高考复习《圆的综合应用》课时作业9.8

这是一份高考复习《圆的综合应用》课时作业9.8，共8页。
1．(2020·衡水模拟)若方程x2＋eq \f(y2,a)＝1(a是常数)，则下列结论正确的是( )
A．任意实数a方程表示椭圆
B．存在实数a方程表示椭圆
C．任意实数a方程表示双曲线
D．存在实数a方程表示抛物线
B 当a>0且a≠1时，方程表示椭圆，故选B.
2．(2020·广东七校联考)设圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为C，A(2，0)是圆内一定点，Q是圆周上任一点，AQ的垂直平分线与CQ的交点为R，则点R的轨迹方程为( )
A.eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1 B.eq \f(y2,9)－eq \f(x2,5)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1 D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,5)＝1
C 连接AR，由题意可知|RQ|＝|RA|，所以|RC|＋|RA|＝|RC|＋|RQ|＝|CQ|＝6＞4＝|AC|，所以点R的轨迹是以A(2，0)，C(－2，0)为焦点的椭圆，其中2a＝6，2c＝4，所以b2＝a2－c2＝32－22＝5，所以点R的轨迹方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1.故选C.
3．(2020·湛江模拟)在平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足eq \(OC,\s\up6(→))＝λ1eq \(OA,\s\up6(→))＋λ2eq \(OB,\s\up6(→))(O为原点，)其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．圆 D．双曲线
A 设C(x，y)，则eq \(OC,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \(OA,\s\up6(→))＝(3，1)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－1，3)，
∵eq \(OC,\s\up6(→))＝λ1eq \(OA,\s\up6(→))＋λ2eq \(OB,\s\up6(→))，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3λ1－λ2，,y＝λ1＋3λ2，))
又λ1＋λ2＝1，∴化简得x＋2y－5＝0，表示一条直线．
4．(2020·宜春质检)设定点M1(0，－3)，M2(0，3)，动点P满足条件|PM1|＋|PM2|＝a＋eq \f(9,a)(其中a是正常数)，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．椭圆或线段 D．不存在
C ∵a是正常数，∴a＋eq \f(9,a)≥2eq \r(9)＝6，当且仅当a＝3时“＝”成立．
当|PM1|＋|PM2|＝6时，点P的轨迹是线段M1M2；
当|PM1|＋|PM2|>6时，点P的轨迹是椭圆，故选C.
5．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
D 由题意知，M为PQ中点，
设Q(x，y)，则P为(－2－x，4－y)，
代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.
6．(2020·广州模拟)如图，斜线段AB与
平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是( )
A．直线 B．抛物线
C．椭圆 D．双曲线的一支
C 本题可构造如图圆锥．母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆．故选C.
7．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________．
解析 设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，
得 eq \r(（x＋2）2＋y2)＝2eq \r(（x－1）2＋y2)，
∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.
∴P的轨迹为以(2，0)为圆心，2为半径的圆．
即轨迹所包围的图形的面积等于4π.
答案 4π
8．(2020·梅州质检)在△ABC中，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|eq \(BD,\s\up6(→))|－|eq \(CD,\s\up6(→))|＝2eq \r(2)，则顶点A的轨迹方程为________________．
解析 以BC的中点为原点，中垂线为y轴
，建立如图所示的平面直角坐标系，E，F分别为两个切点，
则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，
|AE|＝|AF|.∴|AB|－|AC|＝2eq \r(2)eq \r(2))．
答案 eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1(x>eq \r(2))
9．△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是______________________．
解析
如图，|AD|＝|AE|＝8，
|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6，
|AB|＝10.即|CA|－|CB|3)．
答案 eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x>3)
10．如图，
P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))，则动点Q的轨迹方程是________________．
解析 由于eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))，
又eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))＝eq \(PM,\s\up6(→))＝2eq \(PO,\s\up6(→))＝－2eq \(OP,\s\up6(→))，
设Q(x，y)，则eq \(OP,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)，－\f(y,2)))，
即P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)，－\f(y,2)))，又P在椭圆上，
则有eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)))\s\up12(2),a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,2)))\s\up12(2),b2)＝1，即eq \f(x2,4a2)＋eq \f(y2,4b2)＝1.
答案 eq \f(x2,4a2)＋eq \f(y2,4b2)＝1
11．(2019·广州模拟)已知点C(1，0)，点A
，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，设P为弦AB的中点．
(1)求点P的轨迹T的方程；
(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)连接CP，OP，由eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，知AC⊥BC，
∴|CP|＝|AP|＝|BP|
＝eq \f(1,2)|AB|，
由垂径定理知，
|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，
即|OP|2＋|CP|2＝9，
设点P(x，y)，则(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，
化简，得x2－x＋y2＝4.
(2)存在．根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1，0)的距离的点都在抛物线y2＝2px(p>0)上，其中eq \f(p,2)＝1.
∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，
由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x2－x＋y2＝4，))得x2＋3x－4＝0，
解得x＝1或x＝－4.
由x≥0，故取x＝1，此时y＝±2.
故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1，2)．
12．已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|＝5|MQ|.
(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记(1)中轨迹为C，过点N(－2，3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程．
解 (1)由题意，得eq \f(|MP|,|MQ|)＝5，即eq \f(\r(（x－26）2＋（y－1）2),（x－2）2＋（y－1）2)＝5，
化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0，
所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25.
轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆．
(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，
此时所截得的线段长度为2eq \r(52－32)＝8，
所以l：x＝－2符合题意．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，圆心(1，1)到直线l的距离d＝eq \f(|3k＋2|,\r(k2＋1))，
由题意，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|3k＋2|,\r(k2＋1))))eq \s\up12(2)＋42＝52，解得k＝eq \f(5,12).
所以直线l的方程为eq \f(5,12)x－y＋eq \f(23,6)＝0，即5x－12y＋46＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或5x－12y＋46＝0.
[技能过关提升]
13．(2020·宿迁模拟)若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )
A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9
C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 D．x2＝16y
B ∵M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，∴M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1.
A项，直线x＋y＝5过点(5，0)，故直线与M的轨迹有交点，满足题意；
B项，x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；
C项，eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的右顶点为(5，0)，故椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与M的轨迹有交点，满足题意；
D项，方程代入eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，可得y－eq \f(y2,9)＝1，即y2－9y＋9＝0，∴Δ>0，满足题意．
14．(2019·北京卷)
数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过eq \r(2)；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是( )
A．① B．② C．①② D．①②③
C
曲线的方程x2＋y2＝1＋|x|y可看成关于y的一元二次方程y2－|x|y＋x2－1＝0，由题图可知该方程必有两个不相等的实根，∴Δ＝|x|2－4(x2－1)>0，∴x22＝|AB|，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．
答案 eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0)
16．(2020·新余模拟)曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于eq \f(1,2)a2.
其中，所有正确结论的序号是________．
解析 因为原点O到两个定点F1(－1，0)，F2(1，0)的距离的积是1，又a>1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1(－1，0)，F2(1，0)关于原点对称，所以|PF1|·|PF2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；
因为S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2
≤eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝eq \f(1,2)a2，
即△F1PF2的面积不大于eq \f(1,2)a2，即③正确．
答案 ②③