课题

《分层随机抽样》

教学目标

1.  知识目标

通过实例，了解分层随机抽样的必要性、分层随机抽样的含义、特点和适用范围;
结合实例掌握分层随机抽样的各层样本量比例分配方法、会用比例分配分层随机抽样的样本均值估计总体均值;

2.   能力目标

能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题;

3.   情感目标

通过经历分层随机抽样收集数据、分析数据的过程，感受样本的随机性，提升数据分析素养.

教学重点

分层随机抽样的概念及总体均值的估计;通过信息技术辅助，多次重复抽样直观感知样本平均数的随机性和规律性，体会不同抽样的估计的效果，了 解样本均值与总体均值的关系;

教学难点

理解用比例分配分层随机抽样估计总体均值的数学原理，能准确归纳不同抽样的估计特征;从统计意义上理解在合理分层的情况下分层随机抽样的估计效果优于简单随机抽样.

教学准备

教师准备：多媒体课件、学情分析

学生准备：随机抽样复习、预习分层随机抽样

教学过程

一、复习导入

前面学习了简单随机抽样.我们知道，为了解总体的情况，可以从总体中随机抽取一部分 个体作为样本，用样本估计总体.样本的代表性越好，对于总体情况的反映就越好，所以提高样本的代表性是抽样调查的核心之一.

二、探究学习

思考1:运用简单随机抽样的过程中，是否可能出现全是高个子或全是矮个子的样本呢(全是男生或全是女生) ?
抽样调查最核心的问题是样本的代表性.简单随机抽样是使总体中每-一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本.例如，在对树人中学高一年级学生身高的调查中，可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形.这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数，从而使得估计出现较大的误差.

思考2:导致简单随机抽样可能出现“极端样本的原因”
总体中个体之间差异较大.
样本抽取具有随机性.
通常总体中个体差异越小样本均值估计总体均值效果越好
能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢?

问题3在树人中学高一 年级的712名学生中，男生有326名、女生有386名.能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法，减少“极端”样本的出现，从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢?

思考3:如果按照男生、女生两个子总体抽取样本，那么抽取男生和女生的样本量如何确定才有利于反映总体呢?为什么?




当总样本量为50时，可以计算出从男生、女生中分别应抽取的人数为

 

我们按上述方法抽取了一个容量为50的样本，其观测数据(单位: cm)如下:

男生
173.0， 174.0 ，166.0， 172.0， 170.0 ，165.0， 165.0， 168.0 ，164.0 ，173. 0
172.0 ，173.0 ，175.0 ，168.0， 170.0， 172.0 ，176.0 ，175.0 ，168.0 ，173. 0
167.0 ，170.0 ，175.0
女生
163.0， 164.0 ，161.0， 157.0 ，162.0 ，165.0 ，158.0 ，155.0 ，164.0 ，162. 5
154.0， 154.0 ，164.0 ，149.0 ，159.0， 161.0， 170.0 ，171.0， 155.0， 148.0
172.0，162.5 ，158.0， 155.5 ，157.0 ，163.0 ，172. 0

(1)运用所有样本数据直接计算平均数。
总样本数据/50≈165.2 估计高一年级学生的平均身高.
通过计算，得出男生和女生身高的样本平均数分别为170.6，160. 6

(2)运用样本中男、女姓身高的平均数和样本量计算总样本平均数。（170.6×23+160.6× 27）/50≈165.2 作为高一年级学生的平均身高的估计.
(3)运用总体中男、女生身高的平均数和各子总体的人数计算总体平均数（170.6×326+160.6× 386）/712≈165.18.作为高- -年级学生的平均身高的估计.

以上我们用不同于简单随机抽样的方法抽取了样本.你能归纳出这种抽样方法的操作步骤吗?

分层随机抽样：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样.
每一个子总体称为层在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.

分层随机抽样的特点：
将总体按一定标准分成若干个互不交叉的层(子总体)，各层按比例抽样，更充分的反映了总体的情况.
每层都抽样，各层都是独立的抽样，各层的抽样都是简单随机抽样,方便组织实施，而且除了能得到总体的估计外，同时还能得到每层的估计.
等可能抽样,每个个体被到的概率都相等.

分层随机抽样适用范围：
适用于总体规模和样本量都较大，总体是由差异明显的几部分组成的情况

思考4:分层随机抽样的步骤
根据已掌握的信息，将总体按一定标准分成互不相交的L层，N,，N2，.. N:;
按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量，根据总体中的个体数N，各层中的个体数N1，N2，.. NL和样本容量n，计算第i层抽取的个体数ni=(Ni/N)×n使得各ni之和为n;
在每一层用简单随机抽样进行抽样,得到各层的样本;
汇总各层的样本得到总样本.
如果分层合理，使得层内差异小，层间差异大，则分层随机抽样不会出现“极端样本”，对总体的估计效果优于简单随机抽样.
2.探索汇总的样本平均数与总体平均数关系
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别m和n.我们用X1，X2，... XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，.. xm表示第1层样本的各个个体的变量值;用Y1，Y2， .，. YN表示第2层各个个体的变量值，用y1， y2. .. yn,表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数和样本平均数分别为


第2层的总体平均数和样本平均数分别为
 

总体平均数和样本平均数分别为

由于用第1层的样本平均数:x可以估计第1层的总体平均数X，用第2层的样本平均数y可以估计第2层的总体平均数Y，因此我们可以用
 

估计总体平均数W
在比例分配的分层随机抽样中，.


因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数w估计总体平均数W.

三、巩固提升

小明想考察一下简单随机抽样及分层随机抽样的估计效果，他从树人中学医务室得到了高一年级学生身高的所有数据，计算出整个年级学生的平均身高为165.8 cm.然后，小明分别用简单随机抽样和分层随机抽样的方法，从数据中抽取了样本量为50和100的样本各10个，分别计算出样本平均数，并绘制10次样本平均数的折线图，从小明多次抽样所得的结果中你有什么发现?
探究:从样本均值估计总体均值的角度，比例分配的分层随机抽样的估计效果是否一定比简单随机抽样的估计效果好呢?
通过多次分层随机抽样和多次简单随机抽样所得样本均值与总体均值的比较可以发现，分层随机抽样的估计效果并不是每一次都优于简单随机抽样，而是从整体上或者从多数意义上优于简单随机抽样.
相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀，简单随机抽样的样本平均数偏离总体平均数的幅度比较大.

四、课堂小结

分层随机抽样：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样.
每一个子总体称为层在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.

分层随机抽样的特点：
将总体按一定标准分成若干个互不交叉的层(子总体)，各层按比例抽样，更充分的反映了总体的情况.
每层都抽样，各层都是独立的抽样，各层的抽样都是简单随机抽样,方便组织实施，而且除了能得到总体的估计外，同时还能得到每层的估计.
等可能抽样,每个个体被到的概率都相等.

分层随机抽样适用范围
适用于总体规模和样本量都较大，总体是由差异明显的几部分组成的情况

课后作业

184页练习1，2，3, 4.
188页习题9.1 5，7.

板书设计

分层随机抽样

复习导入

思考1

思考2

思考3

思考4

探索2

巩固提升

课堂小结