预测05【精品】 函数的综合-2022年中考数学三轮冲刺过关（全国通用）

这是一份预测05【精品】 函数的综合-2022年中考数学三轮冲刺过关（全国通用），文件包含预测05函数的综合解析版docx、预测05函数的综合原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共61页， 欢迎下载使用。

预测05 函数的综合



概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
解答题☆☆☆☆☆
考向预测
反比例与一次函数的结合


函数的综合题是全国中考的热点！通常是反比例函数和一次函数的结合，难度系数中等。
1．从考点频率看，反比例函数是高频考点，中考对函数的知识点考查，综合能力要求极高！
2．从题型角度看，以解答题为主，分值8分左右！

一次函数的概念及其图象、性质

一次函数的相关概念
（1） 概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0 时，称为正比例函数． 
（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线

一次函数的性质
一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.
k＞0，  b>0
一、二、三象限 y随x的增大而增大
k＞0， b＜0
一、三、四象限 y随x的增大而增大
k<0，  b>0
一、二、四象限 y随x的增大而减小
k<0， b<0
二、三、四象限 y随x的增大而减小
一次函数与 坐标轴交点坐标
交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是(,0 )，与y轴的交点是(0，b)；

反比例函数的性质
反比例的一般形式(k≠0)
当k>0时,图象的两个分支分别在一,三象限,在每个象限内即y随x的增大而减小
当k＜0时,图象的两个分支分别在二,四象限,在每个象限内即y随x的增大而增大
过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |.


中考函数的综合题常见的技巧:①待定系数法求解析式；②求三角形面积时，有时要设点的坐标；③函数与不等式结合，会直接观察图象找自变量的范围；④一次函数和反比例的性质综合应用。


1．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数（）的图象交于点，．

（1）分别求出两个函数的解析式；（2）连接，求的面积．
【答案】（1），；（2）3
【分析】（1）将点C、D的横、纵坐标代入反比例函数的解析式，求得m、n的值，从而点D纵坐标已知，将点C、D的横、纵坐标代入一次函数的解析式，求得k、b的值，从而两个函数解析式可求；
（2）求出点B的坐标，可知OB的长，利用三角形的面积公式可求三角形BOD的面积．
【详解】解：（1）∵双曲线（m>0）过点C（1，2）和D（2，n），
∴，解得，．∴反比例函数的解析式为．
∵直线过点C（1，2）和D（2，1），∴，解得，．
∴一次函数的解析式为．
（2）当x=0时，y1=3，即B（0，3）．∴．如图所示，过点D作DE⊥y轴于点E．

∵D（2，1），∴DE=2．∴
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二元一次方程组、三角形的面积等知识点，熟知解析式、点坐标、线段长三者的相互转化是解题的关键．
2．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，坐标原点是的中点，，，双曲线经过点．

（1）求；（2）直线与双曲线在第四象限交于点．求的面积．
【答案】（1）；（2）的面积
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，由题意易得，进而可得，然后可得点，最后问题可求解；（2）由（1）可先求出直线AC的解析式为，然后联立直线AC的解析式与反比例函数，进而可得点D的坐标，最后利用割补法求解三角形的面积即可．
【详解】解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示：

∵，，，
∴，，∴，∴，
∴在Rt△AEC中，，
∵点O是BC的中点，∴OC=2，∴OE=1，∴，∴；
（2）由（1）可得：，，
∴设直线AC的解析式为，则把点A、C代入得：，解得：，
∴直线AC的解析式为，
联立与反比例函数可得：，
解得：（不符合题意，舍去），∴点，
∴．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合及含30°直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握反比例函数与几何的综合及含30°直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
3.（2021·四川广安市·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点在轴上，且满足的面积等于4，请直接写出点的坐标．

