图3
A
D
F
E
C
B
A
D
B
C
E
图2
F
当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
4、如图，△ABC是边长为1的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=60°，求△AEF的周长．
5、问题背景：如图1，等腰中，，作于点，则为的中点，，于是；
迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，三点在同一条直线上，连接.
求证：；
请直接写出线段之间的等量关系式；
6、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝_______°，∠DEC＝_______°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_______（填“大”或“小”）；
(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
7、在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8．
(1)将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处（如图①所示），连接DE，DE和BC相交于点F，试说明△BDF为等腰三角形，并求BF的长；
(2)将矩形纸片折叠，使B与D重合（如图②所示），求折痕GH的长．
8、如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是边AC上一动点、，由点A向点C运动（与点A，C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作PE⊥AB，垂足为点E，连接PQ交AB于点D．
(1)当∠BQD＝30°时，求AP的长．
(2)在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．
9、如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D′．
（1）求点D′刚好落在对角线AC上时，线段D′C的长；
（2）求点D′刚好落在线段BC的垂直平分线上时，DE的长；
（3）求点D′ 刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长．
一般三角形
直角三角形
判定
边角边（SAS）、角边角（ASA）
角角边（AAS）、边边边（SSS）
具备一般三角形的判定方法
斜边和一条直角边对应相等（HL）
性质
对应边相等，对应角相等
对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
勾股定理
勾股定理的逆定理
条件
在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边
在△ABC中，a2+b2=c2，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边
结论
a2+b2=c2
∠C=90°
区别
勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到“这个三角形的三边满足a2+b2=c2”，即由“形”到“数”
勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”
联系
都与“一个三角形的三边关系a2+b2=c2”及“直角三角形”有关