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备战中考初中数学导练学案50讲—第48讲 尺规作图（讲练版）
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这是一份备战中考初中数学导练学案50讲—第48讲 尺规作图（讲练版），共29页。学案主要包含了疑难点拨等内容，欢迎下载使用。
备战中考初中数学导练学案50讲
第48讲 尺规作图
【疑难点拨】
1.考查尺规作图
该题型主要考查尺规作图,有关尺规作图的内容,可能单独考查基本尺规作图,也可能把几个尺规作图相结合,进行综合考查.
在尺规作图中有三个关键环节,一是理解相关的定义、定理等;二是熟练掌握基本尺规作图的作图方法;三是注意保留清晰的作图痕迹,这是尺规作图的精髓,是必不可少的一个解题步骤,因为尺规作图的重点是“作”,而这个“作”是通过作图痕迹体现出来的.
2.尺规作图与几何计算、几何证明相结合
该题型常以几何计算或证明为主,兼顾考查尺规作图的内容,如根据图中的作图痕迹确定某个图形的形状,或根据题目要求利用尺规作图作出某个图形,进而利用该图形的性质进行计算与推理.
3.五种基本尺规作图
(1) 作一条线段等于已知线段:①作射线OP；②以点O为圆心，a为半径作弧，交OP于点A，则OA即为所求作的线段。
(2) 作角的平分线：①以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M； ②
分别以点M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线OP即为所求。
(3)作线段的垂直平分线：①分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点M，N； ②作直线MN即为所求。
(4)作一个角等于已知角：①以点O为圆心，以适当长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q； ②作射线O′A′； ③以点O′为圆心，OP长为半径作弧，交O′A′于点M； ④以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N； ⑤过点N作射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求
(5)作直线l的垂线：过直线上一点作已知直线的垂线
①以点O为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于A，B两点；②分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径在直线两侧作弧，两弧分别交于点M，N；③作直线MN即为所求
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018•襄阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
2. （2018•宜昌）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3. （2018年湖北省宜昌市3分）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
4. （2018•潍坊）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．
下列说法不正确的是（ ）
A．∠CBD=30°B．S△BDC=AB2 C．点C是△ABD的外心 D．sin2A+cos2D=1
5. （2018•湖州）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；
③连结OG．
问：OG的长是多少？
大臣给出的正确答案应是（ ）
A． r B．（1+）r C．（1+）r D． r
二、填空题：
6. （2018•南京）如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC=10cm，则DE= cm．
7. （2018·辽宁省抚顺市）（3.00分）如图，▱ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是 ．
8. （2018•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是 ．
三、解答与计算题：
9. （2018·浙江宁波·8分）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；
（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．
10. （2018•甘肃白银，定西，武威）如图，在中，.
（1）作的平分线交边于点，再以点为圆心，的长为半径作；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中与的位置关系，直接写出结果.
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018·台湾·分）如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，其作法分别如下：
（甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求；
（乙）作过B点且与AB垂直的直线l，作过C点且与AC垂直的直线，交l于P点，则P即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
12. （2018•河北）尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
13. （2018•河南）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2）
二、填空题：
14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B.C，再分别以点B.C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D.作直线AD分别交OP、ON于点E.F．若∠MON=60°，EF=1，则OA= 2 ．
15. （2018·吉林长春·3分）如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为 度．
三、解答与计算题：
16. （2018•安徽•分） 如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长.
17. （2018•北京•5分） 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线及直线外一点．
求作：，使得．
作法：如图，
①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
③作直线．
所以直线就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵_______，_______，
∴（____________）（填推理的依据）．
18. （2018·广东·6分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
【探究篇】
19. （2018·四川自贡·10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．
（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）
20. （2018·广东广州·12分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；
②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值。
备战2019中考初中数学导练学案50讲
第48讲 尺规作图
【疑难点拨】
1.考查尺规作图
该题型主要考查尺规作图,有关尺规作图的内容,可能单独考查基本尺规作图,也可能把几个尺规作图相结合,进行综合考查.
在尺规作图中有三个关键环节,一是理解相关的定义、定理等;二是熟练掌握基本尺规作图的作图方法;三是注意保留清晰的作图痕迹,这是尺规作图的精髓,是必不可少的一个解题步骤,因为尺规作图的重点是“作”,而这个“作”是通过作图痕迹体现出来的.
