高考复习《均值不等式》课时作业7.4

这是一份高考复习《均值不等式》课时作业7.4，共7页。
1．(2020·孝感调研)“a>b>0”是“abb>0，可知a2＋b2>2ab，充分性成立，由ablg x(x>0)
B．sin x＋eq \f(1,sin x)≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.eq \f(1,x2＋1)＜1(x∈R)
C 当x＞0时，x2＋eq \f(1,4)≥2·x·eq \f(1,2)＝x，所以lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,4)))≥lg x(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有eq \f(1,x2＋1)＝1，故选项D不正确．
3．(2020·青岛质检)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值是( )
A.eq \f(7,2) B．4 C.eq \f(9,2) D．5
C 依题意，得eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(4,b)))·(a＋b)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(4a,b)))))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2\r(\f(b,a)·\f(4a,b))))＝eq \f(9,2)，
当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝2，,\f(b,a)＝\f(4a,b)，,a>0，b>0，))即a＝eq \f(2,3)，b＝eq \f(4,3)时取等号，
即eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值是eq \f(9,2).
4．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.eq \f(1,ab)≤eq \f(1,4) B.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≤1
C.eq \r(ab)≥2 D．a2＋b2≥8
D 4＝a＋b≥2eq \r(ab)(当且仅当a＝b时，等号成立)，即eq \r(ab)≤2，ab≤4，eq \f(1,ab)≥eq \f(1,4)，选项A，C不成立；eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(4,ab)≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立．
5．(2020·玉溪一中月考)已知f(x)＝eq \f(x2－2x＋1,x)，则f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上的最小值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(4,3) C．－1 D．0
D 因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))，所以f(x)＝eq \f(x2－2x＋1,x)＝x＋eq \f(1,x)－2≥2－2＝0，当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时取等号．
又1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))，所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上的最小值为0.
6．(2020·天津滨海新区八校联考)已知a>b>0，且ab＝1，那么eq \f(a2＋b2,a－b)取最小值时，b＝________．
解析 eq \f(a2＋b2,a－b)＝eq \f(（a－b）2＋2ab,a－b)＝(a－b)＋eq \f(2,a－b)≥2eq \r(2)，
当且仅当a－b＝eq \r(2)时取等号，所以eq \f(1,b)－b＝eq \r(2)，
解得b＝eq \f(\r(6)－\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(舍去\f(－\r(6)－\r(2),2))).
答案 eq \f(\r(6)－\r(2),2)
7．(2019·太原模拟)若P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且A(－1，0)，B(1，0)，则|PA|＋|PB|的最大值为________．
解析 由题意知∠APB＝90°，∴|PA|2＋|PB|2＝4，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PA|＋|PB|,2)))eq \s\up12(2)≤eq \f(|PA|2＋|PB|2,2)＝2(当且仅当|PA|＝|PB|时取等号)，
∴|PA|＋|PB|≤2eq \r(2)，∴|PA|＋|PB|的最大值为2eq \r(2).
答案 2eq \r(2)
8．(2019·天津卷)设x>0，y>0，x＋2y＝4，则eq \f(（x＋1）（2y＋1）,xy)的最小值为________．
解析 eq \f(（x＋1）（2y＋1）,xy)＝eq \f(2xy＋x＋2y＋1,xy)＝eq \f(2xy＋5,xy)＝2＋eq \f(5,xy).
∵x>0，y>0且x＋2y＝4，
∴4≥2eq \r(2xy)(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)，
∴2xy≤4，∴eq \f(1,xy)≥eq \f(1,2)，
∴2＋eq \f(5,xy)≥2＋eq \f(5,2)＝eq \f(9,2).
答案 eq \f(9,2)
9．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(x2,360)))升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
解 (1)设所用时间为t＝eq \f(130,x)(h)，
则y＝eq \f(130,x)×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(x2,360)))＋14×eq \f(130,x)，x∈[50，100]，
所以这次行车总费用y关于x的表达式是
y＝eq \f(130×18,x)＋eq \f(2×130,360)x，x∈[50，100]．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或y＝\f(2 340,x)＋\f(13,18)x，x∈[50，100]))
(2)y＝eq \f(130×18,x)＋eq \f(2×130,360)x≥26eq \r(10)，
当且仅当eq \f(130×18,x)＝eq \f(2×130,360)x，即x＝18eq \r(10)时，等号成立．故当x＝18eq \r(10)千米/小时时，这次行车的总费用最低，最低费用为26eq \r(10)元．
10．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)求eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值．
解 (1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥2eq \r(10xy).