【答案】（1），；（2）（1，0）或（3，0）
【分析】（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可．
【详解】解：（1）由题意可得：点B（3，-2）在反比例函数图像上，
∴，则m=-6，∴反比例函数的解析式为，
将A（-1，n）代入，得：，即A（-1，6），
将A，B代入一次函数解析式中，得，解得：，∴一次函数解析式为；
（2）∵点P在x轴上，设点P的坐标为（a，0），
∵一次函数解析式为，令y=0，则x=2，∴直线AB与x轴交于点（2，0），
由△ABP的面积为4，可得：，即，解得：a=1或a=3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．
4.（2021·浙江杭州市·中考真题）在直角坐标系中，设函数（是常数，，）与函数（是常数，）的图象交于点A，点A关于轴的对称点为点．

（1）若点的坐标为，①求，的值．②当时，直接写出的取值范围．
（2）若点在函数（是常数，）的图象上，求的值．
【答案】（1）①，；②；（2）0
【分析】（1）①根据点A关于轴的对称点为点，可求得点A的坐标是，再将点A的坐标分别代入反比例函数、正比例函数的解析式中，即可求得，；②观察图象可解题；
（2）将点B代入，解得的值即可解题．
【详解】解（1）①由题意得，点A的坐标是，
因为函数的图象过点A，所以，同理．
②由图象可知，当时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的下方，即当时，．
（2）设点A的坐标是，则点的坐标是，所以，，所以．
【点睛】本题考查关于y轴对称的点的特征、待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5.（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，一次函数＝k x ＋ b （k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象交于点A（1，2）和B（－2，a），与y轴交于点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；
（3）将直线向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值时，求x的取值范围．

【答案】（1）y1＝x＋1；；（2）N（0，7）或（0，－5）；（3）－2＜x＜－1或1＜x＜2
【分析】（1）先用待定系数法求反比例函数解析式，再求出B点坐标，再求一次函数解析式即可；
（2）根据面积求出MN长，再根据M点坐标求出N点坐标即可；
（3）求出直线y3解析式，再求出它与反比例函数图象的交点坐标，根据图象，可直接写出结果．
【详解】解：（1）∵过点A（1，2）， ∴m＝1×2＝2， 即反比例函数：，
当x＝－2时，a＝－1，即B（－2，－1） y1＝kx＋b过A（1，2）和B（－2，－1）
代入得，解得， ∴一次函数解析式为y1＝x＋1，
（2）当x＝0时，代入y＝x＋1中得，y＝1，即M（0，1）
∵S△AMN＝1 ∴MN＝6， ∴N（0，7）或（0，－5），
（3）如图，设y2与y3的图像交于C，D两点
∵y1向下平移两个单位得y3且y1＝x＋1 ∴y3＝x－1，
联立得解得或 ∴C（－1，－2），D（2，1），
在A、D两点之间或B、C两点之间时，y1＞y2＞y3， ∴－2＜x＜－1或1＜x＜2．

【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数综合，解题关键是熟练运用待定系数法求出解析式，利用数形结合思想解决问题．
6.（2021·河南中考真题）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；（2）阴影部分的面积为8．
【分析】
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据点B是小正方形在第一象限的一个点，知其横纵坐标相等，求得点B的坐标，继而求得小正方形的面积，再求得大正方形的面积，从而求得阴影部分的面积．
【详解】
解：（1）由题意，点A(1，2)在反比例函数y=的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）点B是小正方形在第一象限的一个点，由题意知其横纵坐标相等，
设B(a，a)，则有，
∴，即B(，)，
∴小正方形的边长为，
∴小正方形的面积为，
大正方形经过点A(1，2)，则大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，
∴图中阴影部分的面积为16-8=8．
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何的综合，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式．
7.（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数（）的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．一次函数的图象经过、两点．

（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为______．
【答案】（1）, ；（2）
【分析】
（1）先求出B点的坐标，再由反比例函数过点，求出点的坐标，代入即可，
由矩形的性质可得、坐标，代入即可求出解析式；
（2）“将军饮马问题”，作关于轴的对称点，连接,直线与轴交点即为所求．
【详解】
（1） 四边形是矩形，，