2.尺规作图与几何计算、几何证明相结合
该题型常以几何计算或证明为主,兼顾考查尺规作图的内容,如根据图中的作图痕迹确定某个图形的形状,或根据题目要求利用尺规作图作出某个图形,进而利用该图形的性质进行计算与推理.
3.五种基本尺规作图
(1) 作一条线段等于已知线段:①作射线OP；②以点O为圆心，a为半径作弧，交OP于点A，则OA即为所求作的线段。
(2) 作角的平分线：①以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M； ②
分别以点M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线OP即为所求。
(3)作线段的垂直平分线：①分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点M，N； ②作直线MN即为所求。
(4)作一个角等于已知角：①以点O为圆心，以适当长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q； ②作射线O′A′； ③以点O′为圆心，OP长为半径作弧，交O′A′于点M； ④以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N； ⑤过点N作射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求
(5)作直线l的垂线：过直线上一点作已知直线的垂线
①以点O为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于A，B两点；②分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径在直线两侧作弧，两弧分别交于点M，N；③作直线MN即为所求
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018•襄阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故选：B．
2. （2018•宜昌）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据过直线外一点向直线作垂线即可．
【解答】已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
（4）作直线CF．
直线CF就是所求的垂线．
故选：B．
3. （2018年湖北省宜昌市3分）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
【分析】根据过直线外一点向直线作垂线即可．
【解答】已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
（4）作直线CF．
直线CF就是所求的垂线．
故选：B．
【点评】此题主要考查了过一点作直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．
4. （2018•潍坊）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．
下列说法不正确的是（ ）
A．∠CBD=30° B．S△BDC=AB2 C．点C是△ABD的外心 D．sin2A+cos2D=1
【分析】根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可；
【解答】解：由作图可知：AC=AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
由作图可知：CB=CA=CD，
∴点C是△ABD的外心，∠ABD=90°，
BD=AB，
∴S△ABD=AB2，
∵AC=CD，
∴S△BDC=AB2，
故A、B、C正确，
故选：D．
5. （2018•湖州）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；
③连结OG．
问：OG的长是多少？
大臣给出的正确答案应是（ ）
A． r B．（1+）r C．（1+）r D． r
【分析】如图连接CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解决问题；
【解答】解：如图连接CD，AC，DG，AG．
∵AD是⊙O直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，
∴AC=r，
∵DG=AG=CA，OD=OA，
∴OG⊥AD，
∴∠GOA=90°，
∴OG===r，
故选：D．
二、填空题：
6. （2018•南京）如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC=10cm，则DE= cm．
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出DE是△ABC的中位线，进而得出答案．
【解答】解：∵用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，
∴D为AB的中点，E为AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=5cm．
故答案为：5．
7. （2018·辽宁省抚顺市）（3.00分）如图，▱ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是 ．
【分析】根据平行四边形的性质可知AD=BC=3，CD=AB=7，再由垂直平分线的性质得出AE=CE，据此可得出结论
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=7，BC=3，
∴AD=BC=3，CD=AB=7．
∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴△ADE的周长=AD+（DE+AE）=AD+CD=3+7=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
8. （2018•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是 ．
【分析】连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；
【解答】解：连接AD．
∵PQ垂直平分线段AB，
∴DA=DB，设DA=DB=x，
在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，
∴x2=32+（5﹣x）2，
解得x=，
∴CD=BC﹣DB=5﹣=，
故答案为．
三、解答与计算题：
9. （2018·浙江宁波·8分）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；
（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．
【分析】（1）将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD；
（2）利用2×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC．
【考点】作图、平行四边形的性质
【解答】解：（1）如图所示，线段BD即为所求；
（2）如图所示，线段BE即为所求．
【点评】本题主要考查了作图以及平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
10. （2018•甘肃白银，定西，武威）如图，在中，.
（1）作的平分线交边于点，再以点为圆心，的长为半径作；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中与的位置关系，直接写出结果.
【答案】（1）作图见解析；（2）AC与⊙O相切．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法求出角平分线CO；
（2）过O作OD⊥AC交AC于点D，先根据角平分线的性质求出DO=BO，再根据切线的判定定理即可得出答案．
【解答】（1）如图,作出角平分线CO;
作出⊙O.
（2）AC与⊙O相切.
