2022中考数学压轴题复习之二次函数压轴之线段最值问题-含详细参考答案学案

这是一份2022中考数学压轴题复习之二次函数压轴之线段最值问题-含详细参考答案学案，共13页。

二次函数背景下的线段最值问题，考查的方式灵活多变，既有通过代数式表达线段长，通过函数的角度来求线段最值，也有通过几何模型对线段和差的最值问题进行求解，例如将军饮马问题、胡不归问题、阿氏圆问题、瓜豆原理等，对同学们的基础功底有较高的要求.本专题对常见的线段最值题型进行深度归纳和解析.
1．如图1，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝8，B点横坐标为2，延长矩形OBDC的DC边交抛物线于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P是直线EO上方的抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线EO于点M，求PM的最大值；
2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y＝x﹣3经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，d＝MN+PM，求d的最大值
3.已知：平面直角坐标系内一直线：y＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，抛物线在x轴上方部分上有一动点D，连结AC；
（1）求抛物线解析式；
（2）当D在第一象限，求D到直线BC的最大距离；
4.如图1所示，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点E在抛物线的对称轴上，则CE+OE的最小值为 ．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上位于直线BC上方的一个动点，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q；过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，求出2PQ+EF的最大值及此时点P的坐标；
6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A(1，0)、B两点，与y轴交于点C(0，﹣3)，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，交直线BC于点N，求PN+CN的最大值，并求出此时点P的坐标；
7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作PD∥AC交BC于E，交x轴于点D，求PE+BE的最大值以及此时点P的坐标；
8.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），点B是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0）与x轴的两个交点，点B在点A的右侧．抛物线与y轴交于点C（0，3）．
（Ⅰ）求a与b之间的关系式；
（Ⅱ）连接BC，若BC=OB，求此时抛物线的顶点坐标；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情况下，若点D，E是该抛物线对称轴上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE周长的最小值．
9.如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．
①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，请直接写出B点的对应点的坐标；
②求FD长度的取值范围．
10.已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（3，0）和C（0，3），与x轴交于另一点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，过点P作AC的平行线，与直线BC交于点D．过点P作直线BC的垂线，与直线BC交于点E．求△PDE周长的最大值．
11.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点Q是x轴上一动点，将△ACQ沿CQ翻折，得△DCQ，连接BD，请直接写出BD的最小值．
12.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（x1，0）、点C（x2，0），且x1，x2满足x1+x2＝2，x1•x2＝﹣3，与y轴交于点B，E（m，0）是x轴上一动点，过点E作EP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．
（1）求抛物线解析式．
（2）如图，点Q是直线EP上的一动点，连接CQ，将线段CQ绕点Q逆时针旋转120°，得到线段QF，当m＝1时，请直接写出PF的最小值．
13.如图，已知抛物线C：y＝ax2过点A（﹣2，4）．
（1）求抛物线C的解析式；
（2）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，使求5AP+OP的最小值，并求出此时点P的坐标．
14.在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D．
（1）求抛物线的解析式．
（3）如图,D(3，0)，点G是线段OC上一个动点，连结DG，求DG+CG的最小值．
