预测09 【精品】尺规作图-2022年中考数学三轮冲刺过关（全国通用）

预测09  尺规作图

尺规作图是全国中考的热点！但总有一部分学生，因为五种基本作图方法没掌握好，就丢了分数。

1．从考点频率看，作线段的垂直平分线和作角的平分线是高频考点。

2．从题型角度看，选择题、填空题较多，同时考查基本作图和三角形、四边形结合的综合性题目以解答题为主。

一：作已知角的平分线

（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N；

（2）分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；

（3）作射线OP，OP即为所作的角平分线.

二：作已知线段的垂直平分线

（1）分别以M、N为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；

（2）连接PQ，交MN于O．

则PQ就是所求作的MN的垂直平分线.

尺规作图题常用的解题方法归纳：（1）首先分析题设要用哪种尺规作图。（2）对于已知作法进行有关结论的判断或计算问题，要能通过作图步骤判断是哪种基本作图，作出的线段、角有什么关系，以及要知道作出图形的性质，进而做出判断或计算。

1．（海南省2021年中考数学真题试卷）如图，已知，直线与直线分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交直线b于点C，连接，若，则的度数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可得直线是线段AB的垂直平分线，进而可得，利用平行线的性质及等腰三角形中等边对等角，可得，所以可求得．

【详解】∵已知分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交直线b于点C，连接，

∴直线垂直平分线段AB，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴．

故选：C．

【点睛】题目主要考查线段垂直平分线的作法及性质、平行线的性质等，根据题意得出直线垂直平分线段AB是解题关键．

2．（2021年贵州省铜仁市中考数学真题试卷）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，按下列步骤作图：

步骤1：以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交AC、AB于点D、E．

步骤2：分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点M．

步骤3：作射线AM交BC于点F．

则AF的长为（　　）

A．6 B．3 C．4 D．6

【答案】B

【解析】利用基本作图得到AF平分∠BAC，过F点作FH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到FH＝FC，再根据勾股定理计算出AC＝6，设CF＝x，则FH＝x，然后利用面积法得到×10•x+×6•x＝×6×8，解得x＝3，最后利用勾股定理计算AF的长．

【解答】解：由作法得AF平分∠BAC，

过F点作FH⊥AB于H，如图，

∵AF平分∠BAC，FH⊥AB，FC⊥AC，

∴FH＝FC，

在△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，

∴AC＝＝6，

设CF＝x，则FH＝x，

∵S△ABF+S△ACF＝S△ABC，

∴×10•x+×6•x＝×6×8，解得x＝3，

在Rt△ACF中，AF＝＝＝3．

故选：B．

3.（2021年湖北省黄石市中考数学真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB＝10，BC＝6，则线段CD的长为（　　）

A．3 B． C． D．

【答案】A

【解析】利用基本作图得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到则DE＝DC，再利用勾股定理计算出AC＝8，然后利用面积法得到•DE×10+•CD×6＝×6×8，最后解方程即可．

【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，

过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE＝DC，

在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，

∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，

∴•DE×10+•CD×6＝×6×8，

即5CD+3CD＝24，

∴CD＝3．

故选：A．

4.（2021年吉林省长春市中考数学真题试卷）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】A

【解析】根据等腰三角形的定义一一判断即可．

【解答】解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．

B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．

C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．

D、由作图可知BD＝CD，推出AD＝DC＝BD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．

故选：A．

5.（2021年辽宁省本溪市中考数学真题 ）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（　　）

A．+1 B．+3 C．+1 D．4

【答案】C

【解析】由题意得BE是∠ABC的平分线，再由等腰三角形的性质得BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，由勾股定理得BC＝，然后由直角三角形斜边上的中线性质得EF＝BC＝BF＝CF，求解即可．

【解答】解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，

∵AB＝BC，

∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，

∴∠AEC＝90°，

∴BC＝＝＝，

∵点F为BC的中点，

∴EF＝BC＝BF＝CF，

∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE＝+1，

故选：C．

6.（2021·广东省·中考真题）如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使．

（1）若，求的周长；

（2）若，求的值．

【答案】（1）1；（2）

【解析】

【分析】(1)作出BC的垂直平分线，连接BD，由垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周长；