为线段的中点

将代入，得




将，代入，得：
，解得

（2）如图：作关于轴的对称点，连接交轴于点P

当三点共线时，有最小值

，
设直线的解析式为

将，代入，得
，解得

令，得

【点睛】
本题考查了矩形的性质，反比例函数性质，反比例函数和一次函数待定系数法求解析式，反比例函数图像上点的特点，线段和距离最值问题，正确的作辅助线，理解并记忆待定系数法求解的技巧是解题关键．
8. （2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，一次函数的图象与轴的正半轴交于点，与反比例函数的图像交于两点．以为边作正方形，点落在轴的负半轴上，已知的面积与的面积之比为．
（1）求一次函数的表达式：
（2）求点的坐标及外接圆半径的长．


【答案】(1)；(2)点的坐标为；外接圆半径的长为
【分析】
(1)过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交EF于F点，证明△ABF≌△DAE，，的面积与的面积之比为得到，进而得到，求出A、D两点坐标即可求解；
(2)联立一次函数与反比例函数解析式即可求出P点坐标；再求出C点坐标，进而求出CP长度，Rt△CPD外接圆的半径即为CP的一半．
【详解】
解：(1)过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交EF于F点，如下图所示：

∵与有公共的底边BO，其面积之比为1:4，
∴DH:OA=1:4，
设，则，
∵ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠EAD=90°，
∵∠BAF+∠FBA=90°，
∴∠FBA=∠EAD，
在△ABF和△DAE中： ,
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴
又，
∴，解得(负值舍去)，
∴，代入中，
∴ ，解得 ，
∴一次函数的表达式为；
(2)联立一次函数与反比例函数解析式： ，
整理得到：，
解得 ，，
∴点的坐标为；D点的坐标为（4,1）
∵四边形ABCD为正方形，
∴，
且，
在中，由勾股定理：，
∴，
又△CPD为直角三角形，其外接圆的圆心位于斜边PC的中点处，
∴△CPD外接圆的半径为．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，三角形全等的判定与性质，勾股定理求线段长，本题属于综合题，解题的关键是正确求出点A、D两点坐标．
9.（2021·湖南常德市·中考真题）如图，在中，．轴，O为坐标原点，A的坐标为，反比例函数的图象的一支过A点，反比例函数的图象的一支过B点，过A作轴于H，若的面积为．

（1）求n的值；
（2）求反比例函数的解析式．
【答案】（1）1；（2）
【分析】
（1）根据三角形面积公式求解即可；
（2）证明，求出BE的长即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵A，且轴
∴AH=，OH=n
又的面积为．
∴ ,即
解得，；
（2）由(1)得，AH=，OH=1
∴AO=2
如图，

∵，轴，
∴，四边形AHOE是矩形，
∴AE=OH=1
又
∴
∴，即：
解得，BE=3
∴B(-3,1)
∵B在反比例函数的图象上，
∴
∴．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及求反比例函数解析式，求出B(-3,1)是解答此题的关键．
10.（2021·湖南株洲市·中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与函数的图像（记为）交于点A，过点A作轴于点，且，点在线段上（不含端点），且，过点作直线轴，交于点，交图像于点．

（1）求的值，并且用含的式子表示点的横坐标；
（2）连接、、，记、的面积分别为、，设，求的最大值．
【答案】（1），D点横坐标为；（2）
【分析】
（1）先求出A点坐标，再利用待定系数法即可求出k的值，利用OC=t和D点在直线l上即可得到D点横坐标；
（2）分别用含t的式子表示出、，得到关于t的二次函数，求函数的最大值即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴A点横坐标为1,
∵A点在一次函数的图像上，
∴，
∴,
∵A点也在反比例函数图像上，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
∵，直线轴，
∴D点纵坐标为t，
∵D点在直线l上，
∴D点横坐标为，
综上可得：，D点横坐标为．
（2）直线轴，交于点，交图像于点，
∴E点纵坐标为t，
将纵坐标t代入反比例函数解析式中得到E点坐标为，
∴，A点到DE的距离为，
∴，
∵轴于点，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大=；
∴的最大值为．
【点睛】
本题综合考查了反比例函数和一次函数，涉及到了用待定系数法求函数解析式、用点的坐标表示线段的长、平面直角坐标系中三角形的面积表示、平行于x轴的直线上的点的坐标特征等内容，本题综合性较强，要求学生对概念的理解和掌握应做到深刻与扎实，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
11.（2021·山东济宁市·中考真题）如图，中，，，点，点，反比例函数的图象经过点A．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线向上平移个单位后经过反比例函数，图象上的点，求，的值．
【答案】（1）；（2），
【分析】
（1）作轴，可知，得出点坐标，待定系数法求出解析式即可，
（2）将点代入（1）中解析式和直线的解析式中，分别求出，的值即可．
【详解】
（1）如图，作轴，则