【点评】考查作图—复杂作图，直线与圆的位置关系，熟练掌握角平分线的作法是解题的关键.
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018·台湾·分）如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，其作法分别如下：
（甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求；
（乙）作过B点且与AB垂直的直线l，作过C点且与AC垂直的直线，交l于P点，则P即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【分析】甲：根据作图可得AC=AP，利用等边对等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定义可知：∠BPC+∠APC=180°，根据等量代换可作判断；
乙：根据四边形的内角和可得：∠BPC+∠A=180°．
【解答】解：甲：如图1，∵AC=AP，
∴∠APC=∠ACP，
∵∠BPC+∠APC=180°
∴∠BPC+∠ACP=180°，
∴甲错误；
乙：如图2，∵AB⊥PB，AC⊥PC，
∴∠ABP=∠ACP=90°，
∴∠BPC+∠A=180°，
∴乙正确，
故选：D．
【点评】本题考查了垂线的定义、四边形的内角和定理、等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
12. （2018•河北）尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．
【解答】解：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ．
故选：D．
13. （2018•河南）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2）
【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=，依据∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，进而得出HG=﹣1，可得G（﹣1，2）．
【解答】解：∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），
∴AH=1，HO=2，
∴Rt△AOH中，AO=，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG=∠EOG，
又∵AG∥OE，
∴∠AGO=∠EOG，
∴∠AGO=∠AOG，
∴AG=AO=，
∴HG=﹣1，
∴G（﹣1，2），
故选：A．
二、填空题：
14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B.C，再分别以点B.C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D.作直线AD分别交OP、ON于点E.F．若∠MON=60°，EF=1，则OA= 2 ．
【解答】解：由作法得AD⊥ON于F，∴∠AOF=90°．
∵OP平分∠MON，∴∠EOF= ∠MON= ×60°=30°
．在Rt△OEF中，OF= EF= ．在Rt△AOF中，∠AOF=60°，
∴OA=2OF=2 ．
故答案为：2 ．
15. （2018·吉林长春·3分）如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为 度．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=32°，
∴∠ABC=∠ACB=74°，
又∵BC=DC，
∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．
故答案为：37．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
三、解答与计算题：
16. （2018•安徽•分） 如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长.
【答案】（1）画图见解析；（2）CE=
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AB、AC有交点，再分别以这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过点A与这点作射线，与圆交于点E ，据此作图即可；
（2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE，由AE平分∠BAC，可推导得出OE⊥BC，然后在Rt△OFC中，由勾股定理可求得FC的长，在Rt△EFC中，由勾股定理即可求得CE的长.
【详解】（1）如图所示，射线AE就是所求作的角平分线；
（2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∴OE⊥BC，EF=3，∴OF=5-3=2，
在Rt△OFC中，由勾股定理可得FC==，
在Rt△EFC中，由勾股定理可得CE==.
【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，垂径定理等，熟练掌握角平分线的作图方法、推导得出OE⊥BC是解题的关键.
17. （2018•北京•5分） 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线及直线外一点．
求作：，使得．
作法：如图，
①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
③作直线．
所以直线就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵_______，_______，
∴（____________）（填推理的依据）．
【解析】（1）尺规作图如下图所示：
（2），，三角形中位线平行于三角形的第三边．
【考点】尺规作图，三角形中位线定理
18. （2018·广东·6分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF=∠ABD﹣∠ABF计算即可；
【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．
∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=∠A=30°，
∵EF垂直平分线线段AB，
∴AF=FB，
∴∠A=∠FBA=30°，
∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．
【探究篇】
19. （2018·四川自贡·10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．
（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）
【分析】（1）作∠ABC的角平分线交AC于E，作EO⊥AC交AB于点O，以O为圆心，OB为半径画圆即可解决问题；
（2）作OH⊥BC于H．首先求出OH、EC、BE，利用△BCE∽△BED，可得，解决问题；
【解答】解：（1）⊙O如图所示；
（2）作OH⊥BC于H．