(2)设，，进而求出，在Rt△ABD中使用勾股定理求得，由此即可求出的值．

【详解】解：(1)如图，连接，设垂直平分线交于点F，

∵为垂直平分线，

∴，

∵，

∴．

(2)设，∴，

又∵，∴，

中，．

∴．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角函数的定义及勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等是解决本题的关键．

7.（2021年广西贵港市中考数学真题）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB＞AC．

（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；

（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．

【解析】（1）作线段BC的垂直平分线交AB于点D，连接CD即可．

（2）作∠ADT＝∠ACB，射线DT交AC于点E，点E即为所求．

【解答】解：（1）如图，点D即为所求．

（2）如图，点E即为所求．

8.（2021年江苏省无锡市中考数学真题试卷）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若AB＝，⊙O的半径为5，则sinB＝　　．（如需画草图，请使用图2）

【解析】（1）利用尺规作出∠ACB的角平分线CD，作线段AC的垂直平分线交CD于点O，以O为圆心，OC为半径作⊙O即可．

（2）连接OA，设射线CD交AB于E．利用勾股定理求出OE，EC，再利用勾股定理求出BC，可得结论．

【解答】解：（1）如图，射线CD，⊙O即为所求．

（2）连接OA，设射线CD交AB于E．

∵CA＝CB，CD平分∠ACB，

∴CD⊥AB，AE＝EB＝，

∴OE＝＝＝，

∴CE＝OC+OE＝5+＝，

∴AC＝BC＝＝＝8，

∴sinB＝＝＝．

故答案为：．

9.（北京市2021年中考数学真题试题）《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步，在点处立一根杆．取的中点，那么直线表示的方向为东西方向．

（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）；

（2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明．

证明：在中，______________，是的中点，

（______________）（填推理的依据）．

∵直线表示的方向为东西方向，

∴直线表示的方向为南北方向．

【答案】（1）图见详解；（2），等腰三角形的三线合一

【解析】

【分析】（1）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC的交点即为所求点D；

（2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答．

【详解】解：（1）如图所示：

（2）证明：在中，，是的中点，

（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）．

∵直线表示的方向为东西方向，

∴直线表示的方向为南北方向；

故答案为，等腰三角形的三线合一．

【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键．

10.（山东省烟台市2021年中考数学真题）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．

（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．

①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；

②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；

③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M．

（2）在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线；

（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径．

【解析】（1）①以A为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC、AB相交，再以两个交点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC内部一点，将点A与它连接并延长，与BC交于点D，则AD为∠BAC的平分线；

②分别以点A、点D为圆心，以大于AD长度为半径画圆，将两圆交点连接，则EF为AD的垂直平分线，EF与AB交于点O；

（2）根据线段垂直平分线及角平分线的性质推出角之间的关系，再根据平行线的判定得出OD∥AC，从而得出OD⊥BC即可；

（3）根据题意得到线段之间的关系：OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，再根据相似三角形的性质求解即可．

【解答】解：（1）如图所示，

①以A为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC、AB相交，再以两个交点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC内部一点，将点A与它连接并延长，与BC交于点D，则AD为∠BAC的平分线；

②分别以点A、点D为圆心，以大于AD长度为半径画圆，将两圆交点连接，则EF为AD的垂直平分线，EF与AB交于点O；

③如图，⊙O与AB交于点M；

（2）证明：∵EF是AD的垂直平分线，且点O在AD上，

∴OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠OAD＝∠CAD，

∴∠ODA＝∠CAD，

∴OD∥AC，

∵AC⊥BC，

∴OD⊥BC，

故BC是⊙O的切线．

（3）根据题意可知OM＝OA＝OD＝AM，AM＝4BM，

∴OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，

∴＝＝，

由（2）可知Rt△BOD与Rt△BAC有公共角∠B，

∴Rt△BOD∽Rt△BAC，

∴＝，即＝，解得DO＝6，

故⊙O的半径为6．

1．（2021年新疆阿勒泰地区中考数学二模试卷）如图已知，按照以下步骤作图：

①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接．

②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，．

③连接交于点．

不列结论中错误的是　　

A． B． 

C． D．

【答案】C

【解析】解：由作图可知，，，

垂直平分线段，

，

，

在和中，

，

，

，

故，，正确，

故选：．

2．(2021年河南省焦作市武陟县九年级数学第二次模拟考试)已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（   ）

