预测07【精品】 锐角三角函数实际应用-2022年中考数学三轮冲刺过关（全国通用）

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预测07 锐角三角函数实际应用



概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
解答题☆☆☆☆☆
考向预测
①根据已知条件直接求出所需要边的长度。
②需要用方程思想，才能求出边的长度。


锐角三角函数实际应用是全国中考的热点内容！锐角三角函数实际应用就是把实际问题转化为解直角三角形问题。
1．从考点频率看，锐角三角函数实际应用是高频考点，通常利用正弦、余弦、正切的定义和特殊角的三角函数值来解决问题。
2．从题型角度看，以解答题为主，分值9分左右！

特殊角的三角函数值
三角函数
定义
30°
45°
60°

sin





cos





tan






仰角和俯角的定义


坡比的定义


坡比==tanα


锐角三角函数实际应用常用的辅助线：做垂线，构造直角三角形。在直角三角形，已知一条边和一个角的三角函数值即可求出其它边。当在一个直角三角形中，一条边长度都不知道时，一定要记得设未知数，利用方程思想。


1．（2021·山东聊城市·中考真题）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

【答案】420米
【分析】过D点分别作DEBC，DFAB，垂足分别是点E，点F．由三角函数可求，．可证四边形 BEDF 是矩形，可求AF＝140,在Rt△ADF中，利用三角函数可求DF＝AF·tan65°≈299.60.,可求BC＝BE＋CE≈420（米）．
【详解】解∶过D点分别作DEBC，DFAB，垂足分别是点E，点F．
由题意得，＝37°．在R△CDE中∵，
，．
，．
∴四边形 BEDF 是矩形，∴BE＝DF，BF＝DE＝160，∴AF＝AB－BF＝300－160＝140.
在Rt△ADF中，，∴DF＝AF·tan65°≈140×2.14＝299.60.
∴BC＝BE＋CE＝299.60＋120≈420（米）．
所以，革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为 420米．

【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形判定与性质，掌握锐角三角函数的定义与矩形判定和性质是解题关键．
2．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为海里．

（1）求观测点B与C点之间的距离；（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．
【答案】（1）观测点B与C点之间的距离为50海里；（2）救援船到达C点需要的最少时间为小时．
【分析】（1）过C作CE⊥AB于E，分别在Rt△ACE和Rt△BCE中，解直角三角形即可求解；（2）过C作CF⊥BD，交DB延长线于F，求得四边形BFCE为矩形，在Rt△CDF中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）过C作CE⊥AB于E，
由题意得：∠CAE=45°，∠CBE=90°-60°=30°，AC=25，
在Rt△ACE中，AE=CE=AC=25=25(海里)，
在Rt△BCE中，BC=2CE=50(海里)，BE==25 (海里)，
∴观测点B与C点之间的距离为50海里；
（2）过C作CF⊥BD，交DB延长线于F，
∵CE⊥AB，CF⊥BD，∠FBE=90°，∴四边形BFCE为矩形，
∴CF=BE=25 (海里)，BF=CE=25(海里)，
在Rt△CDF中，CF=25 (海里)，DF=55(海里)，
∴CD=70(海里)，
救援船到达C点需要的最少时间为(小时)．
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
3.（2021·四川成都市·中考真题）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角 （点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度的长．（结果精确到1米；参考数据：）

【答案】8米
【分析】过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，可证四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，设MF=EF=x，可求FB= x+3.5，由tan∠MBF=，解得 米，可求MN=MF+FN=6.5+1.6≈8米．
【详解】解：过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，∵∠EFN=∠FND=∠EDN=∠A=90°，
∴四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，∴FN=ED=AB=1.6米，AD=BE=3.5米，
∵∠MEF=45°，∠EFM=90°，∴MF=EF=x,∴FB=FE+EB=x+3.5，
∴tan∠MBF=，∴解得 米，经检验米符合题意，
∴MN=MF+FN=6.5+1.6=8.1≈8米．

【点睛】本题考查矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程，掌握矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程是解题关键．
4.（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为，若斜坡CF的坡比为（点在同一水平线上）．（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．