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°，
∴四边形ECHO是矩形，
∴OE=CH=，BH=BC﹣CH=，
在Rt△OBH中，OH==2，
∴EC=OH=2，BE=2，
∵∠EBC=∠EBD，∠BED=∠C=90°，
∴△BCE∽△BED，
∴，
∴=，
∴DE=．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20. （2018·广东广州·12分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；
②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值。
【答案】（1）
（2）①证明：在AD上取一点F使DF=DC，连接EF，
∵DE平分∠ADC，
∴∠FDE=∠CDE，
在△FED和△CDE中，
DF=DC，∠FDE=∠CDE，DE=DE
∴△FED≌△CDE（SAS），
∴∠DFE=∠DCE=90°，∠AFE=180°-∠DFE=90°
∴∠DEF=∠DEC，
∵AD=AB+CD，DF=DC，
∴AF=AB，
在Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）
∴∠AEB=∠AEF，
∴∠AED=∠AEF+∠DEF= ∠CEF+ ∠BEF= （∠CEF+∠BEF）=90°。
∴AE⊥DE
②解：过点D作DP⊥AB于点P，
∵由①可知，B，F关于AE对称，BM=FM，
∴BM+MN=FM+MN，
当F，M，N三点共线且FN⊥AB时，有最小值，
∵DP⊥AB，AD=AB+CD=6，
∴∠DPB=∠ABC=∠C=90°，
∴四边形DPBC是矩形，
∴BP=DC=2，AP=AB-BP=2，
在Rt△APD中，DP= = ，
∵FN⊥AB，由①可知AF=AB=4，
∴FN∥DP，
∴△AFN∽△ADP
∴ ，
即 ，
解得FN= ，
∴BM+MN的最小值为
【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，作图—基本作图，轴对称的应用-最短距离问题，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角平分的做法即可画出图.（2）①在AD上取一点F使DF=DC，连接EF；角平分线定义得∠FDE=∠CDE；根据全等三角形判定SAS得△FED≌△CDE，再由全等三角形性质和补角定义得∠DFE=∠DCE=∠AFE=90°，
∠DEF=∠DEC；再由直角三角形全等的判定HL得Rt△AFE≌Rt△ABE，由全等三角形性质得∠AEB=∠AEF，再由补角定义可得AE⊥DE.
②过点D作DP⊥AB于点P；由①可知，B，F关于AE对称，根据对称性质知BM=FM，
当F，M，N三点共线且FN⊥AB时，有最小值，即BM+MN=FM+MN=FN；在Rt△APD中，根据勾股定理得DP= = ；由相似三角形判定得△AFN∽△ADP，再由相似三角形性质得 ，从而求得FN，即BM+MN的最小值.
备战中考初中数学导练学案50讲
第48讲 尺规作图
【疑难点拨】
1.考查尺规作图
该题型主要考查尺规作图,有关尺规作图的内容,可能单独考查基本尺规作图,也可能把几个尺规作图相结合,进行综合考查.
在尺规作图中有三个关键环节,一是理解相关的定义、定理等;二是熟练掌握基本尺规作图的作图方法;三是注意保留清晰的作图痕迹,这是尺规作图的精髓,是必不可少的一个解题步骤,因为尺规作图的重点是“作”,而这个“作”是通过作图痕迹体现出来的.
2.尺规作图与几何计算、几何证明相结合
该题型常以几何计算或证明为主,兼顾考查尺规作图的内容,如根据图中的作图痕迹确定某个图形的形状,或根据题目要求利用尺规作图作出某个图形,进而利用该图形的性质进行计算与推理.
3.五种基本尺规作图
(1) 作一条线段等于已知线段:①作射线OP；②以点O为圆心，a为半径作弧，交OP于点A，则OA即为所求作的线段。
(2) 作角的平分线：①以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M； ②
分别以点M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线OP即为所求。
(3)作线段的垂直平分线：①分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点M，N； ②作直线MN即为所求。
(4)作一个角等于已知角：①以点O为圆心，以适当长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q； ②作射线O′A′； ③以点O′为圆心，OP长为半径作弧，交O′A′于点M； ④以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N； ⑤过点N作射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求
(5)作直线l的垂线：过直线上一点作已知直线的垂线
①以点O为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于A，B两点；②分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径在直线两侧作弧，两弧分别交于点M，N；③作直线MN即为所求
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018•襄阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
2. （2018•宜昌）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3. （2018年湖北省宜昌市3分）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
4. （2018•潍坊）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．
下列说法不正确的是（ ）
A．∠CBD=30°B．S△BDC=AB2 C．点C是△ABD的外心 D．sin2A+cos2D=1
5. （2018•湖州）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；
③连结OG．
问：OG的长是多少？
大臣给出的正确答案应是（ ）
A． r B．（1+）r C．（1+）r D． r
二、填空题：
6. （2018•南京）如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC=10cm，则DE= cm．
7. （2018·辽宁省抚顺市）（3.00分）如图，▱ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是 ．
8. （2018•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是 ．
三、解答与计算题：
9. （2018·浙江宁波·8分）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；
（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．
10. （2018•甘肃白银，定西，武威）如图，在中，.