A.  B.

C. 若，则 D. 点在的平分线上

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可知，即可推断结论A；先证明，再证明即可证明结论B；连接OP，可证明可证明结论D；由此可知答案．

【详解】解：由题意可知，

，

，

故选项A正确，不符合题意；

在和中，

，

，

在和中，

，

，

，

故选项B正确，不符合题意；

连接OP，

，

，

在和中，

，

，

，

点在的平分线上，

故选项D正确，不符合题意；

若，，

则，

而根据题意不能证明，

故不能证明，

故选项C错误，符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的线段是解题的关键．

3． （2021年云南省昆明市禄劝彝族苗族自治县中考数学模拟试卷（二））如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，连接，交于点，若，求的度数　　．

【答案】．

【解析】解：由作法得平分，

，

，

，

，

，

．

故答案为．

4.(2021年河南省南阳市淅川县九年级第一次模拟测试数学试题)在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在轴上，顶点，连接AC按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧分别交CA,CD于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧交于点G；（3）作射线CG交AD于H，则点H的横坐标为（   ）

A. 6 B. 4 C. 3 D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】根据可得AB=6，BC=8，由勾股定理得AC=10，过H作HQ⊥AC，由角平分线的性质得HQ=HD，根据△AHC的面积+△DHC的面积=△ADC的面积求解即可．

【详解】∵四边形ABCD是矩形，且

∴B(-4,0)

∴AC=5

由作图知CH为∠ACD的平分线，过点H作HQ⊥AC，则HQ=HD，

∴△AHC的面积+△DHC的面积=△ADC的面积，

即：

∵HD=HQ

∴HD=3

∴点H的横坐标为：4-3=1．

故选：D．

【点睛】此题主要考查了坐标与图形，以及矩形的性质，勾投定理以及面积法等相关知识，熟练掌握它们的心生是解题的关键．

5.(2021年河南省实验中学中考数学二模试题）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　）

A. （﹣1，2） B. （，2） C. （3﹣，2） D. （﹣2，2）

【答案】A

【解析】

【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=，依据∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，进而得出HG=-1，可得G（-1，2）．

【详解】如图，过点A作AH⊥x轴于H，AG与y轴交于点M，

∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（-1，2），

∴AH=2，HO=1，

∴Rt△AOH中，AO=，

由题可得，OF平分∠AOB，

∴∠AOG=∠EOG，

又∵AG∥OE，

∴∠AGO=∠EOG，

∴∠AGO=∠AOG，

∴AG=AO=，

∴MG=-1，

∴G（-1，2），

故选A．

【点睛】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．

6.（2021年河南省新乡市长垣县中考数学模拟试题）如图，长方形ABCD中∠DAC＝68°，请依据尺规作图的痕迹，求出∠α等于(     )

A. 34° B. 44° C. 56° D. 68°

【答案】C

【解析】

【分析】如图（见解析），先根据尺规作图的痕迹可知AE是的角平分线，直线是AC的垂直平分线，从而可得，再根据直角三角形的两锐角互余、对顶角相等即可得．

【详解】如图，由尺规作图的痕迹得：AE是的角平分线，直线是AC的垂直平分线，

，

，

，

由对顶角相等得：，

故选：C．

7.（2021年湖南省长沙市中考数学模拟试卷）如图，有一块三角形材料(△ABC)，请你在这块材料上作一个面积最大的圆．

【解析】

分别作∠B和∠C的角平分线，它们的交点即为圆心O，再过O点作任意一边的垂线，以垂线段长为半径作圆，该圆为三角形的内切圆，即是能在这块材料上作出的面积最大的圆．

解：如图所示，为△ABC的内切圆．

尺规作图如下：

【点评】此题主要考查的是三角形内切圆的意义及作法， 由于三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，可作△ABC的任意两角的角平分线，它们的交点即为△ABC的内切圆的圆心(设圆心为O)，以O为圆心、O点到任意一边的距离长为半径作圆，即可得出△ABC的内切圆，即为能作出的最大圆，解决本题的关键是学生能正确理解三角形的内切圆并掌握其作法.

8.（2021年福建省厦门市松柏中学九年级中考二模数学试题）如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上．

(1)求作:△PCD,使点DAC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法)

(2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据相似三角形的性质可得∠CPD=∠BAP，故作∠CPD=∠BAP，∠CPD与AC的交点为D即可；

（2）利用外角的性质以及（1）中∠CPD=∠BAP可得∠CPD =∠ABC，再根据平行线的判定即可.

