高考复习《直线参数方程》课时作业14.1 第二课时

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1．(2020·保定模拟)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2eq \r(3)sin θ.
(1)写出⊙C的直角坐标方程；
(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
解 (1)由ρ＝2eq \r(3)sin θ，得ρ2＝2eq \r(3)ρsin θ，
所以x2＋y2＝2eq \r(3)y，
所以⊙C的直角坐标方程为x2＋(y－eq \r(3))2＝3.
(2)设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(1,2)t，\f(\r(3),2)t))，又C(0，eq \r(3))，
则|PC|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(1,2)t))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)t－\r(3)))\s\up12(2))＝eq \r(t2＋12)，
故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，点P的直角坐标为(3，0)．
2．(2020·湖南雅礼中学、河南省实验中学联考)在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α(α为常数)的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cs θ.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与C交于A、B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．
解 (1)∵倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)，
∴直线l的参数方程是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2＋tcs α，,y＝－4＋tsin α))(t是参数)．
∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cs θ，
∴曲线C的直角坐标方程是y2＝2x.
(2)把直线l的参数方程代入y2＝2x，
得t2sin2α－(2cs α＋8sin α)t＋20＝0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
∴t1t2＝eq \f(20,sin2α)，
根据直线参数方程中参数的几何意义，
得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝eq \f(20,sin2α)＝40，
又α∈[0，π)，故α＝eq \f(π,4)或α＝eq \f(3π,4)，
又∵Δ＝(2cs α＋8sin α)2－80sin2α＞0，∴α＝eq \f(π,4).
3．在直角坐标系xOy中，直线l过点P(0，1)且斜率为1，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋2cs θ.
(1)求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C的交点为A、B，求|PA|＋|PB|的值．
解 (1)直线l的普通方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)t,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)
∵ρ＝2sin θ＋2cs θ，
∴曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)将直线的参数方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)t,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)代入曲线方程(x－1)2＋(y－2)2＝2
得t2－eq \r(2)t－1＝0
∴t1＋t2＝eq \r(2)，t1·t2＝－10)，直线l的参数方程是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3＋t，,y＝－1－t))(t为参数)，曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的普通方程；
(2)若点A(ρ1，θ)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ2，θ＋\f(2π,3)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ3，θ＋\f(4π,3)))在曲线C上，求eq \f(1,|OA|2)＋eq \f(1,|OB|2)＋eq \f(1,|OC|2)的值．
解 (1)直线l的普通方程为x＋y＝2，与x轴的交点为(2，0)．又曲线C的普通方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,3)＝1，
所以a＝2，故所求曲线C的普通方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)因为点A(ρ1，θ)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ2，θ＋\f(2π,3)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ3，θ＋\f(4π,3)))在曲线C上，即点A(ρ1cs θ，ρ1sin θ)，
Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(2π,3)))，ρ2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(2π,3)))))，
Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ3cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(4π,3)))，ρ3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(4π,3)))))在曲线C上，
故eq \f(1,|OA|2)＋eq \f(1,|OB|2)＋eq \f(1,|OC|2)＝eq \f(1,ρeq \\al(2,1))＋eq \f(1,ρeq \\al(2,2))＋eq \f(1,ρeq \\al(2,3))
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs2θ＋cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(2π,3)))＋cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(4π,3)))))＋
eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin2θ＋sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(2π,3)))＋sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(4π,3)))))
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1＋cs 2θ,2)＋\f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(4π,3))),2)＋\f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(8π,3))),2)))＋