【答案】（1）2米；（2）米
【分析】（1）作DH⊥CE于H，解Rt△CDH，即可求出DH；（2）延长AD交CE于点G，解Rt△GDH、Rt△CDH，求出GH、CH，得到GC，再说明AB=BC，在△ABG中，利用正切的定义求出AB即可．
【详解】解：（1）过D作DH⊥CE于H，如图所示：
在Rt△CDH中，，∴CH=3DH，
∵CH2+DH2=CD2，∴（3DH）2+DH2=（）2，解得：DH=2或-2（舍），
∴王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；
（2）延长AD交CE于点G，设AB=x米，由题意得，∠AGC=30°，∴GH===，
∵CH=3DH=6，∴GC=GH+CH=+6，
在Rt△BAC中，∠ACB=45°，∴AB=BC，∴tan∠AGB=，
解得：AB=，即大树AB的高度为米．

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
5.（2021·四川达州市·中考真题）2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为的河床斜坡边，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米，求桥墩的高（结果保留1位小数）．（，，，）

【答案】桥墩AB的高约为72.4米．
【分析】延长DC交AB于点E，利用直角三角形BCE计算出BE，利用直角三角形ADE计算出AE，从而AB可求．

【详解】解：如图所示，延长DC交AB于点E，则ED∥BM．
∴∠AED=∠ABM=90°，∠ECB=∠CBM=30°．
在中，∵∠ECB =30°，BC=48米，
∴（米）．（米）．
∴（米）．
在中，∵，∴（米）．
∴（米）．
答：桥墩AB的高约为72.4米．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识点，熟知解直角三角形的方法和步骤是解题的关键．
6.（2021·江苏宿迁市·中考真题）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：1.414， =1.732)．

【答案】无人机飞行的高度约为14米．
【分析】延长PQ，BA，相交于点E，根据∠BQE＝45°可设BE＝QE＝x，进而可分别表示出PE＝x＋5，AE＝x－3，再根据sin∠APE＝，∠APE＝30°即可列出方程，由此求解即可．
【详解】解：如图，延长PQ，BA，相交于点E，

由题意可得：AB⊥PQ，∠E＝90°，又∵∠BQE＝45°，∴BE＝QE，
设BE＝QE＝x，∵PQ＝5，AB＝3，∴PE＝x＋5，AE＝x－3，
∵∠E＝90°，∴sin∠APE＝，∵∠APE＝30°，∴sin30°＝，
解得：x＝≈14，答：无人机飞行的高度约为14米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．
7.（2021·四川遂宁市·中考真题）小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向， C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得 C在北偏东60°方向．（1）求∠C的度数；（2）求两颗银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）．

【答案】（1）30°；（2）（）米
【分析】（1）作交于点，根据且，可得，利用外角的性质根据可求出结果
（2）过点B作BG⊥AD于G，则有，可得，，，可求得，再根据可得结果．

【详解】解：（1）如图示，作交于点，
∵且∴
∵且∴
（2）过点B作BG⊥AD于G．
∵∴
在中，，,
在中，,
∵∴
∴
答：两颗银杏树B、C之间的距离为 米
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，外角的性质，能根据题意理清图形中各角的关系是解题的关键．
8.（2021·四川广安市·中考真题）如图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，踏板长为，与地面的夹角，支架长为，，求跑步机手柄所在直线与地面之间的距离．（结果精确到.参考数据：，，，）

【答案】1.3m
【分析】过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，在Rt△CDG中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解．
【详解】解：如图，过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．
∵CD与地面DE的夹角∠CDE为15°，∠ACD为75°，
∴∠ACF=∠FCD-∠ACD=∠CGD+∠CDE-∠ACD=90°+15°-75°=30°，∴∠CAF=60°，
在Rt△ACF中，CF=AC•sin∠CAF=m，在Rt△CDG中，CG=CD•sin∠CDE=1.5·sin15°，
∴FG=FC+CG=+1.5·sin15°≈1.3m．
故跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离约为1.3m．

【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是正确构造直角三角形．
9.（2021·浙江绍兴市·中考真题）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内，

（1）转动连杆BC，手臂CD，使，，如图2，求手臂端点D离操作台的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：，）．（2）物品在操作台上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
【答案】（1）106cm；（2）能碰到，见解析
【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数值解直角三角形即可完成求解；
（2）求出端点D能够到的最远距离，进行比较即可得出结论．
【详解】解：（1）过点C作于点P，过点B作于点Q，如图1，
，，
在中，， ．
，．
∴手臂端点D离操作台 l 的高度DE的长为106cm．