【详解】解：（1）∵△PCD∽△ABP，

∴∠CPD=∠BAP，

故作∠CPD=∠BAP即可，

如图，即为所作图形，

（2）∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠ABC+∠BAP=2∠ABC，

∴∠BAP =∠ABC，

∴∠BAP=∠CPD=∠ABC，

即∠CPD =∠ABC，

∴PD∥AB.

【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的性质，外角的性质，难度不大，解题的关键是掌握尺规作图的基本作法.

9.（广东省广州市越秀区八一实验中学2020-2021学年九年级下学期中考数学二模试卷）如图，中，是边上一点，连接．

（1）在的右侧用尺规作等边（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下连接当为等腰三角形时，求的度数.（本题的图不用再尺规作图）

【答案】（1）见解析；（2）∠BAD=60°或45°

【解析】

【分析】（1）分别以点A、D为圆心，AD为半径画弧，两弧在AD的右侧交于一点E，连接AE、DE即可；

（2）分三种情况：当CD=CE时，如图1，先利用SSS证明△ADC≌△AEC，可得∠DAC=∠DAE=30°，再利用角的和差求解；当DE=DC时，如图2，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质以及角的和差求解；当ED=EC时，如图3、图4，分别根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理推出矛盾，进而可得答案．

【详解】解：（1）等边△ADE如图所示：

（2）当CD=CE时，如图1，

∵△ADE是等边三角形，

∴AD=AE，∠DAE=60°，

∵CD=CD，AC=AC，

∴△ADC≌△AEC（SSS），

∴∠DAC=∠EAC=∠DAE=30°，

∴∠BAD=90°－∠DAC=60°；

当DE=DC时，如图2，

∵△ADE是等边三角形，

∴AD=ED，

∴AD=CD，

∵，

∴∠B=∠ACB=45°，

∴∠DAC=∠ACD=45°，

∴∠BAD=90°－∠DAC=45°；

当ED=EC时，如图3，当点E在△ABC的外部时，

∵EA=ED，∴EA=EC，

∴设∠EAC=∠ECA=x，

∵ED=EC，

∴∠EDC=∠ECD=45°+x，∠DAC=60°－x，

△ADC中，∵∠DAC+∠ACD+∠ADC=60°－x+45°+60°+45°+x=210°≠180°，

∴此种情况不存在；

如图4，当点E在△ABC的内部时，

∵EA=ED=EC，

∴∠EAC=∠ECA，∠EDC=∠ECD，

∵∠ECD+∠ECA=∠ACD=45°，

∴∠EAC+∠ECA+∠EDC+∠ECD=90°，

∴∠AEC+∠DEC=360°－90°=270°，

∵∠AED=60°，

∴∠AEC+∠DEC+∠AED=270°+60°=330°≠360°，

故此种情况也不存在；

综上，∠BAD=60°或45°．

【点睛】本题考查了尺规作等边三角形、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质等知识，具有一定的综合性，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键．

10.（2021年福建省泉州市惠安县中考数学质检试卷）如图，矩形中，为的中点．

（1）在边上求作一点，使得；

（2）在（1）中，若，，求的长．

【解析】解：（1）如图，过点作交于点，点即为所求；

延长和交于点，

四边形是矩形，

，

，，

为的中点．

，

在和中，

，

，

，

，

是线段的垂直平分线，

，

，

，，

；

（2）四边形是矩形，

，，

，

，

，

解得，

，

．

11.（2021年山东省青岛市青岛大学附属中学九年级数学二模试题）已知：和线段，

求作：，使它与的两边相切，半径等于线段．

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据与的两边相切，半径等于线段，利用角平分线的尺规作图及圆心到射线OB的距离为a，确定圆心P，进而做出半径为a的圆，与的两边相切

【详解】解：1.作的平分线OE；

2.在上任取一点 过作 垂足为 在上截取 过作交角平分线与

3.以P为圆心，线段a的长为半径画圆弧，圆P即为所求．

【点睛】本题主要考查基本作图：作已知角的平分线以及直线和圆相切的性质，利用角平分线的尺规作图及圆心到射线OB的距离为a确定圆心出P是解题的关键．