备战中考初中数学导练学案50讲—第49讲数学文化问题（讲练版）

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备战中考初中数学导练学案50讲
第49讲 数学文化问题
【疑难点拨】
1.渗透数学文化一
①大力挖掘数学的科学价值、文化价值和美学价值
②借用现代化手段，展示数学文化的美
③开展学科之间的文化交融与渗透
2.渗透数学文化二
①数学课堂引进丰富的数学文化资源
②注重让学生体验“数学美”
3.渗透数学文化三
①从生活中感受数学知识，引导学生产生数学兴趣
② 将数学历史纳入课堂，让学生在听故事中学习数学知识
③丰富数学教学活动形式，让学生游戏中运用数学知识
【基础篇】
一、选择题：
1. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图Z11－1，图Z11－2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是(　　)


A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d
2. （2018四川乐山，7，3） 《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”.问这块圆形木材的直径是多少？”
如图3所示，请根据所学的知识计算：圆形木材的直径AC是（ ）
A.13寸 B.20寸 C.26寸 D.28寸

图3
3. （2018吉林省长春市，6，3）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有杆不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问杆长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺.同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为
（A）五丈（B）四丈五尺（C）一丈（D）五尺
4. 秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，对于求一个n次多项式函数fn(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的具体函数值，运用常规方法计算出结果最多需要n次加法和次乘法，而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要n次加法和n次乘法．对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以此算法极大地缩短了CPU运算时间，因此即使在今天该算法仍具有重要意义．运用秦九韶算法计算f(x)＝0.5x6＋4x5－x4＋3x3－5x当x＝3时的值时，最先计算的是(　　)
A．－5×3＝－15
B．0.5×3＋4＝5.5
C．3×33－5×3＝66
D．0.5×36＋4×35＝1 336.6
5. 原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生多少天？(　　)

A．1 326 B．510 C．429 D．336
二、填空题：
6. （2018年浙江省义乌市，12，5）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果1托为5尺，那么索长为____________尺，竿子长为____________尺．
7. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图Z11－5)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cosθ的值等于________．

8. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图Z11－13所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x的值为________．

三、解答与计算题：
9. (2017湖北宜昌)阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
10. 阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：

其中m>n>0，m，n是互质的奇数．
应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018浙江舟山，7，3）欧几里得的《原本》记载．形如的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，，AC＝b，再在斜边AB上截取．则该方程的一个正根是（）

A．AC的长　　　 B．AD的长　　　C．BC的长　　　　 D．CD的长
12. （2017湖南株洲）
如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（　　）

A．5 B．4 C． D．
二、填空题：
13. 庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话(文字语言)表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图Z11－16①，按此图分割的方法，可得到一个等式(符号语言)：
1＝＋＋＋…＋＋….
图②也是一种无限分割：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，过点C作CC1⊥AB于点C1，再过点C1作C1C2⊥BC于点C2，又过点C2作C2C3⊥AB于点C3，如此无限继续下去，则可将△ABC分成△ACC1、△CC1C2、△C1C2C3、△C2C3C4、…、△Cn－2Cn－1Cn、….假设AC＝2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是__________．
　　

14. [2017·自贡] 我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：
“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”
意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x、y人，则可以列方程组为________．
15. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．

(以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)
请根据上图完成这个推论的证明过程．
证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(________＋________)．
易知，S△ADC＝S△ABC，________＝________，________＝________．
可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF.
三、解答与计算题：
16.中国人对方程的研究有悠久的历史，汉语中“方程”一词最初源于讨论多个未知数的问题．著名中国古代著作《九章算术》大约成书于公元前200～前50年，其中有专门以“方程”命名的一章，其中以一些实际应用问题为例，给出了列由几个方程组成的方程组的解题方法．
《九章算术》中记载了下面有代表性的题目：
今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲，乙持钱各几何？译文：有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50.问甲、乙各有多少钱？




【探究篇】
17. 《张丘建算经》，中国古代数学著作(约公元5世纪)，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等，其中“百鸡问题”就是这本书中著名的不定方程问题．
“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁母雏各几何？”意思就是“用100文钱购买100只鸡，公鸡一只5文钱，母鸡一只3文钱，小鸡一文钱3只，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？”







18. （2018•陕西•13分） 问题提出
(1)如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为 ．
问题探究
(2)如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．
l 问题解决
(3)如图③所示，AB.AC.BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB.AC路边分别建物资分站点E.F．也就是，分别在、线段AB和AC上选取点P、E.F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE.EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE.EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．

图① 图② 图③











第49讲 数学文化问题
【疑难点拨】
1.渗透数学文化一
①大力挖掘数学的科学价值、文化价值和美学价值
②借用现代化手段，展示数学文化的美
③开展学科之间的文化交融与渗透
2.渗透数学文化二
①数学课堂引进丰富的数学文化资源
②注重让学生体验“数学美”
3.渗透数学文化三
①从生活中感受数学知识，引导学生产生数学兴趣
② 将数学历史纳入课堂，让学生在听故事中学习数学知识
③丰富数学教学活动形式，让学生游戏中运用数学知识
【基础篇】
一、选择题：
1. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图Z11－1，图Z11－2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是(　　)