，，




点，点

，
∴OD=OC+CD=6，

代入中，

．
（2）在上，


设直线OA解析式为
，

直线向上平移个单位后的解析式为：


图象经过（1，12）

解得：
，．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正比例函数解析式，函数图像的平移，三角形全等的性质与判定，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想．
12.（2021·山东泰安市·中考真题）如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B．

（1）求m的值；
（2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标．
【答案】（1）24；（2）M点的坐标为
【分析】
(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可；
（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.
【详解】
解：（1）∵点P纵坐标为4，
∴，解得，

∴，
∴．
（2）∵，
∴，
设，则，
当M点在P点右侧，

∴M点的坐标为，
∴（6+2t）（4-t）=24，
解得：，（舍去），
当时，，
∴M点的坐标为，
当M点在P点的左侧，
∴M点的坐标为，
∴（6-2t）（4+t）=24，
解得：，，均舍去．
综上，M点的坐标为．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．
13.（2021·四川广元市·中考真题）如图，直线与双曲线相交于点A、B，已知点A的横坐标为1，

（1）求直线的解析式及点B的坐标；
（2）以线段为斜边在直线的上方作等腰直角三角形．求经过点C的双曲线的解析式．
【答案】（1）y=-0.5x+2；点B坐标为（3，0.5）；（2）过点C的双曲线解析式为．
【分析】
（1）把点A横坐标代入反比例函数解析式，可求出点A坐标，代入可求出直线解析式，联立反比例函数与一次函数解析式即可得点B坐标；
（2）设点C坐标为（m，n），过点C的双曲线解析式为，根据点A、B坐标可求出AB的长，根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC=，根据两点间距离个数求出m、n的值即可得点C坐标，代入反比例函数解析式求出k值即可得答案．
【详解】
（1）∵点A在双曲线上，点A的横坐标为1，
∴当x=1时，y=1.5，
∴点A坐标为（1，1.5），
∵直线与双曲线相交于点A、B，
∴k+2=1.5，
解得：k=-0.5，
∴直线的解析式为y=-0.5x+2，
联立反比例函数与一次函数解析式得，
解得：，（舍去），
∴点B坐标为（3，0.5）．
（2）设点C坐标为（m，n），过点C的双曲线解析式为，
∵A（1，1.5），B（3，0.5），
∴AB==，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC==，
∴，
整理得：，
∴，
解得：，
∴或0（舍去），
∴点C坐标为（，2），
把点C坐标代入双曲线解析式得：，
解得：，
∴过点C的双曲线解析式为．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征是解题关键．
14.（2021·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．

（1）如图1，过点作轴于点，连结．①若，求证：四边形是平行四边形；
②连结，若，求的面积．（2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由．
【答案】（1）①证明见解析，②1；（2）不改变，见解析
【分析】（1）①计算得出，利用平行四边形的判定方法即可证明结论；
②证明，利用反比例函数的几何意义求得，即可求解；
（2）点的坐标为，点的坐标为，可知四边形是平行四边形，由，利用相似三角形的性质得到关于的一元二次方程，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）①证明：设点的坐标为，
则当时，点的坐标为，，
轴，，∴四边形是平行四边形；
②解：过点作轴于点，
轴，，， ，
∴当时，则，即．；

（2）解 不改变． 理由如下：
过点作轴于点与轴交于点，设点的坐标为，点的坐标为，
则，OH=b，由题意，可知四边形是平行四边形，
∴OG=AE=a，∠HPG=∠OEG=∠EOA，且∠PHG=∠OEA=90°，
∴， ，即，
∴，，解得，
异号，，，．
∴对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化．
．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．



