四川省渠县安北中学2021-2022学年九年级中考数学三轮复习：二次函数综合

这是一份四川省渠县安北中学2021-2022学年九年级中考数学三轮复习：二次函数综合，共11页。
1、如图,抛物线y=ax2+bx－3过A(1,0)、B(－3,0),直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为－2.点P(m,n)是线段AD上的动点.
(1) 求直线AD及抛物线的解析式;
(2) 过点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式、m为何时、PQ最长?
(3) 在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为繁数)R、使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在、说明理由.
2、已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于点A、B，交y轴于点C，顶点为D，对称轴与x轴相交于点E．
（1）直接写出tan∠ABC的值 ；
（2）点P在射线ED上，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；
（3）点M在线段BC下方的抛物线上，当△MBC为锐角三角形时，求M点横坐标的取值范围．
3、如图，在直角坐标系中，已知直线y=﹣x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点的坐标为（﹣2，0）．
（1）求证：直线AB⊥AC；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线l的解析式和对称轴；
（3）在直线AB上方的抛物线l上，是否存在一点P，使直线AB平分∠PBC？
若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
4、如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点(2,2)，(1,)在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过P作PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，延长PC交抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点．
(1)求抛物线的解析式及顶点N的坐标．
(2)求证：四边形PMDA是平行四边形．
(3)求证：∆DPE∽∆PAM，并求出当它们的相似比为时的点P的坐标．
5、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，D为边AB的中点，一抛物线y=﹣x2+2mx+m（m＞0）经过点A、D
（1）求点A、D的坐标（用含m的式子表示）；
（2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，①若抛物线经过点E，求抛物线的解析式；
② 若抛物线与线段CE相交，直接写出抛物线的顶点P到达最高位置时的坐标 .
6、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），且此抛物线的顶点坐标为M（﹣1，4）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设点D为已知抛物线对称轴上的任意一点，当△ACD与△ACB面积相等时，求点D的坐标；
（3）点P在线段AM上，当PC与y轴垂直时，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将△PCE沿直线CE翻折，使点P的对应点P′与P、E、C处在同一平面内，请求出点P′坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．
7、如图，已知二次函数的图象经过点A(3,0)，B(4,1)，且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．
(1)求此二次函数的关系式．
(2)判断∆ABC的形状．若∆ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标．
(3)若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点，∆的外接圆记为⊙，是否存在某个位置，使⊙经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式．若不存在，请说明理由．
8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴正半轴交于点A，过点A的直线y＝kx+b（k≠0）与该抛物线的另一个交点B的横坐标为2，P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m+1，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使PD＝1，以CD为边作矩形CDEF，设点E的横坐标为2m．
（1）求直线AB对应函数关系式；
（2）当点P与点A重合时，求点E的坐标；
（3）当点E在该抛物线上时，求抛物线的顶点到EF的距离；
（4）当矩形CDEF的边CD与该抛物线相交，且该抛物线在矩形CDEF内的部分所对应函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
9、如图，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA=OC=4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10、如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于A（-3,0），与y轴交于点C，以直线为对称轴的抛物线经过A,C两点，与x轴正半轴交于点B.
（1）求一次函数及抛物线的函数表达式；
（2）P为线段AC上的一个动点（点P与点C、A不重合）过P作X轴的垂线与这个二次函数的图像交于点D，连接CD,AD,点P的横坐标为n,当n为多少时，△CDA的面积最大，最大面积为多少？
（3）在对称轴上是否存在一点，使?若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由。

11、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．
12、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2+bx 与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q；M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m
，以PQ，QM为边作矩形PQMN．
（1）求b的值．
（2）当点Q与点M重合时，求m的值．
（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．
（4）抛物线在矩形PQMN内的部分称为被扫描部分．请问该抛物线是否全部被扫描？若是，请说明理由，若否，直接写出 抛物线被扫描部分自变量的取值范围．
13、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ EQ \F(3,4)x－ EQ \F(3,2)与抛物线y＝－ EQ \F(1,4)x2＋bx＋c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；
②连接PA，以PA为边作正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．
14、如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①当P点运动到A点处时，通过计算发现：PO PH（填“＞”、“＜”或“=”）；
②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有何数量关系，并证明你的猜想；
（3）当△PHO为等边三角形时，求点P坐标；
（4）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P、O、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
15、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当时，求二次函数的最大值和最小值；
（3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．
①求的取值范图；
②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围．
16、如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点B的坐标为（3，0），顶点坐标为（1，4）.连接BC.
（1）求二次函数的解析式和直线BC的解析式；
（2）点M是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，交x轴于点P.
①如图1，求线段MN长度的最大值；
②如图2，连接AM，QN，QP.试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由.