高考复习《向量的应用二》课时作业5.4

这是一份高考复习《向量的应用二》课时作业5.4，共10页。
1．(2020·株州模拟)在△ABC中，(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AC,\s\up6(→))|2，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
C 由(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AC,\s\up6(→))|2，
得eq \(AC,\s\up6(→))·(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，
即eq \(AC,\s\up6(→))·(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))＝0，2eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(AC,\s\up6(→))⊥eq \(BA,\s\up6(→))，∴A＝90°.
又根据已知条件不能得到|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|，
故△ABC一定是直角三角形．
2．已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2，则点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
D ∵eq \(PA,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，
∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，
∴y2＝x＋6，即点P的轨迹是抛物线．
3．已知向量m＝(1，cs θ)，n＝(sin θ，－2)，且m⊥n，则sin 2θ＋6cs2θ的值为( )
A.eq \f(1,2) B．2
C．2eq \r(2) D．－2
B 由题意可得m·n＝sin θ－2cs θ＝0，
则tan θ＝2，所以sin 2θ＋6cs2θ＝eq \f(2sin θcs θ＋6cs2θ,sin2θ＋cs2θ)
＝eq \f(2tan θ＋6,tan2θ＋1)＝2.故选B.
4．(2020·山西太原五中模拟)已知△DEF的外接圆的圆心为O，半径R＝4，如果eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝0，且|eq \(OD,\s\up6(→))|＝|eq \(DF,\s\up6(→))|，则向量eq \(EF,\s\up6(→))在eq \(FD,\s\up6(→))方向上的投影为( )
A．6 B．－6
C．2eq \r(3) D．－2eq \r(3)
B 由eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝0得，eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)).
∴DO经过EF的中点，∴DO⊥EF.
连接OF，∵|eq \(OF,\s\up6(→))|＝|eq \(OD,\s\up6(→))|＝|eq \(DF,\s\up6(→))|＝4，
∴△DOF为等边三角形，∴∠ODF＝60°.
∴∠DFE＝30°，且EF＝4×sin 60°×2＝4eq \r(3).
∴向量eq \(EF,\s\up6(→))在eq \(FD,\s\up6(→))方向上的投影为|eq \(EF,\s\up6(→))|·cs〈eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(FD,\s\up6(→))〉＝4eq \r(3)cs 150°＝－6，故选B.
5．(2020·湖北黄冈模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，(c－2a)·(c－b)＝0，则|c|的最大值与最小值的和为( )
A．0 B.eq \r(3)
C.eq \r(2) D.eq \r(7)
D ∵a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)＝0，即a2＝2a·b，
又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝eq \f(1,2)，a与b的夹角为60°.
设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，以O为坐标原点，eq \(OB,\s\up6(→))的方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，
则a＝eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2)，b＝(1，0)．
设c＝(x，y)，则c－2a＝(x－1，y－eq \r(3))，c－b＝(x－1，y)．
又∵(c－2a)·(c－b)＝0，∴(x－1)2＋y(y－eq \r(3))＝0.
即(x－1)2＋y－eq \f(\r(3),2)2＝eq \f(3,4)，
∴点C的轨迹是以点M1，eq \f(\r(3),2)为圆心，eq \f(\r(3),2)为半径的圆．
又|c|＝eq \r(x2＋y2)表示圆M上的点与原点O(0，0)之间的距离，所以|c|max＝|OM|＋eq \f(\r(3),2)，|c|min＝|OM|－eq \f(\r(3),2)，
∴|c|max＋|c|min＝2|OM|＝2× eq \r(12＋\f(\r(3),2)2)＝eq \r(7)，故选D.
6．(2020·四川凉山州一诊)若直线ax－y＝0(a≠0)与函数f(x)＝eq \f(2cs2x＋1,ln \f(2＋x,2－x))的图象交于不同的两点A，B，且点C(6，0)，若点D(m，n)满足eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))，则m＋n等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B 因为f(－x)＝eq \f(2cs2（－x）＋1,ln \f(2－x,2＋x))＝eq \f(2cs2x＋1,－ln \f(2＋x,2－x))＝－f(x)，且直线ax－y＝0过坐标原点，所以直线与函数f(x)＝eq \f(2cs2x＋1,ln \f(2＋x,2－x))的图象的两个交点A，B关于原点对称，即xA＋xB＝0，yA＋yB＝0，又eq \(DA,\s\up6(→))＝(xA－m，yA－n)，eq \(DB,\s\up6(→))＝(xB－m，yB－n)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(m－6，n)，由eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))，得xA－m＋xB－m＝m－6，yA－n＋yB－n＝n，解得m＝2，n＝0，所以m＋n＝2，故选B.