1．（广东省广州市越秀区八一实验中学2020-2021学年九年级下学期中考数学二模试卷）如图，以菱形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的正半轴上，点B、C在第一象限内．反比例函数在第一象限内的图
像过点C，交直线OB于点D．点B的坐标为（8，4）．
（1）求直线OB的函数表达式；
（2）求点D的坐标．

【答案】（1）；（2）(，)．
【解析】
【分析】（1）观察图像可知直线OB为正比例函数，设直线OB：y=kx，把B(8，4)代入计算即可；
（2）作BH⊥x轴，垂足为H，则可得到OH=8，BH=4，然后利用勾股定了和菱形的性质可计算出菱形的边长，然后算出点C的坐标，计算反比例函数表达式，联立反比例函数和正比例函数解方程即可．
【详解】解：（1）设直线OB：y=kx，把B(8，4)代入可得：4=8k，解得：k=，
∴设直线OB的函数表达式为：；
（2）作BH⊥x轴，垂足为H，则OH=8，BH=4，

设OA=a，则AH=8-a，
∵四边形OABC是菱形
∴AB=OA=BC=a，
Rt△BHA中，BH²+AH²=AB²，即，解得a=5，
∴BC=5，点C的坐标为(3，4)，
把C(3，4)代入，解得k=12，
∴，
联立解得：，，
∴点D坐标为(，)．
【点睛】本题主要考查菱形的性质和勾股定理，利用相关性质表示和计算边长是解题的关键．
2．（四川省宜宾市第二中学校2020-2021年九年级下学期第三次诊断性考试数学试题）如图，平行四边形中，，，它的边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上．反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过、两点且与反比例函数图象的另一支交于点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接，求的面积．
【答案】（1）反比例函数解析式是y=，一次函数解析式是y=x+2；（2）的面积为2．
【解析】
【分析】（1）由题意得OB=4，即可得到A、C的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）解析式联立，解方程组求得C的坐标，然后根据S△BDC=S△ABD-S△ABC求得即可．
【详解】解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，且BO⊥OC，
∴AB∥OC，AB=OC，
∴∠ABO=∠BOC=90，
∴OB==4，
∴点A的坐标是（2，4），点C的坐标是（-2，0），
把点A代入y=得m=8，
∴反比例函数解析式是y=，
又∵一次函数y=kx+b的图象过点A（2，4），点C（-2，0），
∴，解得，
∴一次函数解析式是：y=x+2；
（2）联立解得或，
∴D（-4，-2），
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形面积计算等知识，求得交点坐标是解题的关键．
3．（2021年湖南省常德市汉寿县中考数学模拟试卷） 如图，双曲线经过点，且与直线有两个不同的交点．
（1）求的值．
（2）求的取值范围．

【解析】解：（1）双曲线经过点，
；
（2）双曲线与直线有两个不同的交点，
，整理为：，
△，
，
的取值范围是．

4.（2021年四川省成都市邛崃市、崇州市、简阳市中考数学二诊试卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝与一次函数y＝x+（k﹣1）的图象交于A、C两点，且A（1，4）；直线AO与反比例函数y＝的图象交于另一点B，过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，过点B作x轴的平行线，两直线交于点E．
（1）求反比例函数y＝的表达式及△AEB的面积；
（2）若P是x轴上一点，当△PAC的面积是△AEB面积的2倍时，求点P的坐标．

【解析】（1）由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，则△ANO∽△AEB，故，即可求解；
（2）求出点A（1，4）、点C（﹣4，﹣1）．由，即可求解．
【解答】解：（1）反比例函数过点A（1，4），
∴，即k＝4，
∴，
∴．
由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，

∵ON∥EB，
∴△ANO∽△AEB，
∴，
∴S△AEB＝4S△AON＝8．

（2）由k＝4可得一次函数表达式为：y＝x+3，
∴联立方程组，解得，，，
∵点A（1，4），
∴点C（﹣4，﹣1）．
如图，设一次函数y＝x+3与x轴的交点为M，则M的坐标为（﹣3，0），
设点P（a，0），
则，
∴或，
∴或．

5.（2021年河南省三甲名校中考数学内部押题试卷（一））如图，在平面直角坐标系 中，函数的图象与直线交于点A(3,m).
（1）求k、m的值；
（2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数 的图象于点N.
①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.