（1）作的平分线交边于点，再以点为圆心，的长为半径作；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中与的位置关系，直接写出结果.
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018·台湾·分）如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，其作法分别如下：
（甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求；
（乙）作过B点且与AB垂直的直线l，作过C点且与AC垂直的直线，交l于P点，则P即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
12. （2018•河北）尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
13. （2018•河南）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2）
二、填空题：
14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B.C，再分别以点B.C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D.作直线AD分别交OP、ON于点E.F．若∠MON=60°，EF=1，则OA= 2 ．
15. （2018·吉林长春·3分）如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为 度．
三、解答与计算题：
16. （2018•安徽•分） 如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长.
17. （2018•北京•5分） 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线及直线外一点．
求作：，使得．
作法：如图，
①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
③作直线．
所以直线就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵_______，_______，
∴（____________）（填推理的依据）．
18. （2018·广东·6分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
【探究篇】
19. （2018·四川自贡·10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．
（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）
20. （2018·广东广州·12分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；
②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值。
备战2019中考初中数学导练学案50讲
第48讲 尺规作图
【疑难点拨】
1.考查尺规作图
该题型主要考查尺规作图,有关尺规作图的内容,可能单独考查基本尺规作图,也可能把几个尺规作图相结合,进行综合考查.
在尺规作图中有三个关键环节,一是理解相关的定义、定理等;二是熟练掌握基本尺规作图的作图方法;三是注意保留清晰的作图痕迹,这是尺规作图的精髓,是必不可少的一个解题步骤,因为尺规作图的重点是“作”,而这个“作”是通过作图痕迹体现出来的.
2.尺规作图与几何计算、几何证明相结合
该题型常以几何计算或证明为主,兼顾考查尺规作图的内容,如根据图中的作图痕迹确定某个图形的形状,或根据题目要求利用尺规作图作出某个图形,进而利用该图形的性质进行计算与推理.
3.五种基本尺规作图
(1) 作一条线段等于已知线段:①作射线OP；②以点O为圆心，a为半径作弧，交OP于点A，则OA即为所求作的线段。
(2) 作角的平分线：①以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M； ②
分别以点M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线OP即为所求。
(3)作线段的垂直平分线：①分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点M，N； ②作直线MN即为所求。
(4)作一个角等于已知角：①以点O为圆心，以适当长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q； ②作射线O′A′； ③以点O′为圆心，OP长为半径作弧，交O′A′于点M； ④以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N； ⑤过点N作射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求
(5)作直线l的垂线：过直线上一点作已知直线的垂线
①以点O为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于A，B两点；②分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径在直线两侧作弧，两弧分别交于点M，N；③作直线MN即为所求
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018•襄阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故选：B．
2. （2018•宜昌）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据过直线外一点向直线作垂线即可．
【解答】已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
（4）作直线CF．
直线CF就是所求的垂线．
故选：B．
3. （2018年湖北省宜昌市3分）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
【分析】根据过直线外一点向直线作垂线即可．
【解答】已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
（4）作直线CF．
直线CF就是所求的垂线．
故选：B．
【点评】此题主要考查了过一点作直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．
4. （2018•潍坊）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．
下列说法不正确的是（ ）
A．∠CBD=30° B．S△BDC=AB2 C．点C是△ABD的外心 D．sin2A+cos2D=1
【分析】根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可；
【解答】解：由作图可知：AC=AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
由作图可知：CB=CA=CD，
∴点C是△ABD的外心，∠ABD=90°，
BD=AB，
∴S△ABD=AB2，
∵AC=CD，
∴S△BDC=AB2，
故A、B、C正确，
故选：D．
5. （2018•湖州）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；
③连结OG．
问：OG的长是多少？
大臣给出的正确答案应是（ ）
A． r B．（1+）r C．（1+）r D． r
【分析】如图连接CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解决问题；
【解答】解：如图连接CD，AC，DG，AG．