15.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，且点B的坐标为（2，0），与y轴交于C点，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点D为抛物线的顶点，连接AD、AC，∠DAO＝45°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上第三象限内的一个动点，当点P位于对称轴左侧时，过点P作x轴的垂线分别交AD、AC于点E、F，过点P作AD的垂线交AD于点H，求EF+PH的最大值及此时点P的坐标；
参考答案
(1)由已知可得A(-6,0)B(2,0),设抛物线的解析式为y=a(x-2)(x+6)=ax2+bx+4，
故a=-,故抛物线的解析式为y=-x2-x+4
易知C(2，4)得E(-4，4)直线OE的解析式为y=-x
设P(m，-m2-m+4)则M(m，-m)，
得PM=-m2-m+4-(-m)=-m2-m+4，当m=-时，PM取最大值，PMmax=
(1)易知B(3，0)，C(0,-3)代入抛物线解析式可得b=-2，c=-3，故抛物线的解析式y=x2-2x-3
连接AM，由已知P(t,t2-2t-3)，M(t，t-3)，PM=t-3-(t2-2t-3)=-t2+3t
,，，
于是，故MN+PM=-t2+5t，当t=时取最大值，(MN+PM)max=
解：(1)y=-x2+2x+3；
设D(m,-m2+2m+3)，易知BC：y=-x+3，F(m，-m+3)，DF=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m，，得DE=，当m=时，DE取最大值
解：(1)y=-x2-3x+4
取点C关于对称轴x=-的对称点C′，则CE=C′E，OE+CE=OE+C′E
当O、E、C′共线时，取最小值，C′(-3,4)，(OE+CE)min=5
解：(1)y=-x2+x+4
由二次函数解析式易知B(4，0),C(0,4),故BOC为等腰直角三角形，PEQ亦为等腰直角三角形，设P(m，-m2+m+4)，Q(m，-m+4)
PQ=-m2+m+4-(-m+4)=-m2+2m,EF=m-EH=m-PQ=m-(-m2+2m)=m2
2PQ+EF=2(-m2+2m)+m2=-m2+4m，当m=时，(2PQ+EF)max=,此时P(，)
解：(1)y=x2+2x-3
(2)设P(m，m2+2m-3)，则N(m，-m-3)，PN=-m-3-(m2+2m-3)=-m2-3m，CH=-m，故PN+CN=-m2-5m，当m=-时，PN+CN取最大值，此时P(-，-)
7.解：(1)y=-x2+2x+3
过点E作x轴的平行线，作PM⟂EN，BN⟂EN，易知，即有，而，即有BN=，BN=MH故PE+BE=2(+)=2(PM+BN)=2PH，当P为抛物线的顶点时，取最大值，即P(1,4),(PE+BE)max=8
8.解：(1)将(-1，0)和(0，3)代入抛物线解析式得b=a+3
(2)y=-x2+2x+3
(3)A、B关于对称轴对称，故BE=AE，将点C向下平移1个单位至点C′，易知C′E=CD，当C′、E、B共线时，C′E+BE取最小值，C′(0,2),(C′E+BE)min=，故四边形ADCE周长的最小值为+
解：(1)y=x2-6x+5
(2)易知直线BC的解析式为y=-x+5，设M(m，m2-6m+5)则N(m，-m+5)，MN=-m+5-(m2-6m+5)=-m2+5m，当m=时，MN取最大值，MNmax=
(3)B′(1，-4)；如图连接AB′、B′D，易知AB′DABP，P在圆上运动，则D也在圆上运动；(或由瓜豆原理可知D的轨迹亦是圆)，当F、D、B′共线时FD取最小值2-2，当F、B′、D共线时，FD取最大值2+2，故2-2FD2+2
解：(1)抛物线的解析式为y=-x2+2x+3
B(3,0)，C(0，3)，A(-1，0)，直线BC解析式为y=-x+3设P(m，-m2+2m+3)，F(m,-m+3)，PF=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m，PE=PF=(-m2+3m)作DG⟂PF于点G，PD||AC，∠PDC=∠ACB，∠PDC=∠PFD+∠FPD，∠ACB=∠ACO+∠BCO，而∠PFD=∠BCO=45，故∠ACO=∠FPD，tan∠FPD=设PG=3DG而DG=GF，故PG=PF=(-m2+3m)，DG=FG=PF=(-m2+3m)，,故PD==(-m2+3m)，DE=EF-DF=(-m2+3m)-(-m2+3m)，故PDE的周长，当m=时，PDE的周长取最大值
(1)y=-x2+2x+3
(2)由CD=CA=可知点D在以C为圆心，为半径的圆上，当B、D、C共线时，BD取最小值，BDmin=3-
解：(1)y=-x2+2x+3
(2)在PE上取一点G，使∠CGE=60°，取点H使GH=CG，连接CG、CH、FC、FH，易知CQF~CGH，，故∠QCG=∠FCH，故QCG~FCH，故∠GFH=30°，当∠PFH=90°时，PF取最小值，PF的最小值为2+
13.解：(1)y=x2
(2)取A点关于y轴的对称点A′，则A′P=AP，连接AO，作PD⟂AO于点D，易知PD=PO，5AP+PO=5(AP+PO)=5(A′P+PD)，当A′、P、D共线且垂直于AO时，取最小值，A′(2,4),直线A′P的解析式为y=x+3,故P(0,3)
14.解：(1)y=-x2+3x+4
(2)过点C作直线l，且与OC成30夹角，作GH⟂l于点H，有GH=CG，故DG+CG=DG+GH，当D、G、H共线时取最小值，DH=2+，故DG+CG的最小值为2+
解：(1)y=(x-2)(x+4)=x2+x-
(2)易知PFH=45°，故PE=PH，故EF+PH=EF+PE=PF，设P(m，m2+m-)，而直线AC的解析式为y=-x-，故F(m，-m-),PF=-m--(m2+m-)=-m2-m
当m=-2时，PF取最大值，最大值为，此时P(-2，-)