备战中考初中数学导练学案50讲—第12讲反比例函数（讲练版）

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备战中考初中数学导练学案50讲
第12讲 反比例函数
【疑难点拨】
1．利用反比例函数关系式解决问题时，注意这一限制条件．
2．解与实际问题相关的图象题时，要关注自变量的实际意义，不能扩大或缩小其取值范围．
3．利用反比例函数的性质比较大小时，如果两点不在同一个象限时，需要根据图象作出合理的判断，切不可用所谓的“性质”比较大小．
4．画函数的图象时，要注意自变量不等于0这一隐含条件，不能出现图象与坐标轴有交点等现象．
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018·湖南省衡阳·3分）对于反比例函数y=﹣，下列说法不正确的是（　　）
A．图象分布在第二、四象限
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．图象经过点（1，﹣2）
D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
2. （2018•江苏扬州•3分）已知点A（x1，3），B（x2，6）都在反比例函数y=﹣的图象上，则下列关系式一定正确的是（　　）
A．x1＜x2＜0 B．x1＜0＜x2 C．x2＜x1＜0 D．x2＜0＜x1
3. （2018•四川凉州•3分）若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B． C． D．
4. （2018·山东威海·3分）若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y=（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
5. （2018·山东临沂·3分）如图，正比例函y1=k1x与反比例函数y2=的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为1．当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣1或x＞1 B．﹣1＜x＜0或x＞1
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜l
二、填空题：
6. （2018·四川宜宾·3分）已知：点P（m，n）在直线y=﹣x+2上，也在双曲线y=﹣上，则m2+n2的值为　　
7. （2018·浙江衢州·4分）如图，点A，B是反比例函数y=（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA，BC，已知点C（2，0），BD=2，S△BCD=3，则S△AOC=　 　．

8. （2018•广西桂林•3分）如图，矩形OABC的边AB与x轴交于点D，与反比例函数(k>0)在第一象限的图像交于点E，∠AOD=30°，点E的纵坐标为1，ΔODE的面积是，则k的值是________

三、解答与计算题：
9. （2018·湖南省常德·6分）如图，已知一次函数y1=k1x+b（k1≠0）与反比例函数y2=（k2≠0）的图象交于A（4，1），B（n，﹣2）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）请根据图象直接写出y1＜y2时x的取值范围．






10. （2018·山东潍坊·7分）如图，直线y=3x﹣5与反比例函数y=的图象相交A（2，m），B（n，﹣6）两点，连接OA，OB．
（1）求k和n的值；
（2）求△AOB的面积．





【能力篇】
一、选择题：
11. （2018·四川自贡·4分）从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在函数y=图象的概率是（　　）
A． B． C． D．
12. （2018•湖北黄石•3分）已知一次函数y1=x﹣3和反比例函数y2=的图象在平面直角坐标系中交于A、B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1或x＞4 B．﹣1＜x＜0或x＞4
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜4 D．x＜﹣1或0＜x＜4
13. 如图， 是函数 上两点， 为一动点，作 轴， 轴，下列说法正确的是(    )
① ；② ；③若 ，则 平分 ；④若 ，则
A. ①③     B. ②③     C. ②④     D. ③④
二、填空题：
14. （2018·浙江宁波·4分）如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为 .

15. （2018·广东·3分）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y=（x＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为　 　．

三、解答与计算题：
16. （2018•山东菏泽•7分）如图，已知点D在反比例函数y=的图象上，过点D作DB⊥y轴，垂足为B（0，3），直线y=kx+b经过点A（5，0），与y轴交于点C，且BD=OC，OC：OA=2：5．
（1）求反比例函数y=和一次函数y=kx+b的表达式；
（2）直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．

17. （2018•山东滨州•13分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（1，）．
（1）求图象过点B的反比例函数的解析式；
（2）求图象过点A，B的一次函数的解析式；
（3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量x的取值范围．