（2）能．理由：当点B，C，D共线时，如图2，
，，在中，，
．手臂端点D能碰到点M．

【点睛】本题考查了直角三角形的应用，涉及到了解直角三角形等知识，解决本题的关键是能读懂题意，并通过作辅助线构造直角三角形，能正确利用三角函数值解直角三角形等，考查了学生的综合分析与知识应用的能力．



10.（2021·青海中考真题）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度米，且两扇门的大小相同（即），将左边的门绕门轴向里面旋转，将右边的门绕门轴向外面旋转，其示意图如图2，求此时与之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据，，）．

【答案】1.4米
【分析】作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．
【详解】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．

∵AB=CD，AB+CD=AD=2，∴AB=CD=1．在Rt△ABE中，AB=1，∠A=35°，
∴BE=AB•sin∠A=≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8．
在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7．
∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE=CM，∴四边形BEMC为平行四边形，
∴BC=EM，CM=BE．在Rt△MEF中，EF=AD-AE-DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，
∴EM=≈1.4，∴B与C之间的距离约为1.4米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键．
11.（2021·浙江嘉兴市·中考真题）一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．
（1）求点转动到点的路径长；（2）求点到直线的距离（结果精确到）．
（参考数据：，，，，，）

【答案】（1）；（2）点到直线的距离约为7.3cm．
【分析】（1）根据题目中的条件，首先由，，求出，再继续求出，点转动到点的路径长，是以为半径，为圆心的圆的周长的一部分，根据占的比例来求出路径；（2）求点到直线的距离，实际上是过点作的垂线交于某点，连接两点所确定的距离即为所求，但这样做不好求解．于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求．
【详解】解：（1）如图，

∵，，∴．
∵，∴．
又∵，∴点转动到点的路径长．
（2）如图，过点作于点，过点作于点．
在中， ．
在中，．
∴．
又∵，∴点到直线的距离约为7.3cm．
【点睛】本题考查了两点间转动的路径问题、点到直线的距离问题，锐角三角函数知识，解题的关键是：确定路径是在圆上，占圆周长的多少，就转化成角度间的比值问题了；距离问题，当直接求解比较困难的时候，看是否能把所求拆分成几个部分，再逐一突破．
12.（2021·江苏连云港市·中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O到岸边的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．（参考数据：，，，，，）

【答案】（1）8.1m；（2）4.58m
【分析】（1）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用求出BF，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用;（2）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．
【详解】

（1）过点作，垂足为，延长交于点，则，垂足为．
由，∴，∴，即，
∴，由，∴，
∴，即，∴．
又，∴，∴，即，
∴，即到岸边的距离为．
（2）过点作，垂足为，延长交于点，则，垂足为．
由，∴，∴，
即，∴．
由，∴，∴，
即，∴．
∴，
∴，即点到岸边的距离为．
【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度．


1．（2021年山东省青岛市青岛大学附属中学九年级数学二模试题）如图，兰兰站在河岸上的点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.6米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度，坡长米，求小船到岸边的距离的长?（参考数据：，结果保留1位小数）

【答案】9.4米
【解析】
【分析】构造直角三角形，则AB和CD都为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH-AE-EH即为AC长度．
详解】解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得和矩形BEHG．

∵
∴
∴
∵AB=10米
∴米，米．
∴米
∵DG=1.6米，BG=EH=1米，
∴DH=DG+GH=1.6+8=9.6米，米．
在中，
∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.6米，，
∴米．
又∵，
即，
∴（米）．
∴
答：的长约是米．
【点睛】此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．


2．（四川省宜宾市第二中学校2020-2021年九年级下学期第三次诊断性考试数学试题）如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，求山高BC（结果保留根号）．

【答案】山高BC=100+100米.
【解析】
【分析】作DF⊥AC于F．解直角三角形分别求出BE、EC即可解决问题
【详解】作于．

，米，
，
，
（米，
，
四边形是矩形，
（米，
，，
，
，，
，
，，
，
（米，
在中，，
（米，
（米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
3． （2021年河南省新乡市长垣县中考数学模拟试题）一艘海监船从点沿正北方向巡航，其航线距某岛屿（设、为该岛屿的东西两端点）最近距离为15海里（即海里），在点测得岛屿的西端点在点的东北方向，航行4海里后到达点，测得岛屿的东端点在点的北偏东方向（其中、、在同一条直线上），求该岛屿东西两端点之间的距离.（精确到0.1海里）参考数据：，，.）

