高考复习《抛物线的综合应用一》课时作业9.9 第一课时

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1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为eq \f(2,3)的直线与C交于M，N两点，则eq \(FM,\s\up6(→))·eq \(FN,\s\up6(→))＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
D 由题意知直线MN的方程为 y＝eq \f(2,3)(x＋2)，
联立直线与抛物线的方程，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(2,3)（x＋2），,y2＝4x，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝4.))
不妨设M为(1，2)，N为(4，4)．
又∵抛物线焦点为F(1，0)，∴eq \(FM,\s\up6(→))＝(0，2)，eq \(FN,\s\up6(→))＝(3，4)．
∴eq \(FM,\s\up6(→))·eq \(FN,\s\up6(→))＝0×3＋2×4＝8.故选D.
2．斜率为1的直线l与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A．2 B.eq \f(4\r(5),5)
C.eq \f(4\r(10),5) D.eq \f(8\r(10),5)
C 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
直线l的方程为y＝x＋t，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋4y2＝4，,y＝x＋t，))
消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－eq \f(8,5)t，x1x2＝eq \f(4（t2－1）,5).
∴|AB|＝ eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝ eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)
＝eq \r(2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,5)t))\s\up12(2)－4×\f(4（t2－1）,5))＝eq \f(4\r(2),5)·eq \r(5－t2)，
当t＝0时，|AB|max＝eq \f(4\r(10),5).
3．(2020·石家庄调研)设F，B分别为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点和上顶点，O为坐标原点，C是直线y＝eq \f(b,a)x与椭圆在第一象限内的交点，若eq \(FO,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝λ(eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(2\r(2)＋1,7) B.eq \f(2\r(2)－1,7)
C.eq \f(2\r(2)－1,3) D.eq \r(2)－1
A 连接BF，
联立椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与直线y＝eq \f(b,a)x的方程，解得Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(2))，\f(b,\r(2)))).因此线段OC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2\r(2))，\f(b,2\r(2)))).∵eq \(FO,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝λ(eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))，∴线段OC的中点在BF上，又直线BF的方程为eq \f(x,c)＋eq \f(y,b)＝1，∴eq \f(a,2\r(2)c)＋eq \f(b,2\r(2)b)＝1，所以eq \f(c,a)＝eq \f(1,2\r(2)－1)＝eq \f(2\r(2)＋1,7).故选A.
4．(2020·长春质检)已知F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|2＝8a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(2，3]
C．(1，3] D．(1，2]
C 由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，
得|PF2|＝2a＋|PF1|，
所以eq \f(|PF2|2,|PF1|)＝|PF1|＋eq \f(4a2,|PF1|)＋4a＝8a，
所以|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，
在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，
即2a＋4a≥2c，所以e＝eq \f(c,a)≤3.
又e>1，所以10)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(\r(3),3) D．1
A 由题意可得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,0),2p)，y0))(y0>0)，
则eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))＋eq \(FM,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(FP,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OF,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,0),6p)＋\f(p,3)，\f(y0,3)))，
可得k＝eq \f(\f(y0,3),\f(yeq \\al(2,0),6p)＋\f(p,3))＝eq \f(1,\f(y0,2p)＋\f(p,y0))≤eq \f(1,2\r(\f(y0,2p)·\f(p,y0)))＝eq \f(\r(2),2).
当且仅当eq \f(y0,2p)＝eq \f(p,y0)时取得等号，故选A.
6．(2020·九江模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y，点P是C的准线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则△AOB面积的最小值为( )
A.eq \r(2) B．2
C．2eq \r(2) D．4
B 设P(x0，－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又A，B在抛物线上，所以y1＝eq \f(xeq \\al(2,1),4)，y2＝eq \f(xeq \\al(2,2),4).
因为y′＝eq \f(x,2)，则过点A，B的切线分别为y－eq \f(xeq \\al(2,1),4)＝eq \f(x1,2)(x－x1)，
y－eq \f(xeq \\al(2,2),4)＝eq \f(x2,2)(x－x2)均过点P(x0，－1)，
则－1－eq \f(xeq \\al(2,1),4)＝eq \f(x1,2)(x0－x1)，－1－eq \f(xeq \\al(2,2),4)＝eq \f(x2,2)(x0－x2)，即x1，x2是方程－1－eq \f(x2,4)＝eq \f(x,2)(x0－x)的两根，则x1＋x2＝2x0，x1x2＝－4，设直线AB的方程为y＝kx＋b，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝4y，,y＝kx＋b，))得x2－4kx－4b＝0，则x1x2＝－4b＝－4，
即b＝1，|AB|＝ eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝ eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)
＝eq \r(1＋k2)·eq \r(4xeq \\al(2,0)＋16)，
O到直线AB的距离d＝eq \f(b,\r(k2＋1))，
则S△AOB＝eq \f(1,2)|AB|d＝eq \r(xeq \\al(2,0)＋4)≥2，
即△AOB的面积的最小值为2，故选B.
7．(2019·太原一模)过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为________．
解析 由过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得eq \f(b,a)eq \f(1,2)，即eeq \\al(2,1)>eq \f(1,2)，而0