∵2x＋5y＝20，∴2eq \r(10xy)≤20，xy≤10，
当且仅当2x＝5y时，等号成立．
因此有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋5y＝20，,2x＝5y，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝2，))
此时xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)∵x>0，y>0，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))·eq \f(2x＋5y,20)
＝eq \f(1,20)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7＋\f(5y,x)＋\f(2x,y)))≥eq \f(1,20)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7＋2\r(\f(5y,x)·\f(2x,y))))＝eq \f(7＋2\r(10),20)，
当且仅当eq \f(5y,x)＝eq \f(2x,y)时，等号成立．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋5y＝20，,\f(5y,x)＝\f(2x,y)，))解得eq \b\lc\((\a\vs4\al\c1(x＝\f(10\r(10)－20,3)，,y＝\f(20－4\r(10),3).))
∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为eq \f(7＋2\r(10),20).
11．某人
准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？
解 (1)由题意可得xy＝1 800，b＝2a，
则y＝a＋b＋3＝3a＋3,
所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a
＝(3x－8)eq \f(y－3,3)＝1 808－3x－eq \f(8,3)y(x>3，y>3)．
(2)法一 S＝1 808－3x－eq \f(8,3)×eq \f(1 800,x)
＝1 808－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(4 800,x)))≤1 808－2eq \r(3x×\f(4 800,x))
＝1 808－240＝1 568，
当且仅当3x＝eq \f(4 800,x)，即x＝40时等号成立，S取得最大值，此时y＝eq \f(1 800,x)＝45，
所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值．
法二 设S＝f(x)＝1 808－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(4 800,x)))(x>3)，
则f′(x)＝eq \f(4 800,x2)－3＝eq \f(3（40－x）（40＋x）,x2)，
令f′(x)＝0，则x＝40，
当040时，f′(x)0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．
解析 法一 由题意可设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，x0＋\f(4,x0)))(x0>0)，
则点P到直线x＋y＝0的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x0＋x0＋\f(4,x0))),\r(2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(4,x0))),\r(2))≥eq \f(2 \r(2x0·\f(4,x0)),\r(2))＝4，当且仅当2x0＝eq \f(4,x0)，即x0＝eq \r(2)时取等号．故所求最小值是4.
法二 设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(4,x0)＋x0))(x0>0)，则曲线在点P处的切线的斜率为k＝1－eq \f(4,xeq \\al(2,0)).令1－eq \f(4,xeq \\al(2,0))＝－1，结合x0>0得x0＝eq \r(2)，∴P(eq \r(2)，3eq \r(2))，曲线y＝x＋eq \f(4,x)(x>0)上的点P到直线x＋y＝0的最短距离即为此时点P到直线x＋y＝0的距离，故dmin＝eq \f(|\r(2)＋3\r(2)|,\r(2))＝4.
答案 4
14．(2020·东莞调研)函数y＝lga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值为________．
解析 y＝lga(x＋3)－1恒过定点A(－2，－1)，
由A在直线mx＋ny＋1＝0上，
可得－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.
∴eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)＝eq \f(2m＋n,m)＋eq \f(2（2m＋n）,n)＝eq \f(n,m)＋eq \f(4m,n)＋4≥2eq \r(4)＋4＝8(当且仅当eq \f(n,m)＝eq \f(4m,n)，即m＝eq \f(1,4)，n＝eq \f(1,2)时等号成立)．
答案 8
15．若实数a，b满足ab－4a－b＋1＝0(a>1)，则(a＋1)(b＋2)的最小值为________．
解析 因为ab－4a－b＋1＝0，所以b＝eq \f(4a－1,a－1).
又a>1，所以b>0，所以(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋2b＋1＝6a＋8＋eq \f(6,a－1)＋1＝6(a－1)＋eq \f(6,a－1)＋15.
因为a－1>0，所以6(a－1)＋eq \f(6,a－1)＋15
≥2 eq \r(6（a－1）×\f(6,a－1))＋15＝27，
当且仅当6(a－1)＝eq \f(6,a－1)(a>1)，即a＝2时等号成立，故(a＋1)(b＋2)的最小值为27.
答案 27