上海市徐汇区2022届高三二模数学试题（含答案）

2022届徐汇区高三数学二模卷

（考试时间120分钟）

2022.4

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.已知，则______________.

2.不等式的解集为______________.

3.在的二项展开式中，项的系数为______________.

4.已知球的体积为，则该球的左视图所表示图形的面积为______________.

5.已知圆的方程为，则圆心到直线：的距离______________.

6.若关于的实系数一元二次方程的一根为（为虚数单位），则______________.

7.已知，若直线：与直线：平行，则______________.

8.已知实数，满足约束条件，则的最小值是______________.

9.设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是______________.

10.上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想.若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是______________.（结果用最简分数表示）

11.在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为______________.

12.已知定义在上的函数满足，当时，.设在区间上的最小值为.若存在，使得有解，则实数的取值范围是______________.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑..

13.下列以为参数的参数方程中，其表示的曲线与方程表示的曲线完全一致的是（    ）.

A.   B.   C.   D.

14.已知函数，，则“”是“的值域为”的（    ）.

A.充分非必要条件   B.必要非充分条件

C.充分必要条件   D.既不充分也不必要条件

15.某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（    ）.

A.60   B.70   C.80   D.100

16.设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，，则数列为收敛数列.下列关于收敛数列说法正确的是（    ）.

A.若等比数列是收敛数列，则公比

B.等差数列不可能是收敛数列

C.设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列

D.设数列的前项和为，满足，，则数列是收敛数列

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

如图，已知为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，，，圆柱的表面积为.

（1）求三棱锥的体积；

（2）求直线与平面所成的角的大小.

解：（1）

（2）

18.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

已知为实数，函数，.

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）若对任意，恒成立，求的取值范围.

解：（1）

（2）

19.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动区.如图，，（单位：米），E、F为BC上的两点，且，区域为休息区，和区域均为活动区.设.

（1）求、的长（用的代数式表示）；

（2）为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）.当为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？

解：（1）

（2）

20.（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）

在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）已知动点在曲线上，点在直线上，且，求线段长的最小值；

（3）过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点，点关于轴的对称点为，试问：在轴上是否存在一定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.

解：（1）

（2）

（3）

21.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

对于数列，记.

（1）若数列通项公式为：，求；

（2）若数列满足：，，且，

求证：的充分必要条件是；

（3）已知，若，.

求的最大值.

解：（1）

（2）

（3）