18. （2018·山东青岛·8分）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0．
（1）当y1﹣y2=4时，求m的值；
（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．


【探究篇】
19. （2018·湖北省宜昌·12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y=（k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．
（1）填空：OA=　 　，k=　 　，点E的坐标为　 　；
（2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，﹣t2+5t﹣）与点N（﹣t﹣3，﹣t2+3t﹣）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点．
①当点P在双曲线y=上时，求证：直线MN与双曲线y=没有公共点；
②当抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；
③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．


20. （2018·湖北省武汉·10分）已知点A（a，m）在双曲线y=上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．
（1）如图1，当a=﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C，
①若t=1，直接写出点C的坐标；
②若双曲线y=经过点C，求t的值．
（2）如图2，将图1中的双曲线y=（x＞0）沿y轴折叠得到双曲线y=﹣（x＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y=﹣（x＜0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系．

第12讲 反比例函数
【疑难点拨】
1．利用反比例函数关系式解决问题时，注意这一限制条件．
2．解与实际问题相关的图象题时，要关注自变量的实际意义，不能扩大或缩小其取值范围．
3．利用反比例函数的性质比较大小时，如果两点不在同一个象限时，需要根据图象作出合理的判断，切不可用所谓的“性质”比较大小．
4．画函数的图象时，要注意自变量不等于0这一隐含条件，不能出现图象与坐标轴有交点等现象．
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018·湖南省衡阳·3分）对于反比例函数y=﹣，下列说法不正确的是（　　）
A．图象分布在第二、四象限
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．图象经过点（1，﹣2）
D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
【解答】解：A、k=﹣2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；
B、k=﹣2＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；
C、∵﹣=﹣2，∴点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项正确；
D、点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数y=﹣的图象上，若x1＜x2＜0，则y1＜y2，故本选项错误．
故选：D．
2. （2018•江苏扬州•3分）已知点A（x1，3），B（x2，6）都在反比例函数y=﹣的图象上，则下列关系式一定正确的是（　　）
A．x1＜x2＜0 B．x1＜0＜x2 C．x2＜x1＜0 D．x2＜0＜x1
【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．
【解答】解：由题意，得
k=﹣3，图象位于第二象限，或第四象限，
在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵3＜6，
∴x1＜x2＜0，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数，利用反比例函数的性质是解题关键．
3. （2018•四川凉州•3分）若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据ab＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案．
【解答】解：∵ab＜0，∴分两种情况：
（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y=ax数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；
（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
4. （2018·山东威海·3分）若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y=（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】直接利用反比例函数的性质分析得出答案．
【解答】解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y=（k＜0）上，
∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键．
5. （2018·山东临沂·3分）如图，正比例函y1=k1x与反比例函数y2=的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为1．当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣1或x＞1 B．﹣1＜x＜0或x＞1
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜l
【分析】直接利用正比例函数的性质得出B点横坐标，再利用函数图象得出x的取值范围．
【解答】解：∵正比例函y1=k1x与反比例函数y2=的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为1．
∴B点的横坐标为：﹣1，
故当y1＜y2时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜l．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得出B点横坐标是解题关键．
二、填空题：
6. （2018·四川宜宾·3分）已知：点P（m，n）在直线y=﹣x+2上，也在双曲线y=﹣上，则m2+n2的值为　6　
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；F8：一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．
【解答】解：∵点P（m，n）在直线y=﹣x+2上，
∴n+m=2，
∵点P（m，n）在双曲线y=﹣上，
∴mn=﹣1，
∴m2+n2=（n+m）2﹣2mn=4+2=6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m，n之间关系是解题关键．
7. （2018·浙江衢州·4分）如图，点A，B是反比例函数y=（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA，BC，已知点C（2，0），BD=2，S△BCD=3，则S△AOC=　5　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义，图象上点的坐标特征
【分析】由三角形BCD为直角三角形，根据已知面积与BD的长求出CD的长，由OC+CD求出OD的长，确定出B的坐标，代入反比例解析式求出k的值，利用反比例函数k的几何意义求出三角形AOC面积即可．
【解答】解：∵BD⊥CD，BD=2，∴S△BCD=BD•CD=3，即CD=3．
∵C（2，0），即OC=2，∴OD=OC+CD=2+3=5，∴B（5，2），代入反比例解析式得：k=10，即y=，则S△AOC=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解答本题的关键．
8. （2018•广西桂林•3分）如图，矩形OABC的边AB与x轴交于点D，与反比例函数(k>0)在第一象限的图像交于点E，∠AOD=30°，点E的纵坐标为1，ΔODE的面积是，则k的值是________