∵AD是⊙O直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，
∴AC=r，
∵DG=AG=CA，OD=OA，
∴OG⊥AD，
∴∠GOA=90°，
∴OG===r，
故选：D．
二、填空题：
6. （2018•南京）如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC=10cm，则DE= cm．
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出DE是△ABC的中位线，进而得出答案．
【解答】解：∵用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，
∴D为AB的中点，E为AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=5cm．
故答案为：5．
7. （2018·辽宁省抚顺市）（3.00分）如图，▱ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是 ．
【分析】根据平行四边形的性质可知AD=BC=3，CD=AB=7，再由垂直平分线的性质得出AE=CE，据此可得出结论
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=7，BC=3，
∴AD=BC=3，CD=AB=7．
∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴△ADE的周长=AD+（DE+AE）=AD+CD=3+7=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
8. （2018•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是 ．
【分析】连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；
【解答】解：连接AD．
∵PQ垂直平分线段AB，
∴DA=DB，设DA=DB=x，
在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，
∴x2=32+（5﹣x）2，
解得x=，
∴CD=BC﹣DB=5﹣=，
故答案为．
三、解答与计算题：
9. （2018·浙江宁波·8分）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；
（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．
【分析】（1）将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD；
（2）利用2×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC．
【考点】作图、平行四边形的性质
【解答】解：（1）如图所示，线段BD即为所求；
（2）如图所示，线段BE即为所求．
【点评】本题主要考查了作图以及平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
10. （2018•甘肃白银，定西，武威）如图，在中，.
（1）作的平分线交边于点，再以点为圆心，的长为半径作；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中与的位置关系，直接写出结果.
【答案】（1）作图见解析；（2）AC与⊙O相切．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法求出角平分线CO；
（2）过O作OD⊥AC交AC于点D，先根据角平分线的性质求出DO=BO，再根据切线的判定定理即可得出答案．
【解答】（1）如图,作出角平分线CO;
作出⊙O.
（2）AC与⊙O相切.
【点评】考查作图—复杂作图，直线与圆的位置关系，熟练掌握角平分线的作法是解题的关键.
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018·台湾·分）如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，其作法分别如下：
（甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求；
（乙）作过B点且与AB垂直的直线l，作过C点且与AC垂直的直线，交l于P点，则P即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【分析】甲：根据作图可得AC=AP，利用等边对等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定义可知：∠BPC+∠APC=180°，根据等量代换可作判断；
乙：根据四边形的内角和可得：∠BPC+∠A=180°．
【解答】解：甲：如图1，∵AC=AP，
∴∠APC=∠ACP，
∵∠BPC+∠APC=180°
∴∠BPC+∠ACP=180°，
∴甲错误；
乙：如图2，∵AB⊥PB，AC⊥PC，
∴∠ABP=∠ACP=90°，
∴∠BPC+∠A=180°，
∴乙正确，
故选：D．
【点评】本题考查了垂线的定义、四边形的内角和定理、等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
12. （2018•河北）尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．
【解答】解：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ．
故选：D．
13. （2018•河南）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2）
【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=，依据∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，进而得出HG=﹣1，可得G（﹣1，2）．
【解答】解：∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），
∴AH=1，HO=2，
∴Rt△AOH中，AO=，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG=∠EOG，
又∵AG∥OE，
∴∠AGO=∠EOG，
∴∠AGO=∠AOG，
∴AG=AO=，
∴HG=﹣1，
∴G（﹣1，2），
故选：A．
二、填空题：
14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B.C，再分别以点B.C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D.作直线AD分别交OP、ON于点E.F．若∠MON=60°，EF=1，则OA= 2 ．
【解答】解：由作法得AD⊥ON于F，∴∠AOF=90°．
∵OP平分∠MON，∴∠EOF= ∠MON= ×60°=30°
．在Rt△OEF中，OF= EF= ．在Rt△AOF中，∠AOF=60°，
∴OA=2OF=2 ．
故答案为：2 ．
15. （2018·吉林长春·3分）如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为 度．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=32°，
∴∠ABC=∠ACB=74°，
又∵BC=DC，
∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．
故答案为：37．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
三、解答与计算题：
16. （2018•安徽•分） 如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长.
