教版 (2019) 选择性必修第一册第3章 习题课　抛物线的标准方程及性质的应用试卷

这是一份教版 (2019) 选择性必修第一册第3章 习题课　抛物线的标准方程及性质的应用试卷，共10页。
习题课　抛物线的标准方程及性质的应用学习目标　1.了解抛物线的简单应用.2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题.3.掌握与抛物线有关的轨迹求法．一、直线与抛物线的位置关系问题1　类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系．提示　如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点．知识梳理设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ0，即k0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且AB＝eq \f(5,2)p，求AB所在的直线方程．解　由题意知焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB⊥x轴，则AB＝2p≠eq \f(5,2)p，不满足题意．所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，k≠0.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.由根与系数的关系得y1＋y2＝eq \f(2p,k)，y1y2＝－p2.所以AB＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))·y1－y22)＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))＝eq \f(5,2)p，解得k＝±2.所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.延伸探究若本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离．解　如图，过A，B，M分别作准线x＝－eq \f(p,2)的垂线交准线于点C，D，E.由定义知AC＋BD＝eq \f(5,2)p，则梯形ABDC的中位线ME＝eq \f(5,4)p，∴点M到y轴的距离为eq \f(5,4)p－eq \f(p,2)＝eq \f(3,4)p.反思感悟　求弦长问题的方法(1)一般弦长：AB＝eq \r(1＋k2)x1－x2，或AB＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|.(2)焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝x1＋x2＋p.跟踪训练2　已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．(1)若AB＝10，求实数m的值；(2)若OA⊥OB，求实数m的值．解　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,y2＝8x，))得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是(　　)A．相交 B．相切C．相离 D．相交或相切答案　D解析　当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)有一个交点，此时直线l与抛物线是相交的．当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切．3．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________. 答案　(4,2)解析　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＝2，,y2＝4x，))得x2－8x＋4＝0，Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，故线段AB的中点坐标为(4,2)．4．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.答案　0或1解析　当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.综上，k＝0或1.课时对点练一、选择题1．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆心C的轨迹为(　　)A．抛物线 B．双曲线C．椭圆 D．圆答案　A解析　设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，所以圆心C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故圆心C的轨迹是抛物线．2．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，AF·BF＝16，则p的值为(　　)A．2 B．4 C．2eq \r(2) D．8答案　C解析　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线方程为x＝－eq \f(p,2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴直线AB的方程为y＝x－eq \f(p,2)，代入y2＝2px可得x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0，∴x1＋x2＝3p，x1x2＝eq \f(p2,4)，由抛物线的定义可知，AF＝x1＋eq \f(p,2)，BF＝x2＋eq \f(p,2)，∴AF·BF＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(p,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(p,2)))＝x1x2＋eq \f(p,2)(x1＋x2)＋eq \f(p2,4)＝eq \f(p2,4)＋eq \f(3,2)p2＋eq \f(p2,4)＝2p2＝16，解得p＝2eq \r(2).3．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点为E，O为坐标原点，且OE＝eq \r(13)，则p等于(　　)A．2 B．3 C．6 D．12答案　A解析　由题意可知Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，则直线AB为y＝x－eq \f(p,2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝2px1，,y\o\al(2,2)＝2px2，))相减得，yeq \o\al(2,1)－yeq \o\al(2,2)＝2p(x1－x2)⇒y1＋y2＝2p，因为E为线段AB的中点，所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，即Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，p))，因为E在直线AB：y＝x－eq \f(p,2)上，所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3p,2)，p))，又因为OE＝eq \r(13)，所以p＝2.4．设抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离为d1，到直线l：3x＋4y＋12＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为(　　)A．2 B.eq \f(15,3) C.eq \f(16,3) D．3答案　A解析　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,3x＋4y＋12＝0，))得3y2＋16y＋48＝0，Δ＝256－12×480，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，所以yeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,2)＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，当m＝0时，yeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,2)的最小值为32.三、解答题7．过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A，B两点．求证：(1)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；(2)直线AB过定点．证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x0，y0)，(1)kOA＝eq \f(y1,x1)，kOB＝eq \f(y2,x2)，∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0，∵yeq \o\al(2,1)＝2px1，yeq \o\al(2,2)＝2px2，∴eq \f(y\o\al(2,1),2p)·eq \f(y\o\al(2,2),2p)＋y1y2＝0，∵y1≠0，y2≠0，∴y1y2＝－4p2，∴x1x2＝4p2.(2)当直线AB的斜率存在时，∵yeq \o\al(2,1)＝2px1，yeq \o\al(2,2)＝2px2，∴(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(2p,y1＋y2)，∴kAB＝eq \f(2p,y1＋y2)，∴直线AB：y－y1＝eq \f(2p,y1＋y2)(x－x1)，∴y＝eq \f(2px,y1＋y2)＋y1－eq \f(2px1,y1＋y2)，∴y＝eq \f(2px,y1＋y2)＋eq \f(y\o\al(2,1)－2px1＋y1y2,y1＋y2)，∵yeq \o\al(2,1)＝2px1，y1y2＝－4p2，∴y＝eq \f(2px,y1＋y2)＋eq \f(－4p2,y1＋y2)，∴y＝eq \f(2p,y1＋y2)(x－2p)，∴AB过定点(2p,0)．当直线AB的斜率不存在时，则kOA＝1，∴直线OA：y＝x，与抛物线方程联立，得x2＝2px，∴A(2p,2p)，故直线AB过定点(2p,0)，综上，AB过定点(2p,0)．8．已知抛物线y2＝2x，过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程．解　方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为M(x，y)，则y1＋y2＝2y，当直线AB的斜率存在时，kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(y－1,x－2).易知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝2x1，　①,y\o\al(2,2)＝2x2，　②))①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，所以2y·eq \f(y1－y2,x1－x2)＝2，即2y·eq \f(y－1,x－2)＝2，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝x－eq \f(7,4)(y≠0)．当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，AB的中点为(2,0)，适合上式，故所求轨迹方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝x－eq \f(7,4).方法二　当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)(k≠0)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－1＝kx－2，,y2＝2x，))得eq \f(k,2)y2－y＋1－2k＝0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝－12－4×\f(k,2)1－k>0，))所以k∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为P(x，y)，则y1＋y2＝eq \f(2,k)，y1y2＝eq \f(21－2k,k).所以x1＋x2＝eq \f(1,2)(yeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,2))＝eq \f(1,2)[(y1＋y2)2－2y1y2]＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,k2)－\f(41－2k,k)))＝eq \f(2－2k＋4k2,k2).则x＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(1－k＋2k2,k2)，y＝eq \f(y1＋y2,2)＝eq \f(1,k)，消去k得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝x－eq \f(7,4)(y≠0)．当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，AB的中点为(2,0)，适合上式．故所求轨迹方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝x－eq \f(7,4).9.如图，已知抛物线y2＝4x，其焦点为F.(1)求以M(1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．解　(1)由题意知，中点弦所在的直线斜率存在．设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则yeq \o\al(2,1)＝4x1，yeq \o\al(2,2)＝4x2，kPQ＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝2，∴所求直线方程为2x－y－1＝0.(2)依题意知，直线m，n的斜率存在，设直线m的方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，其两根为x3，x4，且x3＋x4＝eq \f(4,k2)＋2.由抛物线的定义可知，AB＝2＋x3＋x4＝eq \f(4,k2)＋4，同理，CD＝4k2＋4，∴四边形ACBD的面积S＝eq \f(1,2)(4k2＋4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k2)＋4))＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋k2＋\f(1,k2)))≥32.当且仅当k＝±1时取得最小值．