【答案】岛屿东西两端点之间的距离约为5.6海里.
【解析】
【分析】在直角△ACM中，∠CAM=45度，则△ACM是等腰直角三角形，即可求得AC的长，则BC可以求得，然后在直角△BCN中，利用三角函数求得CN，根据MN=CN-CM即可求解．
【详解】在中，，
∴，
∴.
在中，.
∴，
∴（海里）
答：岛屿东西两端点之间距离约为5.6海里.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，从图形中抽象出直角三角形并正确求得BC的长度是解题的关键．
4.（河南省新蔡县2021届九年级第一次模拟考试数学试题）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总高度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596，tan53.4°≈1.346）

【答案】389m．
【解析】
【分析】设AC为xm，根据等腰直角三角形的性质得到BC=AC=x，根据正切的定义列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】设AC为xm，则CD=（x+120）m，
在Rt△ACB中，∠ABC=45°，
∴BC=AC=x，
∴CE=x+20，
在Rt△DCE中，tan∠DEC=，即≈1.346，
解得，x≈269.0，
∴CD=x+120=389.0≈389，
答：中原福塔CD的总高度约为389m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
5.（2021年河南省三甲名校中考数学内部押题试卷（一）） 风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米打到山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、 C、H在同一直线上）（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）

【答案】63米．
【解析】
【分析】作，知、，设，则，由知，根据可得关于的方程，解之可得．
【详解】解：如图，作于点，

则、，
设，则，
在中，，
，
，
，即，
解得：，
，
答：塔杆的高为63米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
6.（2021年湖南省常德市汉寿县中考数学模拟试卷）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管与支架所在直线相交于点，且；支架与水平线垂直．，，，另一支架与水平线夹角，求的长度（结果精确到；温馨提示：，，

【解析】解：设，
，
，
，
，
，
，
解得：，
．



7.（2021年山东省青岛市即墨区中考一模数学试题）某幼儿园准备改善原有滑梯的安全性能，把倾斜角由原来的40°减为35°，已知原滑梯AB的长为5米，为了改造后新滑梯的安全，滑梯前方必须有2米的空地，请问距离原来滑梯B处3米的大树对滑梯的改造有影响吗？（sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，Sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）

【答案】没有影响，见解析
【分析】
在中，利用三角函数求出BC和AC长．再在中，利用三角函数求出CD长，从而求出BD长，最后求出D点到大树的距离和2米作比较即可．
解：在中，，
∴，即；，即．
∴米；米．
在中，，
∴，即，
∴米．
∴米．
∵，
∴没有影响．
【点评】本题考查解直角三角形的实际应用．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
8.（2021年河南省焦作市武陟县九年级数学第二次模拟考试）焦作广播电视塔由塔下裙房、塔身、上塔楼和天线段4部分组成，它集“雄、险、奇、秀”于一身．某校数学社团的同学们借助无人机、卷尺等工具测量电视塔的高度．如图所示，小航在处用无人机在距地面151米的处测得电视塔最高点的仰角为22°，然后沿方向前进50米到达处，用无人机在距地面70米的处测得点的仰角为45°．求的距离和电视塔的高度．（结果精确到1m．参考数据：，，，）

【答案】米；米
【解析】
【分析】设的长为，根据题意可得，，在中，利用三角函数列出关于的方程，即可求出，的长
【详解】设的长为，
由题可知：

四边形，为矩形，






在中，

解得


【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，能够熟练借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题关键．
9.（2021年四川省内江六中中考数学二模）小明要测量公园被湖水隔开的两棵大树A和B之间的距离，他在A处测得大树B在A的北偏西30°方向，他从A处出发向北偏东15°方向走了200米到达C处，测得大树B在C的北偏西60°方向．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求两棵大树A和B之间的距离（结果精确到1米）（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）

