高考复习《线性规划》课时作业7.3

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1．下列二元一次不等式组可表示图中阴影部分平面区域的是( )
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y≥－1，,2x－y＋2≥0)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y≥－1，,2x－y＋4≤0))
C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤0，,y≥－2，,2x－y＋2≥0)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤0，,y≥－2，,2x－y＋4≤0))
C 将原点坐标(0，0)代入2x－y＋2，得2>0，于是2x－y＋2≥0所表示的平面区域在直线2x－y＋2＝0的右下方，结合所给图形可知C正确．
2．(2019·天津卷)设变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－2≤0，,x－y＋2≥0，,x≥－1，,y≥－1，))则目标函数z＝－4x＋y的最大值为( )
A．2 B．3
C．5 D．6
C 由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．
∵z＝－4x＋y可化为y＝4x＋z，
∴作直线l0：y＝4x，并进行平移，显然当l0过点A(－1，1)时，z取得最大值，
zmax＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.
3．(一题多解)(2019·全国Ⅲ卷)记不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y≥6，,2x－y≥0，))表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题：
①p∨q；②綈p∨q；③p∧綈q；④綈p∧綈q.
这四个命题中，所有真命题的编号是( )
A．①③ B．①②
C．②③ D．③④
A
法一 画出可行域如图中阴影部分所示．
目标函数z＝2x＋y是一组平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y的纵截距．显然，直线过点A(2，4)时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.
∴2x＋y∈[8，＋∞)．
由此得命题p：∃(x，y)∈D，2x＋y≥9正确；
命题q：∀(x，y)∈D，2x＋y≤12不正确．
∴①③真，②④假．
法二 取x＝4，y＝5，满足不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y≥6，,2x－y≥0，))且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假．
∴①③真，②④假．
4．(2020·河南六校联考)不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2≤0，,x－2y＋4≥0，,－x－y＋2≤0，))表示的平面区域的面积为________．
解析 依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示．
平面区域为△ABC及其内部，其中A(2，0)，B(0，2)，C(2，3)，
所以所求面积为eq \f(1,2)×2×|AC|＝3.
答案 3
5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )
A．1 800元 B．2 400元
C．2 800元 D．3 100元
C 设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，
则根据题意得x，y满足的约束条件为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y≤12，,2x＋y≤12，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N.))
设获利z元，则z＝300x＋400y.
画出可行域如图阴影部分．
画出直线l：300x＋400y＝0，即3x＋4y＝0.
平移直线l，从图中可知，
当直线l过点M时，目标函数取得最大值．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝12，,2x＋y＝12，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝4，))即M的坐标为(4，4)，
∴zmax＝300×4＋400×4＝2 800(元)．故选C.
6．(2020·枣庄模拟)已知实数x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>0，,4x＋3y≤4，,y≥0，))则ω＝eq \f(y＋1,x)的最小值是( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
D 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部
分所示，ω＝eq \f(y＋1,x)的几何意义是区域内的点P(x，y)与定点A(0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P位于点D(1，0)时，直线AP的斜率最小，此时ω＝eq \f(y＋1,x)的最小值为eq \f(－1－0,0－1)＝1.故选D.
7．(2020·开封一模)若x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2，))且目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，则a的取值范围是( )
A．[－4，2] B．(－4，2)
C．[－4，1] D．(－4，1)
B 作出不等式组表示
的平面区域如图中阴影部分所示，直线z＝ax＋2y的斜率为k＝－eq \f(a,2)，从图中可看出，当－1