【答案】(1) k的值为3，m的值为1；（2）0 【解析】
【详解】分析：（1）将A点代入y=x-2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．
（2）①当n=1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；
②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．
详解：（1）将A（3，m）代入y=x-2，
∴m=3-2=1，
∴A（3，1），
将A（3，1）代入y=，
∴k=3×1=3，
m的值为1.
（2）①当n=1时，P（1，1），
令y=1，代入y=x-2，
x-2=1，
∴x=3，
∴M（3，1），
∴PM=2，
令x=1代入y=，
∴y=3，
∴N（1，3），
∴PN=2
∴PM=PN，
②P（n，n），
点P在直线y=x上，
过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，

M（n+2，n），
∴PM=2，
∵PN≥PM，
即PN≥2，
∴0＜n≤1或n≥3
点睛：本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．

6.（2021年河南省新乡市长垣县中考数学模拟试题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A(2，a)．
（1）求a，k的值；
（2）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P(m，n)为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交函数y＝（x＞0）的图象于点B，C．由线段PB，PC和函数y＝（x＞0）的图象在点B，C之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W．
①若PA＝OA，求区域W内的整点个数；
②若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．

【答案】（1）3，6；（2）①5个；②或．
【解析】
【分析】（1）先根据直线的解析式可求a的值，从而可得点A的坐标，再将将点A坐标代入反比例函数的解析式可得k的值；
（2）①先求出点P坐标，再根据反比例函数的解析式求出点B、C坐标，然后结合函数图象、整点的定义即可得；
②分点P在点A下方和点P在点A上方两种情况讨论，结合函数图象列出不等式组求解即可．
【详解】（1）∵直线与反比例函数的图象交于点
∴
∴
将代入反比例函数得
解得；
（2）①∵点P为射线OA上一点，且
∴A为OP中点
∵
，解得
∴点P的坐标为
将代入得
将代入得，解得
∵如图，PB，PC分别垂直于x轴和y轴
∴

结合函数图象可知，区域W内有5个整点；
②在射线OA上

由题意，分以下两种情况：
如图，当点P在点A下方时
结合函数图象得：，即
解得

如图，当点P在点A上方时
结合函数图象得：，即
解得

综上，当或时，区域W内恰有5个整点．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，掌握反比例函数的性质是解题关键．
7.（2021年河南省焦作市沁阳市中考数模拟试题）如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点A（1，2）.
（1）求的值；
（2）过点作轴的平行线，直线与直线l交于点B，与函数的图象交于点，与轴交于点D.
①当点C是线段BD的中点时，求的值；
②当时，直接写出的取值范围.

【答案】（1）m=2；（2）①b=-3, ②b>3.
【解析】
（1）把A点坐标代入中即可得出m的值；
（2）①求出C点坐标为（2，1）代入直线即可得出b的值；
②根据图象可得结论.
【详解】（1）把A（1，2）代入函数中，
∴.
∴.
（2）①过点C作轴的垂线，交直线l于点E，交轴于点F.

当点C是线段BD的中点时，
.
∴点C的纵坐标为1，
把代入函数中，
得.
∴点C的坐标为（2，1）.
把C（2，1）代入函数中，得.
②由图象可知，当时，.

