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    高考复习《圆的综合应用》课时作业9.8 练习

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    高考复习《圆的综合应用》课时作业9.8

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    这是一份高考复习《圆的综合应用》课时作业9.8,共8页。
    1.(2020·衡水模拟)若方程x2+eq \f(y2,a)=1(a是常数),则下列结论正确的是( )
    A.任意实数a方程表示椭圆
    B.存在实数a方程表示椭圆
    C.任意实数a方程表示双曲线
    D.存在实数a方程表示抛物线
    B 当a>0且a≠1时,方程表示椭圆,故选B.
    2.(2020·广东七校联考)设圆(x+2)2+y2=36的圆心为C,A(2,0)是圆内一定点,Q是圆周上任一点,AQ的垂直平分线与CQ的交点为R,则点R的轨迹方程为( )
    A.eq \f(y2,9)+eq \f(x2,5)=1 B.eq \f(y2,9)-eq \f(x2,5)=1
    C.eq \f(x2,9)+eq \f(y2,5)=1 D.eq \f(x2,9)-eq \f(y2,5)=1
    C 连接AR,由题意可知|RQ|=|RA|,所以|RC|+|RA|=|RC|+|RQ|=|CQ|=6>4=|AC|,所以点R的轨迹是以A(2,0),C(-2,0)为焦点的椭圆,其中2a=6,2c=4,所以b2=a2-c2=32-22=5,所以点R的轨迹方程为eq \f(x2,9)+eq \f(y2,5)=1.故选C.
    3.(2020·湛江模拟)在平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足eq \(OC,\s\up6(→))=λ1eq \(OA,\s\up6(→))+λ2eq \(OB,\s\up6(→))(O为原点,)其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是( )
    A.直线 B.椭圆
    C.圆 D.双曲线
    A 设C(x,y),则eq \(OC,\s\up6(→))=(x,y),eq \(OA,\s\up6(→))=(3,1),eq \(OB,\s\up6(→))=(-1,3),
    ∵eq \(OC,\s\up6(→))=λ1eq \(OA,\s\up6(→))+λ2eq \(OB,\s\up6(→)),∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=3λ1-λ2,,y=λ1+3λ2,))
    又λ1+λ2=1,∴化简得x+2y-5=0,表示一条直线.
    4.(2020·宜春质检)设定点M1(0,-3),M2(0,3),动点P满足条件|PM1|+|PM2|=a+eq \f(9,a)(其中a是正常数),则点P的轨迹是( )
    A.椭圆 B.线段
    C.椭圆或线段 D.不存在
    C ∵a是正常数,∴a+eq \f(9,a)≥2eq \r(9)=6,当且仅当a=3时“=”成立.
    当|PM1|+|PM2|=6时,点P的轨迹是线段M1M2;
    当|PM1|+|PM2|>6时,点P的轨迹是椭圆,故选C.
    5.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是( )
    A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0
    C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0
    D 由题意知,M为PQ中点,
    设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),
    代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.
    6.(2020·广州模拟)如图,斜线段AB与
    平面α所成的角为60°,B为斜足,平面α上的动点P满足∠PAB=30°,则点P的轨迹是( )
    A.直线 B.抛物线
    C.椭圆 D.双曲线的一支
    C 本题可构造如图圆锥.母线与中轴线夹角为30°,然后用平面α去截,使直线AB与平面α的夹角为60°,则截口为P的轨迹图形,由圆锥曲线的定义可知,P的轨迹为椭圆.故选C.
    7.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积为________.
    解析 设P(x,y),由|PA|=2|PB|,
    得 eq \r((x+2)2+y2)=2eq \r((x-1)2+y2),
    ∴3x2+3y2-12x=0,即x2+y2-4x=0.
    ∴P的轨迹为以(2,0)为圆心,2为半径的圆.
    即轨迹所包围的图形的面积等于4π.
    答案 4π
    8.(2020·梅州质检)在△ABC中,|eq \(BC,\s\up6(→))|=4,△ABC的内切圆切BC于D点,且|eq \(BD,\s\up6(→))|-|eq \(CD,\s\up6(→))|=2eq \r(2),则顶点A的轨迹方程为________________.
    解析 以BC的中点为原点,中垂线为y轴
    ,建立如图所示的平面直角坐标系,E,F分别为两个切点,
    则|BE|=|BD|,|CD|=|CF|,
    |AE|=|AF|.∴|AB|-|AC|=2eq \r(2)eq \r(2)).
    答案 eq \f(x2,2)-eq \f(y2,2)=1(x>eq \r(2))
    9.△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是______________________.
    解析
    如图,|AD|=|AE|=8,
    |BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,
    所以|CA|-|CB|=8-2=6,
    |AB|=10.即|CA|-|CB|3).
    答案 eq \f(x2,9)-eq \f(y2,16)=1(x>3)
    10.如图,
    P是椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)上的任意一点,F1,F2是它的两个焦点,O为坐标原点,且eq \(OQ,\s\up6(→))=eq \(PF1,\s\up6(→))+eq \(PF2,\s\up6(→)),则动点Q的轨迹方程是________________.
    解析 由于eq \(OQ,\s\up6(→))=eq \(PF1,\s\up6(→))+eq \(PF2,\s\up6(→)),
    又eq \(PF1,\s\up6(→))+eq \(PF2,\s\up6(→))=eq \(PM,\s\up6(→))=2eq \(PO,\s\up6(→))=-2eq \(OP,\s\up6(→)),
    设Q(x,y),则eq \(OP,\s\up6(→))=-eq \f(1,2)eq \(OQ,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(x,2),-\f(y,2))),
    即P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(x,2),-\f(y,2))),又P在椭圆上,