【答案】
【解析】分析：过E作EF⊥x轴，垂足为F，则EF=1，易求∠DEF=30°，从而DE=，根据ΔODE的面积是求出OD=，从而OF=3，所以k=3.
详解：过E作EF⊥x轴，垂足为F，

∵点E的纵坐标为1，
∴EF=1，
∵ΔODE的面积是
∴OD=，
∵四边形OABC是矩形，且∠AOD=30°,
∴∠DEF=30°,
∴DF=
∴OF=3，
∴k=3.
故答案为3.
点睛：本题考查了反比例函数解析式的求法，求出点E的坐标是解题关键.
三、解答与计算题：
9. （2018·湖南省常德·6分）如图，已知一次函数y1=k1x+b（k1≠0）与反比例函数y2=（k2≠0）的图象交于A（4，1），B（n，﹣2）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）请根据图象直接写出y1＜y2时x的取值范围．

【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k2的值，进而可得出反比例函数的解析式，由点B的纵坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出y1＜y2时x的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数y2=（k2≠0）的图象过点A（4，1），
∴k2=4×1=4，
∴反比例函数的解析式为y2=．
∵点B（n，﹣2）在反比例函数y2=的图象上，
∴n=4÷（﹣2）=﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）．
将A（4，1）、B（﹣2，﹣2）代入y1=k1x+b，
，解得：，
∴一次函数的解析式为y=x﹣1．
（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2和0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象下方，
∴y1＜y2时x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点B的坐标；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式y1＜y2的解集．
10. （2018·山东潍坊·7分）如图，直线y=3x﹣5与反比例函数y=的图象相交A（2，m），B（n，﹣6）两点，连接OA，OB．
（1）求k和n的值；
（2）求△AOB的面积．

【分析】（1）先求出B点的坐标，再代入反比例函数解析式求出即可；
（2）先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，再求出即可．
【解答】解：（1）∵点B（n，﹣6）在直线y=3x﹣5上，
∴﹣6=3n﹣5，
解得：n=﹣，
∴B（﹣，﹣6），
∵反比例函数y=的图象过点B，
∴k﹣1=﹣×（﹣6），
解得：k=3；
（2）设直线y=3x﹣5分别与x轴、y轴交于C、D，

当y=0时，3x﹣5=0，x=，
即OC=，
当x=0时，y=﹣5，
即OD=5，
∵A（2，m）在直线y=3x﹣5上，
∴m=3×2﹣5=1，
即A（2，1），
∴△AOB的面积S=S△BOD+S△COD+S△AOC=××5+×5+×1=．
【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题、函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018·四川自贡·4分）从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在函数y=图象的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出mn=6，列表找出所有mn的值，根据表格中mn=6所占比例即可得出结论．
【解答】解：∵点（m，n）在函数y=的图象上，
∴mn=6．
列表如下：
m
﹣1
﹣1
﹣1
2
2
2
3
3
3
﹣6
﹣6
﹣6
n
2
3
﹣6
﹣1
3
﹣6
﹣1
2
﹣6
﹣1
2
3
mn
﹣2
﹣3
6
﹣2
6
﹣12
﹣3
6
﹣18
6
﹣12
﹣18
mn的值为6的概率是=．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，通过列表找出mn=6的概率是解题的关键．
12. （2018•湖北黄石•3分）已知一次函数y1=x﹣3和反比例函数y2=的图象在平面直角坐标系中交于A、B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1或x＞4 B．﹣1＜x＜0或x＞4
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜4 D．x＜﹣1或0＜x＜4
【分析】先求出两个函数的交点坐标，再根据函数的图象和性质得出即可．
【解答】解：解方程组得：，，
即A（4，1），B（﹣1，﹣4），
所以当y1＞y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞4，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，能熟记函数的性质和图象是解此题的关键．
13. 如图， 是函数 上两点， 为一动点，作 轴， 轴，下列说法正确的是(    )
① ；② ；③若 ，则 平分 ；④若 ，则
A. ①③                 B. ②③                        C. ②④                    D. ③④

