高考复习《数学归纳法》课时作业13.3

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1．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C.eq \f(2k＋1,k＋1) D.eq \f(2k＋3,k＋1)
B 当n＝k(k∈N*)时，左式为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)；
当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，
则左边应增乘的式子是eq \f(（2k＋1）（2k＋2）,k＋1)＝2(2k＋1)．
2．(2020·泉州模拟)设S1＝12，S2＝12＋22＋12，…，Sn＝12＋22＋32＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12，用数学归纳法证明Sn＝eq \f(n（2n＋1）,3)时，第二步从“k”到“k＋1”应添加的项为________．
解析 由S1，S2，…，Sn可以发现由n＝k到n＝k＋1时，中间增加了两项(k＋1)2＋k2(n，k∈N*)．
答案 (k＋1)2＋k2
3．在数列{bn}中，b1＝2，bn＋1＝eq \f(3bn＋4,2bn＋3)(n∈N*)．求b2，b3，试判定bn与eq \r(2)的大小，并加以证明．
解 由b1＝2，bn＋1＝eq \f(3bn＋4,2bn＋3)，
得b2＝eq \f(3×2＋4,2×2＋3)＝eq \f(10,7)，b3＝eq \f(58,41).
经比较有b1>eq \r(2)，b2>eq \r(2)，b3>eq \r(2).
猜想bn>eq \r(2)(n∈N*)．
下面利用数学归纳法证明．
①当n＝1时，
∵b1＝2，∴eq \r(2)0.
∴bk＋1>eq \r(2)，也就是说，当n＝k＋1时，结论也成立．
根据①②知bn>eq \r(2)(n∈N*)．
4．已知数列{an}，an≥0，a1＝0，aeq \\al(2,n＋1)＋an＋1－1＝aeq \\al(2,n)，求证：当n∈N*时，an