A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d
[解析] 当主视图和左视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，主视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且对角线为两条实线．故选A.
2. （2018四川乐山，7，3） 《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”.问这块圆形木材的直径是多少？”
如图3所示，请根据所学的知识计算：圆形木材的直径AC是（ ）
A.13寸 B.20寸 C.26寸 D.28寸

图3
【解析】本题主要考查圆的相关知识，解决本题的关键是掌握和运用垂径定理和勾股定理.如图，根据题意可知，ED=1寸，AB=1尺=10寸，∵OD⊥AB，∴AD=BD=5寸，不妨设⊙O的半径为r，在△AOD中，，解得，∴圆形木材的直径AC的长为26寸，故答案为C.
3. （2018吉林省长春市，6，3）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有杆不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问杆长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺.同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为
（A）五丈（B）四丈五尺（C）一丈（D）五尺
【解析】本题是利用相似求物高的问题，默认已知条件：太阳光是平行光线；同一时刻，甲物高/乙物高=甲影长/乙影长.看实际问题：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺.同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸.提取关键信息：标杆高度-----一尺五寸，标杆影长----五寸，竹竿高度----未知数，竹竿影长一丈五尺，画出草图，设竹竿高度为，建立数学模型：，解得=四丈五尺.
4. 秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，对于求一个n次多项式函数fn(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的具体函数值，运用常规方法计算出结果最多需要n次加法和次乘法，而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要n次加法和n次乘法．对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以此算法极大地缩短了CPU运算时间，因此即使在今天该算法仍具有重要意义．运用秦九韶算法计算f(x)＝0.5x6＋4x5－x4＋3x3－5x当x＝3时的值时，最先计算的是(　　)
A．－5×3＝－15
B．0.5×3＋4＝5.5
C．3×33－5×3＝66
D．0.5×36＋4×35＝1 336.6
解析　f(x)＝0.5x6＋4x5－x4＋3x3－5x＝(((((0.5x＋4)x－1)x＋3)x＋0)x－5)x，
然后由内向外计算，最先计算的是0.5×3＋4＝5.5. 答案　B
5. 原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生多少天？(　　)

A．1 326 B．510 C．429 D．336
解析　由题意满七进一，可得该图示为七进制数，
化为十进制数为1×73＋3×72＋2×7＋6＝510. 答案　B
二、填空题：
6. （2018年浙江省义乌市，12，5）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果1托为5尺，那么索长为____________尺，竿子长为____________尺．
【解析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据题意得：，解得：．
答：索长为20尺，竿子长为15尺．故答案为：20；15．
【知识点】二元一次方程组的应用
7. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图Z11－5)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cosθ的值等于________．

【解析】如图，

∵大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，
∴大正方形边长AD＝5，小正方形的边长EF＝1.设DE＝AF＝x，
在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE2＋DE2＝AD2，
∴(x＋1)2＋x2＝52，解得x1＝－4(舍去)，x2＝3，
即DE＝3，AE＝3＋1＝4，∴cosθ＝cos∠DAE＝＝.
8. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图Z11－13所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x的值为________．

【解析】由三视图知，商鞅铜方升由一高为x，底面直径为1的圆柱和一长宽高分别为5.4-x，3，1的长方体组合而成．
由题意得：（5.4-x）×3×1+π•（）2•x=13.5，x=1.2．
故选：D．
三、解答与计算题：
9. (2017湖北宜昌)阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
【考点】KT：勾股数；KQ：勾股定理．
【分析】由n=1，得到a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，根据直角三角形有一边长为5，列方程即可得到结论.
【解答】解：当n=1，a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，
∵直角三角形有一边长为5，
∴Ⅰ、当a=5时，（m2﹣1）=5，解得：m=（舍去），
Ⅱ、当b=5时，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，
Ⅲ、当c=5时，（m2+1）=5，解得：m=±3，
∵m＞0，
∴m=3，代入①②得，a=4，b=3，
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．
10. 阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：

其中m>n>0，m，n是互质的奇数．
应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
解：当n＝1时，a＝(m2－1)①，b＝m②，c＝(m2＋1)③，
因为直角三角形有一边长为5，分情况如下：
情况1：当a＝5时，即(m2－1)＝5，解得m＝±(舍去)；
情况2：当b＝5时，即m＝5，再将它分别代入①③得a＝×(52－1)＝12，c＝×(52＋1)＝13；
情况3：当c＝5时，即(m2＋1)＝5，m＝±3，因m>0，所以m＝3，把m＝3分别代入①②得a＝×(32－1)＝4，b＝3.
综上所述，直角三角形的另两边长为12，13或3，4.
能力篇】
一、选择题：
11. （2018浙江舟山，7，3）欧几里得的《原本》记载．形如的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，，AC＝b，再在斜边AB上截取．则该方程的一个正根是（）