【考点】反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，角的平分线判定
【分析】设P（a,b），则A（ ，b）,B（a, ）,
①根据两点间距离公式得AP= -a，BP= -b,因为不知道a和b是否相等，所以不能判断AP与BP，OA与OB,是否相等，所以△AOP和△BOP不一定全等，故①错误；
②根据三角形的面积公式可得S△AOP=S△BOP=6- ab，故②正确；
③作PD⊥OB，PE⊥OA，根据S△AOP=S△BOP.底相等，从而得高相等，即PD=PE，再由角分线的判定定理可得OP平分∠AOB，故③正确；
④根据S△BOP=6- ab=4，求得ab=4，再 由三角形面积公式得S△ABP= ·BP·AP，代入计算即可得④错误；
【解析】【解答】解：设P（a,b），则A（ ，b）,B（a, ）,①∴AP= -a，BP= -b,
∵a≠b，
∴AP≠BP，OA≠OB,
∴△AOP和△BOP不一定全等，
故①错误；
②∵S△AOP= ·AP·yA= ·（ -a）·b=6- ab，
S△BOP= ·BP·xB= ·（ -b）·a=6- ab，
∴S△AOP=S△BOP.
故②正确；
③作PD⊥OB，PE⊥OA，

∵OA=OB，S△AOP=S△BOP.
∴PD=PE，
∴OP平分∠AOB，
故③正确；
④∵S△BOP=6- ab=4，
∴ab=4，
∴S△ABP= ·BP·AP
= ·（ -b）·（ -a），
=-12+ + ab，
=-12+18+2，
=8.                                    
故④错误；
故答案为：B.
二、填空题：
14. （2018·浙江宁波·4分）如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为 .

【考点】反比例函数
【分析】设A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah=k1，bh=k2．根据三角形的面积公式得到S△ABC=AB•yA=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，求出k1﹣k2=8．
【解答】解：∵AB∥x轴，
∴A，B两点纵坐标相同．
设A（a，h），B（b，h），则ah=k1，bh=k2．
∵S△ABC=AB•yA=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，
∴k1﹣k2=8．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式．也考查了三角形的面积．
15. （2018·广东·3分）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y=（x＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为　（2，0）　．