8.（湖北省襄阳市保康县2021年中考数学适应性试卷）下面是九年级某数学兴趣小组在学习反比例函数的图象与性质时的一个活动片段．大家知道，对于三个反比例函数、、，只研究第一象限的情形，根据对称性，便可知道对应另一象限的情况．
（1）绘制函数图象：



1
2
3



2
1





8
4
2




18
9

3

列表：如表是与的几组对应值．
描点：请根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点；
连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出图象；
（2）观察并猜想结论：对于任意两个不同的反比例函数和，它们的图象会不会相交：　不相交　；你的理由是：　　．

【解析】解：（1）画出函数图象如图：

（2）观察并猜想结论：对于任意两个不同的反比例函数和，它们的图象永远不会相交；理由是：反比例函数和，由于，所以当相等时，各自对应的函数一定不相等，即对应点的横坐标相同，纵坐标不同，也就是不同的点，因此反映到图象是即不相交．
故答案为：不相交，反比例函数和，由于，所以当相等时，各自对应的函数一定不相等，即对应点的横坐标相同，纵坐标不同，也就是不同的点，因此反映到图象是即不相交．

9.（江西省南昌市2021年九年级中考数学第一次调研检测（一模）试卷）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．
（1）列表：
x
…
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…


m

1
n
1
2
3
4
…
其中，m＝　　，n＝　0　．
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．

（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A（﹣3，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，）在函数图象上，则y1　＞　y2，x1　＜　x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）；
②直线y＝t与图象相交，交点依次从左到右为M，N，K三点，如果MN＝NK，求t的值．
【解析】（1）根据自变量x的不同取值范围分别代入相应函数解析式中即可求解．
（2）在x≤﹣2部分用平滑曲线描出；在x＞﹣2部分，用直线连接．
（3）①将x＝﹣3，x＝﹣分别代入y＝﹣，y＝中可比较y1，y2的大小；由（2）中图象可知x1，x2大小．
②将y＝t分别代入分段函数中，求得点M，点N，点K的横坐标，再表示出MN，NK的长度，抓住MN＝NK，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵x＝﹣4＜﹣2，
∴把x＝﹣4代入y＝﹣中，得y＝，
即m＝；
∵﹣1＞﹣2，
∴把x＝﹣1代入y＝中，得y＝0，
即n＝0．
（2）如答图所示：
（3）①把x＝﹣3代入y＝﹣中，得y1＝；
把x＝﹣代入y＝中，得y2＝．
∴y1＞y2；
由（2）中图象可知，当y＝时，x1＝﹣或或﹣4，
当y＝时，x2＝．
∴x1＜x2．
②根据题意可得，由﹣＝t，得xM＝；
＝t，得﹣x﹣1＝t或x+1＝t，
得xN＝﹣t﹣1，xK＝t﹣1．
∴MN＝﹣t﹣1﹣（﹣），
NK＝t﹣1﹣（﹣t﹣1）＝2t，
∵MN＝NK，
∴﹣t﹣1﹣（﹣）＝2t．
解得t＝或t＝﹣1（不合题意，舍去） 故答案为：t＝．


10.（2021年河南师范大学附属中学中考数学摸底卷试题） 如图，关于x的一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣2，8），B（4，m）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）设一次函数y＝k1x+b的图象与x轴，y轴的交点分别为M，N，P是x轴上一动点，当以P，M，N三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P的坐标．

【答案】（1）y＝﹣，y＝﹣2x+4；（2）点P的坐标是（﹣2，0）或（2+2，0）或（2﹣2，0）或（﹣3，0）．
【解析】
【分析】（1）先把A点坐标代入y＝可求出k2的值，从而确定反比例函数解析式；再把B（4，m）代入反比例函数解析式求出m的值，可确定点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先根据一次函数的解析式确定M和N的坐标，根据以P，M，N三点为顶点的三角形是等腰三角形分三种情况讨论：①NP＝NM；②MP＝MN；③PN＝PM；前两种直接根据线段的长得出点P的坐标，第三种根据两点的距离列方程可得结论．
【详解】解：（1）把，代入反比例函数得：，
，，
∴反比例函数解析式为，且，
把，代入得：，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2），
当时，，当时，，，
，，
，，
①当时，如图1，

，
，
；
②当时，如图2，

由勾股定理得：，
，或，；
③当时，如图3，
是轴上一动点，
设，

，
，
，
，
综上，点的坐标是或，或，或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题和等腰三角形的性质和判定，并注意等腰三角形在没确定腰和底边时要分情况讨论，注意利用数形结合的思想