7．在菱形ABCD中，若AC＝4，则eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝________．
解析 设∠CAB＝θ，AB＝BC＝a，
由余弦定理得a2＝16＋a2－8acs θ，∴acs θ＝2，
∴eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝4×a×cs(π－θ)＝－4acs θ＝－8.
答案 －8
8．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________．
解析 由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，
即4|b|2＋4×2|b|2cs θ＝0，
∴cs θ＝－eq \f(1,2).
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(2π,3).
答案 eq \f(2π,3)
9．已知O为△ABC内一点，且eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＝0，则△AOC与△ABC的面积之比是________．
解析
如图所示，取AC的中点D，
∴eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OD,\s\up6(→))，∴eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(BO,\s\up6(→))，
∴O为BD的中点，∴面积比为高之比．即eq \f(S△AOC,S△ABC)＝eq \f(DO,BD)＝eq \f(1,2).
答案 1∶2
10．(2020·河北衡水中同卷)已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，AB∥CD，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MD,\s\up6(→))|的取值范围为__________．
解析 建立如图所示的平面直角坐标系．
则A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)，D(0，2)，设eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ)，故eq \(MD,\s\up6(→))＝(－λ，2－2λ)，eq \(MB,\s\up6(→))＝(2－λ，－2λ)，则eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MD,\s\up6(→))＝(2－2λ，2－4λ)，|eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MD,\s\up6(→))|＝eq \r(（2－2λ）2＋（2－4λ）2)＝eq \r(20λ－\f(3,5)2＋\f(4,5))，
当λ＝0时，|eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MD,\s\up6(→))|取得最大值2eq \r(2)，
当λ＝eq \f(3,5)时，|eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MD,\s\up6(→))|取得最小值为eq \f(2\r(5),5)，
∴|eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MD,\s\up6(→))|∈eq \f(2\r(5),5)，2eq \r(2).
答案 eq \f(2\r(5),5)，2eq \r(2)
11．已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))＝0，eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2)eq \(MQ,\s\up6(→)) ，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．
解 设M(x，y)为所求轨迹上任一点，
设A(a，0)，Q(0，b)(b＞0)，
则eq \(PA,\s\up6(→))＝(a，3)，eq \(AM,\s\up6(→))＝(x－a，y)，eq \(MQ,\s\up6(→))＝(－x，b－y)，
由eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))＝0，得a(x－a)＋3y＝0.①
由eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2)eq \(MQ,\s\up6(→))，得
(x－a，y)＝－eq \f(3,2)(－x，b－y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x，\f(3,2)（y－b）))，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－a＝\f(3,2)x，,y＝\f(3,2)y－\f(3,2)b，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(x,2)，,b＝\f(y,3).))
∵b＞0，∴y＞0，
把a＝－eq \f(x,2)代入到①中，得－eq \f(x,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(x,2)))＋3y＝0，
整理得y＝eq \f(1,4)x2(x≠0)．
∴动点M的轨迹方程为y＝eq \f(1,4)x2(x≠0)．
12．(2020·酒泉质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(eq \r(2)a－c)eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝ceq \(CB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→)).
(1)求角B的大小；
(2)若|eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，求△ABC面积的最大值．
解 (1)由题意得(eq \r(2)a－c)cs B＝bcs C.
根据正弦定理得(eq \r(2)sin A－sin C)cs B＝sin Bcs C，
所以eq \r(2)sin Acs B＝sin(C＋B)，
即eq \r(2)sin Acs B＝sin A，
因为A∈(0，π)，所以sin A>0.
所以cs B＝eq \f(\r(2),2)，又B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,4).
(2)因为|eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，所以|eq \(CA,\s\up6(→))|＝eq \r(6).