【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2、B3、B4的坐标，得出规律，进而求出点B6的坐标．
【解答】解：如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C=a，则A2C=a，
OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a，a）．
∵点A2在双曲线y=（x＞0）上，
∴（2+a）•a=，
解得a=﹣1，或a=﹣﹣1（舍去），
∴OB2=OB1+2B1C=2+2﹣2=2，
∴点B2的坐标为（2，0）；
作A3D⊥x轴于点D，设B2D=b，则A3D=b，
OD=OB2+B2D=2+b，A2（2+b，b）．
∵点A3在双曲线y=（x＞0）上，
∴（2+b）•b=，
解得b=﹣+，或b=﹣﹣（舍去），
∴OB3=OB2+2B2D=2﹣2+2=2，
∴点B3的坐标为（2，0）；
同理可得点B4的坐标为（2，0）即（4，0）；
…，
∴点Bn的坐标为（2，0），
∴点B6的坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B2、B3、B4的坐标进而得出点Bn的规律是解题的关键．
三、解答与计算题：
16. （2018•山东菏泽•7分）如图，已知点D在反比例函数y=的图象上，过点D作DB⊥y轴，垂足为B（0，3），直线y=kx+b经过点A（5，0），与y轴交于点C，且BD=OC，OC：OA=2：5．
（1）求反比例函数y=和一次函数y=kx+b的表达式；
（2）直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）由OC、OA、BD之间的关系结合点A、B的坐标可得出点C、D的坐标，由点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a值，进而可得出反比例函数的表达式，再由点A、C的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的表达式；
（2）将一次函数表达式代入反比例函数表达式中，利用根的判别式△＜0可得出两函数图象无交点，再观察图形，利用两函数图象的上下位置关系即可找出不等式＞kx+b的解集．
【解答】解：（1）∵BD=OC，OC：OA=2：5，点A（5，0），点B（0，3），
∴OA=5，OC=BD=2，OB=3，
又∵点C在y轴负半轴，点D在第二象限，
∴点C的坐标为（0，﹣2），点D的坐标为（﹣2，3）．
∵点D（﹣2，3）在反比例函数y=的图象上，
∴a=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数的表达式为y=﹣．
将A（5，0）、B（0，﹣2）代入y=kx+b，
，解得：，
∴一次函数的表达式为y=x﹣2．
（2）将y=x﹣2代入y=﹣，整理得：x2﹣2x+6=0，
∵△=（﹣2）2﹣4××6=﹣＜0，
∴一次函数图象与反比例函数图象无交点．
观察图形，可知：当x＜0时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴不等式＞kx+b的解集为x＜0．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征以及根的判别式，解题的关键是：（1）由OC、OA、BD之间的关系结合点A、B的坐标找出点C、D的坐标；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集．
17. （2018•山东滨州•13分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（1，）．
（1）求图象过点B的反比例函数的解析式；
（2）求图象过点A，B的一次函数的解析式；
（3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量x的取值范围．

【分析】（1）由C的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出B的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）由菱形的边长确定出A坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式即可；
（3）联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标，由图象确定出满足题意x的范围即可．
【解答】解：（1）由C的坐标为（1，），得到OC=2，
∵菱形OABC，
∴BC=OC=OA=2，BC∥x轴，
∴B（3，），
设反比例函数解析式为y=，
把B坐标代入得：k=3，
则反比例解析式为y=；
（2）设直线AB解析式为y=mx+n，
把A（2，0），B（3，）代入得：，
解得：，
则直线AB解析式为y=x﹣2；
（3）联立得：，
解得：或，即一次函数与反比例函数交点坐标为（3，）或（﹣1，﹣3），
则当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，自变量x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜3．
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
18. （2018·山东青岛·8分）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0．
（1）当y1﹣y2=4时，求m的值；
（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．

【分析】（1）先根据反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y=，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1==，y2==，然后根据y1﹣y2=4列出方程﹣=4，解方程即可求出m的值；
（2）设BD与x轴交于点E．根据三角形PBD的面积是8列出方程••PE=8，求出PE=4m，再由E（2m，0），点P在x轴上，即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y=，
∵反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），
∴k=﹣4×（﹣3）=12，
∴反比例函数的解析式为y=，
∵反比例函数的图象经过点B（2m，y1），C（6m，y2），
∴y1==，y2==，
∵y1﹣y2=4，
∴﹣=4，
∴m=1；

（2）设BD与x轴交于点E．
∵点B（2m，），C（6m，），过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，
∴D（2m，），BD=﹣=．
∵三角形PBD的面积是8，
∴BD•PE=8，
∴••PE=8，
∴PE=4m，
∵E（2m，0），点P在x轴上，
∴点P坐标为（﹣2m，0）或（6m，0）．