【解析】（1）先利用平行线的性质得∠ACM＝∠DAC＝15°，再利用平角的定义计算出∠ACB＝105°，然后根据三角形内角和计算∠ABC的度数；
（2）作CH⊥AB于H，如图，易得△ACH为等腰直角三角形，则AH＝CH＝AC＝100，在Rt△BCH中利用含30度的直角三角形三边的关系得到BH＝CH＝100，AB＝AH+BH＝100+100，然后进行近似计算即可．
解：（1）∵CM∥AD，
∴∠ACM＝∠DAC＝15°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BCN﹣∠ACM＝180°﹣60°﹣15°＝105°，
而∠BAC＝30°+15°＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣45°﹣105°＝30°；
（2）作CH⊥AB于H，如图，
∵∠BAC＝45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴AH＝CH＝AC＝×200＝100，
在Rt△BCH中，∵∠HBC＝30°，
∴BH＝CH＝100，
∴AB＝AH+BH＝100+100≈141.4+244.9≈386．
答：两棵大树A和B之间的距离约为386米．

10.（2021年天津市和平区中考数学二模试卷） 如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长39km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝53°，求隧道开通后，汽车从A地到B地的路程（结果精确到0.1km）参考数据：sin53°≈0.8，tan53°≈1.3，3≈1.73．

【解析】在直角三角形中，利用锐角三角函数关系得出CD，AD，BD的长，进而求出隧道开通后汽车从A地到B地行驶的路程．
【解答】解：经过点C作CD⊥AB，垂足为D，

在Rt△ACD中，∠A＝30°，
∴AC＝2CD，
在Rt△BCD中，∠B＝53°，sinB=CDBC，
∴BC=CDsinB=CDsin53°，
∵AC+BC＝39，
∴2CD+CDsin53°=39，
∴2CD+1.25CD＝39，
∴CD＝12，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，tanA=CDAD，
∴AD=CDtanA=CDtan30°=123，
在Rt△BCD中，∠B＝53°，tanB=CDBD，
∴BD=CDtanB=CDtan53°=12013，
∴AB＝AD+BD＝123+12013≈29.99≈30.0，
答：汽车从A地到B地的路程约30.0千米．
11.（2021年新疆阿勒泰地区中考数学二模试卷）如图，某海监船以60海里时的速度从处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在的西北方向的处，海监船航行1.5小时到达处时接到报警，需巡查此可疑船只，此时可疑船只仍在的北偏西方向的处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里时的速度追击，在处海监船追到可疑船只，在的北偏西方向．（以下结果保留根号）
（1）求，两处之间的距离；
（2）求海监船追到可疑船只所用的时间．

【解析】解：（1）作于，如图1所示：
则，
由题意得：（海里），，，，
是等腰直角三角形，，
，，
，，
设，则，，
，
解得：，
；
答：，两处之间的距离为海里；
（2）作于，如图2所示：
则，，
，
海监船追到可疑船只所用的时间为（小时）；
答：海监船追到可疑船只所用的时间为小时．


12.（江西省南昌市2021年九年级中考数学第一次调研检测（一模）试卷）有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长AB＝50cm，拉杆BC的伸长距离最大时可达30cm，点A、B、C在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚轮⊙A，⊙A与水平地面切于点D，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B距离水平地面36cm时，点C到水平面的距离CE为54cm，设AF∥MN．
（1）求⊙A的半径长；
（2）当某人的手自然下垂在C端拉旅行箱时，CE为66cm，∠CAF＝53°，求此时拉杆BC的伸长距离．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，结果精确到1cm）

【解析】（1）过点B作BH⊥MN于点H，交AF于点K，证明△ABK∽△ACG，设⊙A的半径长为rcm，则BK＝（36﹣r）cm，CG＝（54﹣r）cm，对应边成比例列式计算即可得结果；
（2）利用锐角三角函数即可求出结果．
【解答】解：（1）如图，过点B作BH⊥MN于点H，交AF于点K，

∵CE⊥MN，
∴BH∥CE，
∴△ABK∽△ACG，
设⊙A的半径长为rcm，则BK＝（36﹣r）cm，CG＝（54﹣r）cm，
∵＝，
∴＝，
解得r＝6，
∴⊙A的半径长为6cm；
（2）在Rt△ACG中，CG＝66﹣6＝60（cm），
∵sin∠CAF＝，
∴AC＝≈＝75（cm），
∴BC＝AC﹣AB＝75﹣50＝25（cm），
∴此时拉杆BC的伸长距离约为25cm．