即b＝eq \r(6)，根据余弦定理及基本不等式，得
6＝a2＋c2－eq \r(2)ac≥2ac－eq \r(2)ac＝(2－eq \r(2))ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋eq \r(2))，
故△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B≤eq \f(3（\r(2)＋1）,2)，
即△ABC的面积的最大值为eq \f(3\r(2)＋3,2).
[技能过关提升]
13．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C)，λ∈(0，＋∞)，则( )
A．动点P的轨迹一定通过△ABC的重心
B．动点P的轨迹一定通过△ABC的内心
C．动点P的轨迹一定通过△ABC的外心
D．动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心
D 由条件，得eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C)，
从而eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝λeq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C)
＝λ·eq \f(|\(AB,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|cs（180°－B）,|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋λ·eq \f(|\(AC,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|cs C,|\(AC,\s\up6(→))|cs C)＝0，所以eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．
14．(2020·大庆一模)已知共面向量a，b，c满足|a|＝3，b＋c＝2a，且|b|＝|b－c|.若对每一个确定的向量b，记|b－ta|(t∈R)的最小值为dmin，则当b变化时，dmin的最大值为( )
A.eq \f(4,3) B．2 C．4 D．6
B
固定向量a＝(3，0)，则b，c向量分别在以(3，0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，其中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，如图，易得点B的坐标B(rcs θ＋3，rsin θ)，
因为|b|＝|b－c|，
所以OB＝BC，即(rcs θ＋3)2＋r2sin2θ＝4r2，
整理为r2－2rcs θ－3＝0，可得cs θ＝eq \f(r2－3,2r)，
而|b－ta|(t∈R)的最小值为dmin，
即dmin＝rsin θ＝eq \r(\f(－r4＋10r2－9,4))＝eq \r(4－\f(（r2－5）2,4))≤2，
所以dmin的最大值是2，故选B.
15．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．2eq \r(2) C.eq \r(5) D．2
A
建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2，1)．
设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.
∵CD＝1，BC＝2，
∴BD＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，
EC＝eq \f(BC·CD,BD)＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，即圆C的半径为eq \f(2\r(5),5)，
∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝eq \f(4,5).
设P(x0，y0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝2＋\f(2\r(5),5)cs θ，,y0＝1＋\f(2\r(5),5)sin θ))(θ为参数)，
而eq \(AP,\s\up6(→))＝(x0，y0)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，1)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(2，0)．
∵eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ)，
∴μ＝eq \f(1,2)x0＝1＋eq \f(\r(5),5)cs θ，λ＝y0＝1＋eq \f(2\r(5),5)sin θ.
两式相加，得
λ＋μ＝1＋eq \f(2\r(5),5)sin θ＋1＋eq \f(\r(5),5)cs θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中sin φ＝\f(\r(5),5)，cs φ＝\f(2\r(5),5)))，当且仅当θ＝eq \f(π,2)＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.故选A.
16．已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，圆M：(x－2－5cs θ)2＋(y－5sin θ)2＝1(θ∈R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))的最小值是________．
解析 圆(x－2)2＋y2＝4的圆心C(2，0)，半径为2，
圆M(x－2－5cs θ)2＋(y－5sin θ)2＝1，
圆心M(2＋5cs θ，5sin θ)，半径为1，
∵CM＝5＞2＋1，故两圆外离．
如图所示，设直线CM和圆M交于H，G两点，
则eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))的最小值是eq \(HE,\s\up6(→))·eq \(HF,\s\up6(→))，
HC＝CM－1＝5－1＝4，
HF＝HE＝eq \r(HC2－CE2)
＝eq \r(16－4)＝2eq \r(3)，
sin∠CHE＝eq \f(CE,CH)＝eq \f(1,2)，
∴cs∠EHF＝cs 2∠CHE＝1－2sin2∠CHE＝eq \f(1,2)，
∴eq \(HE,\s\up6(→))·eq \(HF,\s\up6(→))＝|eq \(HE,\s\up6(→))|·|eq \(HF,\s\up6(→))|·cs∠EHF
＝2eq \r(3)×2eq \r(3)×eq \f(1,2)＝6.
∴eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))的最小值是6.
答案 6