高考复习《定积分》课时作业3.3

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1．∫eq \s\up6(\f(π,2))0sin2eq \f(x,2)dx等于( )
A．0 B.eq \f(π,4)－eq \f(1,2)
C.eq \f(π,4)－eq \f(1,4) D.eq \f(π,2)－1
B ∫eq \s\up6(\f(π,2))0sin2eq \f(x,2)dx＝∫eq \s\up6(\f(π,2))0eq \f(1－cs x,2)dx
＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)sin xeq \s\up6(\f(π,2))0＝eq \f(π,4)－eq \f(1,2).
2．(2020·东莞质检)eq \i\in(－1,1,)(eq \r(1－x2)＋x)dx等于( )
A．π B.eq \f(π,2)
C．π＋1 D．π－1
B eq \i\in(－1,1,)(eq \r(1－x2)＋x)dx＝eq \i\in(－1,1,)eq \r(1－x2)dx＋eq \i\in(－1,1,)xdx＝eq \f(π,2)＋eq \f(1,2)x2eq \\al(1,－1)＝eq \f(π,2).故选B.
3．已知函数y＝f(x)的图象为如图所示的折线ABC，则eq \a\vs4\al(\i\in(－1,1,)[（x＋1）)f(x)]dx等于( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
D 由题图易知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x－1，－1≤x≤0,x－1，0b B．a＋b1－cs 1，即a>b.故选A.
7．(2020·汕头模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1（－1≤x≤0），,\r(1－x2)（00，若曲线y＝eq \r(x)与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________．
解析 封闭图形如图所示，
则eq \i\in(0,a,)eq \r(x)dx＝eq \f(2,3)xeq \s\up6(\f(3,2))eq \\al(a,0)＝eq \f(2,3)aeq \s\up6(\f(3,2))－0＝a2，解得a＝eq \f(4,9).
答案 eq \f(4,9)
12．如图所示，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．
解析 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－x2＋2x＋1，,y＝1，))
解得x1＝0，x2＝2.
∴S＝eq \i\in(0,2,)(－x2＋2x＋1－1)dx＝eq \i\in(0,2,)(－x2＋2x)dx
＝eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x3,3)＋x2))))eq \s\up12(2)0＝－eq \f(8,3)＋4＝eq \f(4,3).
答案 eq \f(4,3)
[技能过关提升]
13.
(2020·太原联考)如图，矩形OABC中曲线的方程分别是y＝sin x，y＝cs x，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，C(0，1)，在矩形OABC内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )
A.eq \f(4（\r(3)－1）,π) B.eq \f(4（\r(2)－1）,π)
C．4(eq \r(3)－1)π D．4(eq \r(2)－1)π
B 由题可知图中阴影部分的面积
S＝2∫eq \s\up6(\f(π,4))0(cs x－sin x)dx
＝2(sin x＋cs x)eq \s\up6(\f(π,4))0＝2(eq \r(2)－1)，
易知矩形OABC的面积为eq \f(π,2)，所以在矩形OABC内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为eq \f(4（\r(2)－1）,π).
14．(2020·呼和浩特质检)若S1＝eq \i\in(1,2,)x2dx，S2＝eq \a\vs4\al(\i\in(1,2,)\f(1,x)dx)，S3＝eq \i\in(1,2,)exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A．S1