高考复习《向量的坐标计算》课时作业5.2

这是一份高考复习《向量的坐标计算》课时作业5.2，共6页。
1．下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,4)))
B 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.
2．(2020·郑州质检)设平面向量a＝(－1，0)，b＝(0，2)，则2a－3b等于( )
A．(6，3) B．(－2，－6)
C．(2，1) D．(7，2)
B 2a－3b＝(－2，0)－(0，6)＝(－2，－6)．
3．(2020·河南中原名校联考)如图
所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若eq \(DE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )
A.eq \f(5,8) B.eq \f(1,4) C．1 D.eq \f(5,16)
A eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(DB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)(eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，
所以λ＝eq \f(1,4)，μ＝－eq \f(3,4)，故λ2＋μ2＝eq \f(5,8)，故选A.
4．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋b与a－2b共线，则m的值为( )
A．2 B．－2 C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
D 由a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得ma＋b＝(2m－1，3m＋2)，a－2b＝(4，－1)，又ma＋b与a－2b共线，所以－1×(2m－1)＝(3m＋2)×4，得m＝－eq \f(1,2)，故选D.
5．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1，2)，b＝(m，3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D 由题意知向量a，b不共线，故2m≠3m－2，即m≠2.
6．(2020·厦门调研)已知|eq \(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，点C在∠AOB内，且eq \(OC,\s\up6(→))与eq \(OA,\s\up6(→))的夹角为30°，设eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，则eq \f(m,n)的值为( )
A．2 B.eq \f(5,2) C．3 D．4
C ∵eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，∴eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，
以eq \(OA,\s\up6(→))所在直线为x轴，eq \(OB,\s\up6(→))所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，
eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，0)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(0，eq \r(3))，eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))＝(m，eq \r(3)n)．
∵tan 30°＝eq \f(\r(3)n,m)＝eq \f(\r(3),3)，∴m＝3n，即eq \f(m,n)＝3，故选C.
7．(2020·广东茂名模拟)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)且a∥b，若x，y均为正数，则eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)的最小值是( )
A．24 B．8 C.eq \f(8,3) D.eq \f(5,3)
B ∵a∥b，∴－2x－3(y－1)＝0，即2x＋3y＝3，又x，y＞0，∴eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)＝eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)×eq \f(1,3)(2x＋3y)＝eq \f(1,3)6＋eq \f(9y,x)＋eq \f(4x,y)＋6≥eq \f(1,3)12＋2 eq \r(\f(9y,x)·\f(4x,y))＝8，当且仅当2x＝3y＝eq \f(3,2)时，等号成立．∴eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)的最小值是8.故选B.
8．(2020·衡水模拟)已知点P为四边形ABCD所在平面内一点，且满足eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(CD,\s\up6(→))＝0，eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＋4eq \(DP,\s\up6(→))＝0，eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(BC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λμ＝( )
A.eq \f(7,6) B．－eq \f(7,6)
C．－eq \f(1,3) D.eq \f(1,3)
D 如图，取AB的中点O，连接DO.
由eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(CD,\s\up6(→))＝0，知AB∥CD，AB＝2CD，
所以CD綊OB，所以四边形OBCD为平行四边形．
又由eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＋4eq \(DP,\s\up6(→))＝0，得－2eq \(PO,\s\up6(→))＋4eq \(DP,\s\up6(→))＝0，
即eq \(PO,\s\up6(→))＝2eq \(DP,\s\up6(→))，所以D，P，O三点共线，且P为OD上靠近D的三等分点，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))，
所以λ＝eq \f(1,2)，μ＝eq \f(2,3)，所以λμ＝eq \f(1,3).
9．在▱ABCD中，AC为一条对角线，eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，4)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，3)，则向量eq \(BD,\s\up6(→))的坐标为________．
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，∴eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1)，
∴eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(－3，－5)．
答案 (－3，－5)
10．(2020·安徽江南十校联考)已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2，5)，c＝(m，3)，且(a＋c)∥(a－b)，则m＝______．
解析 a＝(1，m)，b＝(2，5)，c＝(m，3)，
∴a＋c＝(m＋1，m＋3)，a－b＝(－1，m－5)，
又(a＋c)∥(a－b)，∴(m＋1)(m－5)＋m＋3＝0，
即m2－3m－2＝0，解之得m＝eq \f(3±\r(17),2).
答案 eq \f(3±\r(17),2)
11．(2020·福建四地六校联考)已知A(1，0)，B(4，0)，C(3，4)，O为坐标原点，且eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))，则|eq \(BD,\s\up6(→))|＝________．
解析 由eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))知，点D是线段AC的中点，故D(2，2)，所以eq \(BD,\s\up6(→))＝(－2，2)，
故|eq \(BD,\s\up6(→))|＝ eq \r(（－2）2＋22)＝2eq \r(2).
答案 2eq \r(2)
12．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(CA,\s\up6(→))＝c，且eq \(CM,\s\up6(→))＝3c，eq \(CN,\s\up6(→))＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量eq \(MN,\s\up6(→))的坐标．
解 (1)由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
∴3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))
(3)设O为坐标原点，∵eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝3c，
∴eq \(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，
∴M(0，20)．又∵eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝－2b，
∴eq \(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
∴N(9，2)，∴eq \(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．
[技能过关提升]
13．(2020·河南三市联考)已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与eq \(AB,\s\up6(→)) 同方向的单位向量是______________．
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，
∴与eq \(AB,\s\up6(→))同方向的单位向量为eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))).
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5)))
14．(2020·南昌模拟)已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则xy的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，\f(4,9))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，\f(1,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,9)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,9)，\f(1,4)))
D 因为D，E是BC边的三等分点，点P在线段DE上，若eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，可得x＋y＝1，x，y∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))，xy＝x(1－x)＝x－x2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,4)，当x＝eq \f(1,2)时，xy取最大值eq \f(1,4)，当x＝eq \f(1,3)或x＝eq \f(2,3)时，xy取最小值eq \f(2,9).故选D.
15．(2020·河北石家庄一模)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，则m＋n的取值范围是________．
解析 由题意得，eq \(OC,\s\up6(→))＝keq \(OD,\s\up6(→))(k＜0)，
又|k|＝eq \f(|\(OC,\s\up6(→))|,|\(OD,\s\up6(→))|)＜1，∴－1＜k＜0.
又∵B，A，D三点共线，∴eq \(OD,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up6(→))，
∴meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))＝kλeq \(OA,\s\up6(→))＋k(1－λ)eq \(OB,\s\up6(→))，
∴m＝kλ，n＝k(1－λ)，
∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1，0)．
答案 (－1，0)
16．(2019·安庆二模)在△ABC中，AB＝1，BC＝eq \r(7)，CA＝3，O为△ABC的外心，若eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OB,\s\up6(→))＋neq \(OC,\s\up6(→))，其中m，n∈[0，1]，则点P的轨迹所对应图形的面积是________．
解析 由余弦定理得，cs∠BAC＝eq \f(AB2＋CA2－BC2,2·AB·CA)＝eq \f(12＋32－（\r(7)）2,2×1×3)＝eq \f(1,2)，所以∠BAC＝60°，因此eq \f(\r(7),sin60°)＝2OB，OB＝eq \f(\r(21),3).由题意知，点P的轨迹是以OB，OC为邻边的菱形及其内部，∠BOC＝120°.于是所求图形的面积是2S△BOC＝2×eq \f(1,2)×OB2·sin 120°＝eq \f(7,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(7\r(3),6).
答案 eq \f(7\r(3),6)