高考复习《直线与圆的位置关系二》课时作业9.4

这是一份高考复习《直线与圆的位置关系二》课时作业9.4，共7页。
1．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A．－eq \f(4,3) B．－eq \f(3,4)
C.eq \r(3) D．2
A 由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d＝eq \f(|1×a＋4－1|,\r(1＋a2))＝1，解之得a＝－eq \f(4,3).
2．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为eq \r(2)的点共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C 圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝eq \f(|－1－2＋1|,\r(2))＝eq \r(2)，半径是2eq \r(2)，结合图形可知有3个符合条件的点．
3．(2020·沈阳质检)“k＝eq \f(\r(3),3)”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A 若直线l与圆相切，则有eq \f(|2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq \f(\r(3),3)，所以“k＝eq \f(\r(3),3)”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的充分不必要条件，故选A.
4．(2020·广州调研)若点A(1，0)和点B(4，0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
C 如图，分别以A，B为圆心，1，2为半径作圆．
由题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．
5．(2020·洛阳模拟)已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x＋y＝2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于点A，则|PA|的最小值为( )
A.eq \f(1,2) B．1
C.eq \r(2)－1 D．2－eq \r(2)
D 法一：由题意可知，直线PA与坐标轴平行或重合，不妨设直线PA与y轴平行或重合，
设P(cs α，sin α)，则A(cs α，2－cs α)，
∴|PA|＝|2－cs α－sin α|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2－\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))))，
∴|PA|的最小值为2－eq \r(2)，故选D.
法二：由题意可知圆心(0，0)到直线x＋y＝2的距离d＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)，∴圆C上一点到直线x＋y＝2的距离的最小值为eq \r(2)－1.由题意可得|PA|min＝eq \r(2)(eq \r(2)－1)＝2－eq \r(2)，故选D.
6．(2020·广州调研)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是________．
解析 将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝eq \r(2－a)，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝eq \f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq \r(2)，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4..
答案 －4
7．(2020·兰州调研)点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．
解析 把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得
(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.
圆C1的圆心坐标是(4，2)，半径是3；
圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.
圆心距d＝ eq \r(（4＋2）2＋（2＋1）2)＝3eq \r(5).
所以|PQ|的最小值是3eq \r(5)－5.
答案 3eq \r(5)－5
8．(2020·石家庄质检)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为________．
解析 因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得eq \f(|a|,\r(12＋（－2）2))＝1，所以a＝±eq \r(5).
答案 eq \r(5)或－eq \r(5)
9．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
解析 圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4，0)．
由题意知(4，0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，
即eq \f(|4k－2|,\r(k2＋1))≤2，整理得3k2－4k≤0，解得0≤k≤eq \f(4,3).
故k的最大值是eq \f(4,3).
答案 eq \f(4,3)
10．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解 (1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r＝1，
由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与C交于两点，所以eq \f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))