    则有eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(x,2)))\s\up12(2),a2)+eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(y,2)))\s\up12(2),b2)=1,即eq \f(x2,4a2)+eq \f(y2,4b2)=1.
    答案 eq \f(x2,4a2)+eq \f(y2,4b2)=1
    11.(2019·广州模拟)已知点C(1,0),点A
    ,B是⊙O:x2+y2=9上任意两个不同的点,且满足eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))=0,设P为弦AB的中点.
    (1)求点P的轨迹T的方程;
    (2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
    解 (1)连接CP,OP,由eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))=0,知AC⊥BC,
    ∴|CP|=|AP|=|BP|
    =eq \f(1,2)|AB|,
    由垂径定理知,
    |OP|2+|AP|2=|OA|2,
    即|OP|2+|CP|2=9,
    设点P(x,y),则(x2+y2)+[(x-1)2+y2]=9,
    化简,得x2-x+y2=4.
    (2)存在.根据抛物线的定义,到直线x=-1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2=2px(p>0)上,其中eq \f(p,2)=1.
    ∴p=2,故抛物线方程为y2=4x,
    由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2=4x,,x2-x+y2=4,))得x2+3x-4=0,
    解得x=1或x=-4.
    由x≥0,故取x=1,此时y=±2.
    故满足条件的点存在,其坐标为(1,-2)和(1,2).
    12.已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.
    (1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
    (2)记(1)中轨迹为C,过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程.
    解 (1)由题意,得eq \f(|MP|,|MQ|)=5,即eq \f(\r((x-26)2+(y-1)2),(x-2)2+(y-1)2)=5,
    化简,得x2+y2-2x-2y-23=0,
    所以点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25.
    轨迹是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆.
    (2)当直线l的斜率不存在时,l:x=-2,
    此时所截得的线段长度为2eq \r(52-32)=8,
    所以l:x=-2符合题意.
    当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-3=k(x+2),
    即kx-y+2k+3=0,圆心(1,1)到直线l的距离d=eq \f(|3k+2|,\r(k2+1)),
    由题意,得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|3k+2|,\r(k2+1))))eq \s\up12(2)+42=52,解得k=eq \f(5,12).
    所以直线l的方程为eq \f(5,12)x-y+eq \f(23,6)=0,即5x-12y+46=0.
    综上,直线l的方程为x=-2或5x-12y+46=0.
    [技能过关提升]
    13.(2020·宿迁模拟)若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是( )
    A.x+y=5 B.x2+y2=9
    C.eq \f(x2,25)+eq \f(y2,9)=1 D.x2=16y
    B ∵M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,∴M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线,方程为eq \f(x2,16)-eq \f(y2,9)=1.
    A项,直线x+y=5过点(5,0),故直线与M的轨迹有交点,满足题意;
    B项,x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意;
    C项,eq \f(x2,25)+eq \f(y2,9)=1的右顶点为(5,0),故椭圆eq \f(x2,25)+eq \f(y2,9)=1与M的轨迹有交点,满足题意;
    D项,方程代入eq \f(x2,16)-eq \f(y2,9)=1,可得y-eq \f(y2,9)=1,即y2-9y+9=0,∴Δ>0,满足题意.
    14.(2019·北京卷)
    数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论:
    ①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
    ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过eq \r(2);
    ③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
    其中,所有正确结论的序号是( )
    A.① B.② C.①② D.①②③
    C
    曲线的方程x2+y2=1+|x|y可看成关于y的一元二次方程y2-|x|y+x2-1=0,由题图可知该方程必有两个不相等的实根,∴Δ=|x|2-4(x2-1)>0,∴x22=|AB|,故F点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).
    答案 eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1(y≠0)
    16.(2020·新余模拟)曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:
    ①曲线C过坐标原点;
    ②曲线C关于坐标原点对称;
    ③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于eq \f(1,2)a2.
    其中,所有正确结论的序号是________.
    解析 因为原点O到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离的积是1,又a>1,所以曲线C不过原点,即①错误;因为F1(-1,0),F2(1,0)关于原点对称,所以|PF1|·|PF2|=a2对应的轨迹关于原点对称,即②正确;
    因为S△F1PF2=eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2
    ≤eq \f(1,2)|PF1||PF2|=eq \f(1,2)a2,
    即△F1PF2的面积不大于eq \f(1,2)a2,即③正确.
    答案 ②③

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