A．AC的长　　　 B．AD的长　　　C．BC的长　　　　 D．CD的长
【答案】B 【解析】利用配方法解方程x2+ax＝b2，得到，解得：，根据勾股定理知道，BD＝，所以根据图形知道AD＝AB－BD，即AD的长是方程的一个正根，故正确答案为B．
12. （2017湖南株洲）
如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（　　）

A．5 B．4 C． D．
【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形．
【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解决问题．
【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，

∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，
∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，
∴△DQF∽△FQE，
∴===，
∵DQ=1，
∴FQ=，EQ=2，
∴EQ+FQ=2+，
故选D
二、填空题：
13. 庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话(文字语言)表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图Z11－16①，按此图分割的方法，可得到一个等式(符号语言)：
1＝＋＋＋…＋＋….
图②也是一种无限分割：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，过点C作CC1⊥AB于点C1，再过点C1作C1C2⊥BC于点C2，又过点C2作C2C3⊥AB于点C3，如此无限继续下去，则可将△ABC分成△ACC1、△CC1C2、△C1C2C3、△C2C3C4、…、△Cn－2Cn－1Cn、….假设AC＝2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是__________．
　　
[解析] 根据三角形的面积来列出等式．由∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，可得三角形的面积为×AC×BC＝×2×2 ＝2 .又因为三角形的面积可表示为n个三角形的面积和，则可得到×1×＋××＋××＋…＋×××＋…＝.
所以根据面积相等得2 ＝[1＋＋()2＋()3＋…＋()n＋…]
14. [2017·自贡] 我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：
“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”
意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x、y人，则可以列方程组为________．
【解析】根据“大、小和尚共有100人”可得x＋y＝100；由“大和尚一人分3个”可知x个大和尚共分得3x个馒头，由“小和尚3人分一个”可知y个小和尚共分得个馒头，根据“大、小和尚分100个馒头”可得3x＋＝100，故可列方程组为
15. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．

(以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)
请根据上图完成这个推论的证明过程．
证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(________＋________)．
易知，S△ADC＝S△ABC，________＝________，________＝________．
可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF.
【解析】分析 根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论．
解答 证明：S矩形NFGD=S△ADC-（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC-（ S△ANF+S△FCM）．

易知，S△ADC=S△ABC，S△ANF=S△AEF，S△FGC=S△FMC，
可得S矩形NFGD=S矩形EBMF．
故答案分别为 S△AEF，S△FCM，S△ANF，S△AEF，S△FGC，S△FMC．
点评 本题考查矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分这个性质，属于中考常考题型．
三、解答与计算题：
16.中国人对方程的研究有悠久的历史，汉语中“方程”一词最初源于讨论多个未知数的问题．著名中国古代著作《九章算术》大约成书于公元前200～前50年，其中有专门以“方程”命名的一章，其中以一些实际应用问题为例，给出了列由几个方程组成的方程组的解题方法．
《九章算术》中记载了下面有代表性的题目：
今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲，乙持钱各几何？译文：有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50.问甲、乙各有多少钱？
解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y.
根据题意，得
解得
答：甲的钱数为37.5，乙的钱数为25.
【探究篇】
17. 《张丘建算经》，中国古代数学著作(约公元5世纪)，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等，其中“百鸡问题”就是这本书中著名的不定方程问题．
“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁母雏各几何？”意思就是“用100文钱购买100只鸡，公鸡一只5文钱，母鸡一只3文钱，小鸡一文钱3只，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？”
解：设买公鸡x只，母鸡y只，小鸡z只．
根据题意，得
①×3－②并整理，得y＝25－x.
∵x，y，z为整数，可知x必须是4的倍数，
∴当x分别为0,4,8,12时，可得四组解

∴购买公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只；公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只或公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只．
8. （2018•陕西•13分） 问题提出
(1)如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为 ．
问题探究
(2)如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．
l 问题解决
(3)如图③所示，AB.AC.BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB.AC路边分别建物资分站点E.F．也就是，分别在、线段AB和AC上选取点P、E.F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE.EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE.EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．

图① 图② 图③
【答案】（1）5；（2）18；（3）（3－9）km．
【解析】【分析】（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA， OB，根据已知条件可得△AOB是等边三角形，由此即可得半径；
（2）如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，显然，MN即为MP的最大值，根据垂径定理求得OM的长即可求得MN的最大值；
（3） 如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB.AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂，则P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度， 根据题意正确画出图形，得到点P的位置，根据等边三角形、勾股定理等进行求解即可得PE＋EF＋FP的最小值.
【详解】（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA， OB，
∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，
∴∠BAO=∠OAC=∠BAC==60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=5，
故答案为：5；

（2）如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，
显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝＝5，MN＝18，
∴PM的最大值为18；

（3） 如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB.AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂
由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E.F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，

如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，
∴∆ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3，
BC所对的圆心角为60°，∴∆OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝3，
∴∠ABO＝90°，AO＝3，PA＝3－3，
∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，
∴∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，
∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，
∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝P´A＝3－9，
所以PE＋EF＋FP的最小值为3－9km．
【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到垂径定理、最短路径问题等，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.