【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，正确求出双曲线的解析式是解题的关键．
【探究篇】
19. （2018·湖北省宜昌·12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y=（k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．
（1）填空：OA=　6　，k=　﹣6　，点E的坐标为
　（﹣，4）　；
（2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，﹣t2+5t﹣）与点N（﹣t﹣3，﹣t2+3t﹣）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点．
①当点P在双曲线y=上时，求证：直线MN与双曲线y=没有公共点；
②当抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；
③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．

【分析】（1）根据题意将先关数据带入
（2）①用t表示直线MN解析式，及b，c，得到P点坐标带入双曲线y=解析式，证明关于t的方程无解即可；
②根据抛物线开口和对称轴，分别讨论抛物线过点B和在BD上时的情况；
③由②中部分结果，用t表示F、P点的纵坐标，求出t的取值范围及直线MN在四边形OAEB中所过的面积．
【解答】解：（1）∵A点坐标为（﹣6，0）∴OA=6
∵过点C（﹣6，1）的双曲线y=∴k=﹣6，y=4时，x=﹣
∴点E的坐标为（﹣，4）故答案为：6，﹣6，（﹣，4）
（2）①设直线MN解析式为：y1=k1x+b1
由题意得：解得
∵抛物线y=﹣过点M、N
∴解得
∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣x+5t﹣2，∴顶点P坐标为（﹣1，5t﹣）
∵P在双曲线y=﹣上，∴（5t﹣）×（﹣1）=﹣6，∴t=
此时直线MN解析式为：联立
∴8x2+35x+49=0
∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536＜0，∴直线MN与双曲线y=﹣没有公共点．
②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点∴4=5t﹣2，得t=
当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点
∴，得t=
∴t=或t=
③∵点P的坐标为（﹣1，5t﹣）
∴yP=5t﹣
当1≤t≤6时，yP随t的增大而增大
此时，点P在直线x=﹣1上向上运动
∵点F的坐标为（0，﹣）
∴yF=﹣
∴当1≤t≤4时，随者yF随t的增大而增大
此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动
∴1≤t≤4
当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3）
当t=4﹣时，直线MN过点A．
当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为
S=
【点评】本题为二次函数与反比例函数综合题，考查了数形结合思想和分类讨论的数学思想．解题过程中，应注意充分利用字母t表示相关点坐标．
20. （2018·湖北省武汉·10分）已知点A（a，m）在双曲线y=上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．
（1）如图1，当a=﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C，
①若t=1，直接写出点C的坐标；
②若双曲线y=经过点C，求t的值．
（2）如图2，将图1中的双曲线y=（x＞0）沿y轴折叠得到双曲线y=﹣（x＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y=﹣（x＜0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系．

【分析】（1）①如图1﹣1中，求出PB、PC的长即可解决问题；
②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），理由待定系数法，把问题转化为方程解决即可；
（2）分两种情形①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），可得m+n=0．
②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y=﹣上，作D′H⊥y轴，则△ABO≌△D′HO，推出OB=OH，AB=D′H，由A（a，m），推出D′（m，﹣a），即D′（m，n），由D′在y=﹣上，可得mn=﹣8；
【解答】解：（1）①如图1﹣1中，

由题意：B（﹣2，0），P（1，0），PB=PC=3，
∴C（1，3）．

②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），

∵点C在y=上，
∴t（t+2）=8，
∴t=﹣4 或2，


（2）如图2中，

①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），
∴m+n=0．
②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y=﹣上，
作D′H⊥y轴，则△ABO≌△D′HO，
∴OB=OH，AB=D′H，
∵A（a，m），
∴D′（m，﹣a），即D′（m，n），
∵D′在y=﹣上，
∴mn=﹣8，
综上所述，满足条件的m、n的关系是m+n=0或mn=﹣8．
【点评】本题考查反比例函数综合题、旋转变换、待定系数法、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．