高考复习《任意角》课时作业4.1

这是一份高考复习《任意角》课时作业4.1，共6页。

1．给出下列四个命题：
①－eq \f(3π,4)是第二象限角；②eq \f(4π,3)是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C －eq \f(3π,4)是第三象限角，故①错误.eq \f(4π,3)＝π＋eq \f(π,3)，从而eq \f(4π,3)是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
2．(2020·长春调研)已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为eq \r(2)，若α＝eq \f(π,4)，则点P的坐标为( )
A．(1，eq \r(2)) B．(eq \r(2)，1)
C．(eq \r(2)，eq \r(2)) D．(1，1)
D 设P(x，y)，则sin α＝eq \f(y,\r(2))＝sin eq \f(π,4)，∴y＝1.
又cs α＝eq \f(x,\r(2))＝cs eq \f(π,4)，∴x＝1，∴P(1，1)．
3．(2020·福州模拟)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝eq \f(3,5)，则m等于( )
A．－3 B．3
C.eq \f(16,3) D．±3
B sin θ＝eq \f(m,\r(16＋m2))＝eq \f(3,5)，且m>0，解得m＝3.
4．(2020·广州质检)点P的坐标为(2，0)，射线OP顺时针旋转2 010°后与圆x2＋y2＝4相交于点Q，则点Q的坐标为( )
A．(－eq \r(2)，eq \r(2)) B．(－eq \r(3)，1)
C．(－1，eq \r(3)) D．(1，－eq \r(3))
B 由题意得Q(2cs(－2 010°)，2sin(－2 010°))，
即Q(－eq \r(3)，1)．
5．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
C 设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝eq \f(1,2)|α|r2＝eq \f(1,2)×4×r2，解得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.
6．已知α是第二象限的角，其终边上一点为P(x，eq \r(5))，且cs α＝eq \f(\r(2),4)x，则tan α等于( )
A.eq \f(\r(15),5) B.eq \f(\r(15),3) C．－eq \f(\r(15),5) D．－eq \f(\r(15),3)
D ∵eq \f(x,\r(x2＋5))＝eq \f(\r(2),4)x且α在第二象限，
∴x＝－eq \r(3)，∴tan α＝eq \f(\r(5),－\r(3))＝－eq \f(\r(15),3).
7．(2020·怀化模拟)sin 2·cs 3·tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在
A ∵sin 2>0，cs 3<0，tan 4>0，
∴sin 2·cs 3·tan 4<0.
8．已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为( )
A.eq \f(5π,6) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(11π,6) D.eq \f(5π,3)
C 因为点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在第四象限，
根据三角函数的定义可知tan θ＝eq \f(－\f(1,2),\f(\r(3),2))＝－eq \f(\r(3),3)，
又θ∈[0，2π)，可得θ＝eq \f(11π,6).
9．(2020·河南八市联考)已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，点P(－4m，3m)(m>0)是角α终边上的一点，则2sin α＋cs α＝________．
解析 ∵|OP|＝ eq \r(（－4m）2＋（3m）2)＝5|m|＝5m(m>0)，
∴sin α＝eq \f(3m,5m)＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(－4m,5m)＝－eq \f(4,5)，
∴2sin α＋cs α＝2×eq \f(3,5)－eq \f(4,5)＝eq \f(2,5).
答案 eq \f(2,5)
10．已知扇形的圆心角为eq \f(π,6)，面积为eq \f(π,3)，则扇形的弧长等于________．
解析 设扇形半径为r，弧长为l，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(l,r)＝\f(π,6)，,\f(1,2)lr＝\f(π,3)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(l＝\f(π,3)，,r＝2.))
答案 eq \f(π,3)
11．函数y＝ eq \r(sin x－\f(\r(3),2))的定义域为________．
解析 利用三角函
数线(如图)，
由sin x≥eq \f(\r(3),2)，可知
2kπ＋eq \f(π,3)≤x≤2kπ＋eq \f(2,3)π，k∈Z.
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,3)，2kπ＋\f(2,3)π))，k∈Z
12．满足cs α≤－eq \f(1,2)的角α的集合为________．
解析 作直
线x＝－eq \f(1,2)交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，
故满足条件的角α的集合为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(2,3)π≤α≤2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z)))).
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(2,3)π≤α≤2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z))))
[技能过关提升]
13．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( )
A．若α，β是第一象限的角，则cs α>cs β
B．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β
C．若α，β是第三象限的角，则cs α>cs β
D．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β
D 如图，当α在第四象限时，作出α，β的正弦线M1P1，M2P2和正切线AT1，AT2，观察知当sin α>sin β时，tan α>tan β.
14．(2020·菏泽模拟)已知角α的终边经过点P(4a，3a)(a<0)，则25sin α－7tan 2α的值为________．
解析 因为角α的终边经过点P(4a，3a)(a<0)，所以x＝4a，y＝3a，r＝eq \r(（－4a）2＋（－3a）2)＝－5a，所以sin α＝eq \f(3a,－5a)＝－eq \f(3,5)，tan α＝eq \f(3a,4a)＝eq \f(3,4)，所以tan 2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝eq \f(2×\f(3,4),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))\s\up12(2))＝eq \f(24,7)，所以25sin α－7tan 2α＝25×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－7×eq \f(24,7)＝－39.
答案 －39
15．(2019·陕西山阳期末)如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α弧度，则eq \f(α,tan α)＝________．
解析 设扇形的半径为r，则扇形的面积为eq \f(1,2)αr2，在Rt△POB中，PB＝rtan α，则△POB的面积为eq \f(1,2)r·rtan α，由题意得eq \f(1,2)r·rtan α＝2×eq \f(1,2)αr2，即tan α＝2α，所以eq \f(α,tan α)＝eq \f(1,2).
答案 eq \f(1,2)
16．(2020·石家庄质检)已知sin α<0，tan α>0.
(1)求角α的集合；
(2)求eq \f(α,2)的终边所在的象限；
(3)试判断tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)的符号．
解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；
由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，
其集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2kπ＋π<α＜2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).
(2)由2kπ＋π<α<2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
得kπ＋eq \f(π,2)(3)当eq \f(α,2)在第二象限时，tan eq \f(α,2)<0，
sin eq \f(α,2)>0，cs eq \f(α,2)<0，所以tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)取正号；
当eq \f(α,2)在第四象限时，tan eq \f(α,2)<0，sin eq \f(α,2)<0，cs eq \f(α,2)>0，
所以tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)也取正号．
因此，tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)取正号．