【答案】（1）画图见解析；（2）CE=
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AB、AC有交点，再分别以这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过点A与这点作射线，与圆交于点E ，据此作图即可；
（2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE，由AE平分∠BAC，可推导得出OE⊥BC，然后在Rt△OFC中，由勾股定理可求得FC的长，在Rt△EFC中，由勾股定理即可求得CE的长.
【详解】（1）如图所示，射线AE就是所求作的角平分线；
（2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∴OE⊥BC，EF=3，∴OF=5-3=2，
在Rt△OFC中，由勾股定理可得FC==，
在Rt△EFC中，由勾股定理可得CE==.
【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，垂径定理等，熟练掌握角平分线的作图方法、推导得出OE⊥BC是解题的关键.
17. （2018•北京•5分） 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线及直线外一点．
求作：，使得．
作法：如图，
①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
③作直线．
所以直线就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵_______，_______，
∴（____________）（填推理的依据）．
【解析】（1）尺规作图如下图所示：
（2），，三角形中位线平行于三角形的第三边．
【考点】尺规作图，三角形中位线定理
18. （2018·广东·6分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF=∠ABD﹣∠ABF计算即可；
【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．
∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=∠A=30°，
∵EF垂直平分线线段AB，
∴AF=FB，
∴∠A=∠FBA=30°，
∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．
【探究篇】
19. （2018·四川自贡·10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．
（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）
【分析】（1）作∠ABC的角平分线交AC于E，作EO⊥AC交AB于点O，以O为圆心，OB为半径画圆即可解决问题；
（2）作OH⊥BC于H．首先求出OH、EC、BE，利用△BCE∽△BED，可得，解决问题；
【解答】解：（1）⊙O如图所示；
（2）作OH⊥BC于H．
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°，
∴四边形ECHO是矩形，
∴OE=CH=，BH=BC﹣CH=，
在Rt△OBH中，OH==2，
∴EC=OH=2，BE=2，
∵∠EBC=∠EBD，∠BED=∠C=90°，
∴△BCE∽△BED，
∴，
∴=，
∴DE=．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20. （2018·广东广州·12分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；
②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值。
【答案】（1）
（2）①证明：在AD上取一点F使DF=DC，连接EF，
∵DE平分∠ADC，
∴∠FDE=∠CDE，
在△FED和△CDE中，
DF=DC，∠FDE=∠CDE，DE=DE
∴△FED≌△CDE（SAS），
∴∠DFE=∠DCE=90°，∠AFE=180°-∠DFE=90°
∴∠DEF=∠DEC，
∵AD=AB+CD，DF=DC，
∴AF=AB，
在Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）
∴∠AEB=∠AEF，
∴∠AED=∠AEF+∠DEF= ∠CEF+ ∠BEF= （∠CEF+∠BEF）=90°。
∴AE⊥DE
②解：过点D作DP⊥AB于点P，
∵由①可知，B，F关于AE对称，BM=FM，
∴BM+MN=FM+MN，
当F，M，N三点共线且FN⊥AB时，有最小值，
∵DP⊥AB，AD=AB+CD=6，
∴∠DPB=∠ABC=∠C=90°，
∴四边形DPBC是矩形，
∴BP=DC=2，AP=AB-BP=2，
在Rt△APD中，DP= = ，
∵FN⊥AB，由①可知AF=AB=4，
∴FN∥DP，
∴△AFN∽△ADP
∴ ，
即 ，
解得FN= ，
∴BM+MN的最小值为
【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，作图—基本作图，轴对称的应用-最短距离问题，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角平分的做法即可画出图.（2）①在AD上取一点F使DF=DC，连接EF；角平分线定义得∠FDE=∠CDE；根据全等三角形判定SAS得△FED≌△CDE，再由全等三角形性质和补角定义得∠DFE=∠DCE=∠AFE=90°，
∠DEF=∠DEC；再由直角三角形全等的判定HL得Rt△AFE≌Rt△ABE，由全等三角形性质得∠AEB=∠AEF，再由补角定义可得AE⊥DE.
②过点D作DP⊥AB于点P；由①可知，B，F关于AE对称，根据对称性质知BM=FM，
当F，M，N三点共线且FN⊥AB时，有最小值，即BM+MN=FM+MN=FN；在Rt△APD中，根据勾股定理得DP= = ；由相似三角形判定得△AFN∽△ADP，再由相似三角形性质得 ，从而求得FN，即BM+MN的最小值.
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